Geometria e Algebra Lineare

Buongiorno, ho il seguente dubbio, inerente alle proprietà elementari del determinante, in particolare $A$ ha due linee parallele allora $|A|=0$ Dimostrazione $a_i=a_j i<j$ considera la trasposizione $t=(ij)$ per ogni permutazione $q$ si ha $s(tq)=-s(q)$ e inoltre $(tq)(x)=q(x)$ per ogni $x ne i,j$, $(tq)(i)=q(j)$ e $(tq)(j)=q(i)$. Risulta $s(tq)=a_(1tq(1))*...*a_(itq(i))*...*a_(jtq(j))*...*a_(ntq(n))=-s(q)a_(1tq(1))*...*a_(iq(i))*...*a_(jq(j))*...*a_(nq(n))$ Poichè l'applicazione $q in A_n to r=tq in S_n-A_n$ è biettiva si ha ...

Salve a tutti, avrei bisogno di una mano dato che domani ho un esame e non riesco ancora a capire quale variabile porre a $t$. Mi spiego meglio con un esempio: In un problema ho la retta $r$ = $$\begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x-z=0 \end{cases}$$ a me verrebbe spontaneo porre $z=t$ ma la soluzione del problema suggerisce la $x$. Ora la mia domanda è come faccio a capire in generale quale variabile porre a ...

Se consideriamo un vettore di R^n possiamo scrivere x=(x1, X2,..,Xn), dove queste ultime sono le componenti del vettore rispetto alla base canonica. In generale, si scrive mai in R^n un vettore come uguale all'n-pla delle sue componenti rispetto a un'altra base? Mi spiego meglio: data una base, che non sia quella canonica, rispetto alla quale il vettore di prima ha componenti (a1,...,an) si può scrivere (o comunque si usa farlo) x=(a1,...,an)? specificando ovviamente che si parla di una base ...

$ ( ( k , k , 0 ),( k , 0 , k ),( 2k , k-1 , k+2 ),( k , k , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ L'esercizio chiede di trovare la dimensione del sottospazio, una base per esso, dimensione e base nel caso k=0 ed il complemento ortogonale del sottospazio al variare del parametro k. Per la dimensione, calcolo il rango riducendo a scala: $ ( ( k , 0 , 0 ),( 0 , -k , 0 ),( 0 , 0 , k ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ La dimensione è 3 e una base è $ B= {(k,k,2k,k,0),(k,0,k-1,k,0),(0,k,k+2,0,0)} $ per $ k!= 0 $ Per k=0, la matrice si annulla e lo spazio ha dimensione 0 (è possibile?). Per il complemento ortogonale, trovo il sottospazio la cui base è ...

Ciao a tutti Oggi cambio argomento....non più a.l. Oggi mi dedico ha....un po di attesa....a dim e base di uno spazio vettoriale Iniziamo dal testo Siano dati in $R^4$ i vettori v1=(2,0,2, 0) v2=(2,h,3,h) v3=(1,1+h,1,2h) con h appartenente a R Sia W=L(v1,v2,v3) Trovare : $ dimW $ e una base di W al variare di h. Scegliere un valore h per cui v1,v2,v3 risultino L.I. e completare l'insieme v1,v2 ,v3 a una base di $R^4$ Soluzione Io per prima cosa ho ...

Ciao ragazzi, sto studiando i gruppi di Lie e non riesco a capire una cosa riguardo i generatori dei campi left e right invarianti. In particolare pare che la base dei campi left invariante sia costituita dai generatori infinitesimali right invarianti e viceversa. Questo ha senso "intuitivamente" perché se ho un un punto qualsiasi della varietà e applico una traslazione infinitesima a destra, questa può essere vista come una traslazione sinistra del vettore tangente all'identità, ma non riesco ...

Ciao a tutti Rieccomi con altro esercizio sulle applicazioni-diagonalizzazione... TESTO sia data la matrice associata all'endomorfismo $f:R^2->R^2$ $ M^(be) =$ $ ((0 , 0) , (h , h)) $ Dove $ b=(4,2) (1,0) $ ed E la base canonica di $R^2$ Determina h appartenente a $R$ / si abbia un autovalore pari a 2. Calcolare i corrispettivi autovettori Il mio dubbio nasce nel considerare quale matrice mi serve per fare il polinomio caratteristico...????!!! Mi ...

Ciao, studio matematica per l'ingegneria quindi i corsi puramente matematici non sono trattati con troppo formalismo, mi sono imbattuta in un esercizio (il secondo, quindi siamo a posto con la comprensione della materia), in cui mi è chiesto di dimostrazione che la topologia della semicontinuità superiore, e analogamente quella della semicontinuità inferiore, sono meno fini della topologia euclidea sulla retta R. Anche se ho abbastanza chiari i concetti di aperto, chiuso non sono sicura di ...

Buonasera, Ho la seguente proprietà elementare del determinante di una matrice, Se la matrice $B$ viene ottenta dalla matrice $A$ permutando due linee parallele risulta $|B|=-|A|$. dimostrazione Supponiamo che la matrice $B$ è ottenuta da $A$ permutando le righe i-esima e j-esima, cioè $b_i=a_j$ e $b_j=a_i$ e $b_h=a_h$ per ogni $h ne i,j$. Supponiamo che $i<j$ e denoto con ...

Buongiorno a tutti! Avendo parecchi dubbi su alcuni esercizi di topologia ne posto uno per chiedervi se è svolto correttamente Sia $X$ un insieme, $x_0 in X$ un punto fissato e definiamo una topologia $ tau $ su $X$ come segue: $ tau ={Usube X|x_0 in A} uu {O/ } $ 1) Se $A in tau$ è un aperto e non vuoto e $x !=x_0$, dimostrare che $X$ è un punto di accumulazione per $A$. Dedurne che $A$ è denso in ...

Buona sera a tutti! Ho un esercizio che non riesco a capire bene Devo dimostrare che $ Y ={x} uu NN$ è compatto. Una cosa simile l'ho già postata in un esercizio ma provandolo a fare mi rendo conto che mi blocco perché effettivamente non l'ho capito tanto bene. Potete aiutarmi? Grazie

Ciao ragazzi , oggi sono qui con un secondo esercizio di Geometria. Ci sono dei punti richiesti in cui non sono dove mettere le mani. Esso recita: Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari: \( \begin{pmatrix} 2 & h & -1 & 1 \\ h & -1 & h & h \\ 1 & -h & 1 & k \end{pmatrix} \) (dove la quanta colonna e' quella dei termini noti) al variare dei parametri h, k ∈ R. a) Determinare, se esistono, valori dei parametri h, k $∈$ R, per i quali il sistema e' compatibile ...

sto ripassando un pò le quadriche e volevo provare a portare il paraboloide iperbolico $z=xy$ nella forma canonica, che dovrebbe essere $ax^2-by^2-cz=0$ A me non piace il metodo della rototraslazione e comunque mi hanno insegnato il metodo degli invarianti; ossia: 1-trovo gli autovalori della matrice dei coeff. di 2^grado 2-li inserisco nella eq.canonica e il terzo termine mancante lo trovo facendo determinante della matrice della quadrica proposta=det. della mat. della quadrica ...

Buongiorno a tutti! Ho un esercizio che mi ha lasciato un pò di dubbi, quindi chiedo un vostro parere Sia $X$ uno spazio metrico e siano $f,g:X \rightarrow RR$ due funzioni continue. Si dimostri che l'insieme $U={x in X|f(x)<g(x)}$ è aperto e che l'insieme $V={x in X| f(x)<=g(x)}$ è chiuso Io ho provato a farlo così Iniziamo col dimostrare che $U$ è aperto. Poichè $f$ e $g$ sono continue, dalla definizione di continuità di spazi metrici ...

Propongo il seguente esercizio, di cui ho idea degli strumenti utilizzabili ma che non riesco a focalizzare, pur essendo probabilmente molto semplice. Siano $n \geq 2$ e $f: S^n \rightarrow \mathbb{R}$ un'applicazione continua. Denotiamo con $A$ l'insieme dei punti $t \in f(S^n)$ tali che la fibra $f^{-1}(t)$ ha cardinalità finita. Dimostrare che $A$ contiene al più due punti. Di sicuro, essendo $S^n$ un connesso, la sua immagine $f(S^n)$ è un ...

Ciao ragazzi , sono qui oggi con un esercizio banale di geometria A. Vorrei sapere se lo svolgimento da me fatto e' corretto. Esso cita: Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari: \( \begin{pmatrix} 1 & k & 1 & h-1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & k & k & h \end{pmatrix} \) dove l'ultima colonna e' quella dei termini noti. a)Determinare, se esistono, valori dei parametri h, k $∈$ R per i quali il sistema e`compatibile. b)Per i valori di h e k ottenuti al punto ...

calcolo autovalori e autovettori della matrice {1/3 0} {0 -1/2}. Io sono riuscita a trovare i corrispondenti autovalori, ma gli autovettori mi uscivano nulli cosa che non dovrebbe essere da quello che ho capito.

Buon giorno a tutti, sto studiando geometria e sono arrivato alla definizione di somma diretta di spazzi vettoriali. A questo punto ho trovato la seguente affermazione: U + W è somma diretta se e solo se ogni suo vettore si esprime in modo unico nella forma u +w. Infatti, se U + W = U \(\displaystyle \oplus \) W e u+w=u'+w' per qualche u,u' \(\displaystyle \in \) U e w,w' \(\displaystyle \in \) W, allora u-u'=w'-w \(\displaystyle \in \) U \(\displaystyle \cap \) W, quindi u-u'=w'-w = 0 ...

Buongiorno! Ho delle difficoltà nello sviluppo di questo esercizio: Sia dato l'endomorfismo F di $R^3$ avente come autospazi $(1,1,1)$ $(1,1,0)$ Rispetto all'autovalore 2 e $(1,0,0)$ Rispetto all'autovalore 3. Io ho trovato l'equazione di F: $F(x,y,z) = (3x-y,2y,2z)$ Il problema è in questa domanda: Stabilire se esiste una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta F è $((2, 0, 1),(0,2,1),(0,0,3))$ Allora come primi due vettori della base ...

Buona sera! Ho un esercizio di topologia e vi chiedo un parere su come sia svolto. Sia $ X $ uno spazio topologico di Hausdorff e siano $ Y_1, ...Y_n $ sottoinsiemi compatti di $ X $. Si dimostri che la loro intersezione $ Y=Y_ 1nn...Y_n$ è ancora un sottoinsieme compatto. Io ho fatto cosi: poiché gli $ {Y_n} $ , con $ n in NN $ sono compatti e di Hausdorff, allora gli $ { Y_ n}$ sono chiusi. Inoltre intersezione di chiusi è chiusa ...