Dimensione spazio delle funzioni $NN to K$
Ciao,
sia $K$ un campo e consideriamo il $K$-spazio vettoriale delle funzioni $NN to K$ in altre parole $K^NN$. Per l'assioma della scelta questo spazio vettoriale ha una dimensione (esiste una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità).
Intuitivamente mi sembrava chiaro che $K^NN$ ha dimensione numerabile (ricordando il caso finito-dimensionale $dim(K^n)=n$). Ma questa intuizione è risultata essere abbastanza ingenua. Con mia sorpresa ho scoperto che la dimensione di $K^NN$ non è numerabile (vedere qui).
Ma allora qual è la dimensione di $K^NN$? La mia congettura è che sia il massimo tra la cardinalità di $K$ e la cardinalità del continuo.
sia $K$ un campo e consideriamo il $K$-spazio vettoriale delle funzioni $NN to K$ in altre parole $K^NN$. Per l'assioma della scelta questo spazio vettoriale ha una dimensione (esiste una base e tutte le basi hanno la stessa cardinalità).
Intuitivamente mi sembrava chiaro che $K^NN$ ha dimensione numerabile (ricordando il caso finito-dimensionale $dim(K^n)=n$). Ma questa intuizione è risultata essere abbastanza ingenua. Con mia sorpresa ho scoperto che la dimensione di $K^NN$ non è numerabile (vedere qui).
Ma allora qual è la dimensione di $K^NN$? La mia congettura è che sia il massimo tra la cardinalità di $K$ e la cardinalità del continuo.
Risposte
Caro Martino, mi fa sempre piacere ritrovarti e spero che vada tutto bene. A dire il vero, io sto intervenendo qui pur non avendo granché da dire, se non che il problema è interessante e che la tua congettura è ragionevole.
Quello spazio vettoriale si può anche denotare con \(K[[X]]\) e interpretare come lo spazio delle serie formali di potenze. Oppure si può denotare con \(K[X]^\star\) e interpretare come spazio vettoriale duale dello spazio dei polinomi, con l'accoppiamento
\[
\left\langle \left.\sum_{j=0}^\infty a_j X^j \right| \sum_{n=0}^N b_n X^n\right\rangle = \sum_{j=0}^N a_j b_j.\]
E qui finisce il mio banalissimo contributo.
Quello spazio vettoriale si può anche denotare con \(K[[X]]\) e interpretare come lo spazio delle serie formali di potenze. Oppure si può denotare con \(K[X]^\star\) e interpretare come spazio vettoriale duale dello spazio dei polinomi, con l'accoppiamento
\[
\left\langle \left.\sum_{j=0}^\infty a_j X^j \right| \sum_{n=0}^N b_n X^n\right\rangle = \sum_{j=0}^N a_j b_j.\]
E qui finisce il mio banalissimo contributo.
Non so se c'entra, ma si sa che in generale
"Sia $S$ un insieme. L'insieme delle applicazioni di $S$ in ${0,1}$ è non numerabile, in particolare equipotente a $P(S)$"
Potrebbe andare come spiegazione?
"Sia $S$ un insieme. L'insieme delle applicazioni di $S$ in ${0,1}$ è non numerabile, in particolare equipotente a $P(S)$"
Potrebbe andare come spiegazione?
Secondo questo link di MathOverflow,
\[
\dim (K[X]^\star) = |K|^{\dim K[X]}.\]
La cosa è sottile perché se non si assume l'assioma della scelta allora \(K[X]^\star\) non ammette nessuna base. Cose strane
\[
\dim (K[X]^\star) = |K|^{\dim K[X]}.\]
La cosa è sottile perché se non si assume l'assioma della scelta allora \(K[X]^\star\) non ammette nessuna base. Cose strane
Sì c'è anche questo che dice che se uno spazio vettoriale $V$ ha la forma $k^I$ con $I$ infinito allora ha dimensione $|V|$, cose ancora più strane 
Entrambi i post fanno riferimento allo stesso articolo, quindi alla fine dovrebbero essere la stessa cosa. Questo risponde alla domanda: "quanto è la cardinalità di \(K^{\mathbb N}\)"? Se la tua congettura sia vera o meno non riesco a capirlo! 
"dissonance":E' da ieri che cerco ma non lo trovo:
Se la tua congettura sia vera o meno non riesco a capirlo!
se $X$ è un insieme più che numerabile la cardinalità di $X^NN$ è uguale alla cardinalità di $X$?
Se vale l'ipotesi generalizzata del continuo sì perché $(2^I)^NN=2^(I NN) = 2^I$.
Ma se non vale?
Che forma di GCH è quella? Per quale motivo dovrebbe essere che $X=2^I$?
Piuttosto, mi sembra che si dimostri così: la cardinalità dell'insieme \(X^{(\omega)}\) delle funzioni definitivamente costanti ha la stessa cardinalità di $X$ (facile) e adesso
\[
X^\omega = \bigcup_{n=1}^\infty X^{(\ge n)}
\] dove \(X^{(\ge n)}\) è l'insieme delle funzioni $\omega\to X$ che sono costanti a partire da $k\ge n$. Ora però
\[
\left| \bigcup_{n=1}^\infty X^{(\ge n)}\right| = \sum_{n=1}^\infty |X^{(\ge n)}| = \max |X^{(\ge n)}| = |X|. \qquad\qquad \square
\]
Piuttosto, mi sembra che si dimostri così: la cardinalità dell'insieme \(X^{(\omega)}\) delle funzioni definitivamente costanti ha la stessa cardinalità di $X$ (facile) e adesso
\[
X^\omega = \bigcup_{n=1}^\infty X^{(\ge n)}
\] dove \(X^{(\ge n)}\) è l'insieme delle funzioni $\omega\to X$ che sono costanti a partire da $k\ge n$. Ora però
\[
\left| \bigcup_{n=1}^\infty X^{(\ge n)}\right| = \sum_{n=1}^\infty |X^{(\ge n)}| = \max |X^{(\ge n)}| = |X|. \qquad\qquad \square
\]
In realtà l'argomento di prima vale quando la cofinalità del cardinale di $X$ è maggiore di $\omega$. Ora non vorrei sbagliare ma esistono cardinali non numerabili di cofinalità $\omega$ (e tuttavia, ad esempio, per qualsiasi numero aleph successore, cioè per ogni \(\aleph_{\lambda+1}\), la tesi è vera).
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