Esercizio su operatori simmetrici

[Whitman1]

Buongiorno, sto facendo questo esercizio e, tra i vari punti, non so come procedere con questi due. Grazie in anticipo a chi vorrà darmi una mano.

Sia $L$ operatore di $\mathbb{R^3}$ con autovalori: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$ e con autospazi relativi:
- $V_{\lambda_1}=\{(x_1, x_2, x_3): x_1-2x_2+x_3=0\}$
- $V_{\lambda_2}=Span\{(2,0,1)\}$

a) Dimostrare che $L$ non è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard
b) Trovare un prodotto scalare definito positivo rispetto al quale $L$ è simmetrico

[killing_buddha]

a) si riduce a una proprietà della matrice che ha per colonne gli autovettori. Quale?
b) Devi trovare una matrice $A$ simmetrica e definita positiva tale che (nella base canonica, o quella in cui $L$ è diagonale) $(Lv)^tAw = v^tL^tAw = vALw$. Se $v,w$ viaggiano su una base di $RR^3$ questo ti dice come devono essere fatte le entrate di $A$.

[Whitman1]

Dovrei aver capito: esiste sempre una base ortogonale di autovettori rispetto a un prodotto scalare dello spazio di riferimento. In questo caso non è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard perché gli autovettori di autospazi diversi non risultano tra loro ortogonali rispetto a esso.
Per il punto (b) devo fare qualche prova.