Determinare l'equazione di una conica
Mi sono imbattuto in quest'esercizio, ma non saprei come risolverlo.
Determinare l'equazione dell'iperbole tangente nell'origine alla bisettrice del I e III quadrante, passante per $A(1,0)$ ed avente un asintoto parallelo alla bisettrice del II e IV quadrante.
Il mio ragionamento è il seguente:
Come condizioni abbiamo
1) Tangenza della retta $x-y=0$ in $O(0,0)$
2) Passaggio per $A(1,0)$
3) Asintoto nella forma $x+y+k=0$, retta tangente nel punto improprio $(1,-1,0)$ (o sbaglio?)
Mi sono trovato due coniche degeneri, la prima scomponibile nel prodotte delle due rette tangenti $(x+y+k)(x-y)=0$ e l'altra passante per l'origine e il punto improprio $(x-y)^2=0$.
Ne ho fatto la combinazione lineare $(x+y+k)(x-y)+\lambda(x-y)^2=0$ e ho imposto il passaggio per il punto $A$, dal quale ricavo che $\lambda=-1-k$.
Non saprei più continuare, qualcuno mi può aiutare?
Il risultato è $2x^2 + x y - y^2 -2ux+2uy=0$
Determinare l'equazione dell'iperbole tangente nell'origine alla bisettrice del I e III quadrante, passante per $A(1,0)$ ed avente un asintoto parallelo alla bisettrice del II e IV quadrante.
Il mio ragionamento è il seguente:
Come condizioni abbiamo
1) Tangenza della retta $x-y=0$ in $O(0,0)$
2) Passaggio per $A(1,0)$
3) Asintoto nella forma $x+y+k=0$, retta tangente nel punto improprio $(1,-1,0)$ (o sbaglio?)
Mi sono trovato due coniche degeneri, la prima scomponibile nel prodotte delle due rette tangenti $(x+y+k)(x-y)=0$ e l'altra passante per l'origine e il punto improprio $(x-y)^2=0$.
Ne ho fatto la combinazione lineare $(x+y+k)(x-y)+\lambda(x-y)^2=0$ e ho imposto il passaggio per il punto $A$, dal quale ricavo che $\lambda=-1-k$.
Non saprei più continuare, qualcuno mi può aiutare?
Il risultato è $2x^2 + x y - y^2 -2ux+2uy=0$
Risposte
Non mi tornano alcune cose:
1) Se ho capito bene stai cercando delle coniche che soddisfino le condizioni 1 e 3, per poi trovare una combinazione lineare che soddisfi anche la 2, ma in tal caso stai imponendo il passaggio per due punti e la tangenza a una retta, quindi ci sono $5-3=2$ gradi di libertà, e di conseguenza ti servono tre coniche anziché 2 (tra l'altro $(x-y)^2=0$ non soddisfa la 3).
2) Sei sicuro del risultato finale? L'equazione è in coordinate omogenee (dove $u$ è la terza coordinata) o affini (dove $u$ è un parametro)? In entrambi i casi mi sembra sbagliato...
1) Se ho capito bene stai cercando delle coniche che soddisfino le condizioni 1 e 3, per poi trovare una combinazione lineare che soddisfi anche la 2, ma in tal caso stai imponendo il passaggio per due punti e la tangenza a una retta, quindi ci sono $5-3=2$ gradi di libertà, e di conseguenza ti servono tre coniche anziché 2 (tra l'altro $(x-y)^2=0$ non soddisfa la 3).
2) Sei sicuro del risultato finale? L'equazione è in coordinate omogenee (dove $u$ è la terza coordinata) o affini (dove $u$ è un parametro)? In entrambi i casi mi sembra sbagliato...
Grazie della risposta, penso che $u$ sia un parametro e sia l'equivalente del $k$ che ho usato nell'equazione dell'asintoto.
Lo soluzione che riporta il libro è quella, purtroppo non riesco a stabilire se è corretta o meno.
Mettendoci nel caso in cui $u$ sia un parametro, tu come faresti?
Lo soluzione che riporta il libro è quella, purtroppo non riesco a stabilire se è corretta o meno.
Mettendoci nel caso in cui $u$ sia un parametro, tu come faresti?
In realtà, rifacendo i conti, se fosse in coordinate omogenee sarebbe giusta, ma resta il fatto che la soluzione non è unica: non è che hai dimenticato di scrivere una condizione? Detto questo, se non ci sono altre ipotesi puoi trovare direttamente due coniche degeneri che soddisfano tutte e tre le condizioni, ovvero $y(x+y)=0$ e $(x-y)(x+y-1)=0$, e una qualunque combinazione lineare di queste due equazioni risolve il problema.
Chiaramente manca una condizione, per avere una conica definita servono 5 condizioni e nel testo ne hai solo 4, per cui resta un parametro.
Sono insegnante di scuola superiore, quindi procedo in modo più "pedestre". In ogni caso la soluzione mi viene
$ux^2+(1+u)xy+y^2-ux+uy=0$
Avrei scelto come parametro un dato diverso, in tal caso mi viene: $x^2+(1+k)xy+ky^2-x+y=0$
Comunque scelgo il parametro il termine misto mi viene con il parametro.
Sono insegnante di scuola superiore, quindi procedo in modo più "pedestre". In ogni caso la soluzione mi viene
$ux^2+(1+u)xy+y^2-ux+uy=0$
Avrei scelto come parametro un dato diverso, in tal caso mi viene: $x^2+(1+k)xy+ky^2-x+y=0$
Comunque scelgo il parametro il termine misto mi viene con il parametro.
"spugna":
se non ci sono altre ipotesi puoi trovare direttamente due coniche degeneri che soddisfano tutte e tre le condizioni, ovvero $y(x+y)=0$ e $(x-y)(x+y-1)=0$, e una qualunque combinazione lineare di queste due equazioni risolve il problema.
Cosa hai fatto per trovare questa conica $y(x+y)=0$ degenere?
"Simjap98":
[quote="spugna"] se non ci sono altre ipotesi puoi trovare direttamente due coniche degeneri che soddisfano tutte e tre le condizioni, ovvero $y(x+y)=0$ e $(x-y)(x+y-1)=0$, e una qualunque combinazione lineare di queste due equazioni risolve il problema.
Cosa hai fatto per trovare questa conica $y(x+y)=0$ degenere?[/quote]
Una conica degenere (che è costituita da due rette, eventualmente coincidenti), soddisfa la condizione 1 se e solo se:
a) l'origine appartiene a entrambe le rette;
b) l'origine appartiene a una sola delle due rette, e tale retta è la bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Nel caso (a) bisogna prendere due rette per l'origine in modo da soddisfare le altre due condizioni: per la 2, una di esse è $y=0$, mentre per la 3 l'altra è $x+y=0$. Nel caso (b) una retta è $x-y=0$, mentre l'altra è necessariamente quella che passa per $A$ e per il punto improprio, cioè $x+y-1=0$.
Molte grazie ad entrambi, finalmente sono riuscito a svolgere l'esercizio!
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