Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti
Oggi cambio argomento....non più a.l.
Oggi mi dedico ha....un po di attesa....a dim e base di uno spazio vettoriale
Iniziamo dal testo
Siano dati in $R^4$ i vettori v1=(2,0,2, 0) v2=(2,h,3,h)
v3=(1,1+h,1,2h) con h appartenente a R
Sia W=L(v1,v2,v3)
Trovare :
$ dimW $ e una base di W al variare di h.
Scegliere un valore h per cui v1,v2,v3 risultino L.I. e completare l'insieme v1,v2 ,v3 a una base di $R^4$
Soluzione
Io per prima cosa ho ...
Ciao ragazzi, sto studiando i gruppi di Lie e non riesco a capire una cosa riguardo i generatori dei campi left e right invarianti. In particolare pare che la base dei campi left invariante sia costituita dai generatori infinitesimali right invarianti e viceversa. Questo ha senso "intuitivamente" perché se ho un un punto qualsiasi della varietà e applico una traslazione infinitesima a destra, questa può essere vista come una traslazione sinistra del vettore tangente all'identità, ma non riesco ...
Ciao a tutti
Rieccomi con altro esercizio sulle applicazioni-diagonalizzazione...
TESTO
sia data la matrice associata all'endomorfismo
$f:R^2->R^2$
$ M^(be) =$ $ ((0 , 0) , (h , h)) $
Dove
$ b=(4,2) (1,0) $
ed E la base canonica di $R^2$
Determina h appartenente a $R$ / si abbia un autovalore pari a 2.
Calcolare i corrispettivi autovettori
Il mio dubbio nasce nel considerare quale matrice mi serve per fare il polinomio caratteristico...????!!!
Mi ...
Ciao, studio matematica per l'ingegneria quindi i corsi puramente matematici non sono trattati con troppo formalismo, mi sono imbattuta in un esercizio (il secondo, quindi siamo a posto con la comprensione della materia), in cui mi è chiesto di dimostrazione che la topologia della semicontinuità superiore, e analogamente quella della semicontinuità inferiore, sono meno fini della topologia euclidea sulla retta R. Anche se ho abbastanza chiari i concetti di aperto, chiuso non sono sicura di ...
Buonasera,
Ho la seguente proprietà elementare del determinante di una matrice,
Se la matrice $B$ viene ottenta dalla matrice $A$ permutando due linee parallele risulta $|B|=-|A|$.
dimostrazione
Supponiamo che la matrice $B$ è ottenuta da $A$ permutando le righe i-esima e j-esima, cioè $b_i=a_j$ e $b_j=a_i$ e $b_h=a_h$ per ogni $h ne i,j$.
Supponiamo che $i<j$ e denoto con ...
Buongiorno a tutti! Avendo parecchi dubbi su alcuni esercizi di topologia ne posto uno per chiedervi se è svolto correttamente
Sia $X$ un insieme, $x_0 in X$ un punto fissato e definiamo una topologia $ tau $ su $X$ come segue:
$ tau ={Usube X|x_0 in A} uu {O/ } $
1) Se $A in tau$ è un aperto e non vuoto e $x !=x_0$, dimostrare che $X$ è un punto di accumulazione per $A$. Dedurne che $A$ è denso in ...
Buona sera a tutti! Ho un esercizio che non riesco a capire bene
Devo dimostrare che $ Y ={x} uu NN$ è compatto. Una cosa simile l'ho già postata in un esercizio ma provandolo a fare mi rendo conto che mi blocco perché effettivamente non l'ho capito tanto bene. Potete aiutarmi? Grazie
Ciao ragazzi , oggi sono qui con un secondo esercizio di Geometria. Ci sono dei punti richiesti in cui non sono dove mettere le mani. Esso recita:
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari:
\( \begin{pmatrix} 2 & h & -1 & 1 \\ h & -1 & h & h \\ 1 & -h & 1 & k \end{pmatrix} \)
(dove la quanta colonna e' quella dei termini noti) al variare dei parametri h, k ∈ R.
a) Determinare, se esistono, valori dei parametri h, k $∈$ R, per i quali il sistema e' compatibile ...
sto ripassando un pò le quadriche e volevo provare a portare il paraboloide iperbolico
$z=xy$
nella forma canonica, che dovrebbe essere
$ax^2-by^2-cz=0$
A me non piace il metodo della rototraslazione e comunque mi hanno insegnato il metodo degli invarianti; ossia:
1-trovo gli autovalori della matrice dei coeff. di 2^grado
2-li inserisco nella eq.canonica e il terzo termine mancante lo trovo facendo determinante della matrice della quadrica proposta=det. della mat. della quadrica ...
Buongiorno a tutti! Ho un esercizio che mi ha lasciato un pò di dubbi, quindi chiedo un vostro parere
Sia $X$ uno spazio metrico e siano $f,g:X \rightarrow RR$ due funzioni continue. Si dimostri che l'insieme $U={x in X|f(x)<g(x)}$ è aperto e che l'insieme $V={x in X| f(x)<=g(x)}$ è chiuso
Io ho provato a farlo così
Iniziamo col dimostrare che $U$ è aperto. Poichè $f$ e $g$ sono continue, dalla definizione di continuità di spazi metrici ...
Propongo il seguente esercizio, di cui ho idea degli strumenti utilizzabili ma che non riesco a focalizzare, pur essendo probabilmente molto semplice. Siano $n \geq 2$ e $f: S^n \rightarrow \mathbb{R}$ un'applicazione continua. Denotiamo con $A$ l'insieme dei punti $t \in f(S^n)$ tali che la fibra $f^{-1}(t)$ ha cardinalità finita. Dimostrare che $A$ contiene al più due punti.
Di sicuro, essendo $S^n$ un connesso, la sua immagine $f(S^n)$ è un ...
Ciao ragazzi , sono qui oggi con un esercizio banale di geometria A. Vorrei sapere se lo svolgimento da me fatto e' corretto. Esso cita:
Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari:
\( \begin{pmatrix} 1 & k & 1 & h-1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & k & k & h \end{pmatrix} \)
dove l'ultima colonna e' quella dei termini noti.
a)Determinare, se esistono, valori dei parametri h, k $∈$ R per i quali il sistema e`compatibile.
b)Per i valori di h e k ottenuti al punto ...
calcolo autovalori e autovettori della matrice {1/3 0} {0 -1/2}.
Io sono riuscita a trovare i corrispondenti autovalori, ma gli autovettori mi uscivano nulli cosa che non dovrebbe essere da quello che ho capito.
Buon giorno a tutti,
sto studiando geometria e sono arrivato alla definizione di somma diretta di spazzi vettoriali. A questo punto ho trovato la seguente affermazione:
U + W è somma diretta se e solo se ogni suo vettore si esprime in modo unico nella forma u +w.
Infatti, se U + W = U \(\displaystyle \oplus \) W e
u+w=u'+w' per qualche u,u' \(\displaystyle \in \) U e w,w' \(\displaystyle \in \) W, allora
u-u'=w'-w \(\displaystyle \in \) U \(\displaystyle \cap \) W, quindi
u-u'=w'-w = 0 ...
Buongiorno!
Ho delle difficoltà nello sviluppo di questo esercizio:
Sia dato l'endomorfismo F di $R^3$ avente come autospazi
$(1,1,1)$
$(1,1,0)$
Rispetto all'autovalore 2 e
$(1,0,0)$
Rispetto all'autovalore 3.
Io ho trovato l'equazione di F:
$F(x,y,z) = (3x-y,2y,2z)$
Il problema è in questa domanda:
Stabilire se esiste una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta F è
$((2, 0, 1),(0,2,1),(0,0,3))$
Allora come primi due vettori della base ...
Buona sera! Ho un esercizio di topologia e vi chiedo un parere su come sia svolto.
Sia $ X $ uno spazio topologico di Hausdorff e siano $ Y_1, ...Y_n $ sottoinsiemi compatti di $ X $. Si dimostri che la loro intersezione $ Y=Y_ 1nn...Y_n$ è ancora un sottoinsieme compatto.
Io ho fatto cosi: poiché gli $ {Y_n} $ , con $ n in NN $ sono compatti e di Hausdorff, allora gli $ { Y_ n}$ sono chiusi. Inoltre intersezione di chiusi è chiusa ...
Un $K-$spazio vettoriale V non è finitamente generato se e solo se esiste una successione $(v_n)_{n \in NN}$ di vettori di $V$ tale che, per ogni $n \in NN$ il sistema $S_n = [v_1, ..., v_n]$ sia linearmente indipendente.
Mi aiutate a districare questo teorema? Quello che mi sembra dica l'enunciato è che esistano al più numerabile sistema di vettori (od insiemi di vettori) $S_n$ che sono generatori per $V$ e questi sono linearmente ...
Buonasera.
Sono alle prese con l'applicazione dell'algoritmo di Gauss per la riduzione della matrice a gradini.
In realtà non ho grossi problemi. Riesco a svolgere gli esercizi ma vorrei un chiarimento sulle operazioni elementari che si possono applicare.
Sono sostanzialmente 3:
1)scambio righe
2)moltiplicare riga per scalare diverso da 0
3)sommare ad una riga un MULTIPLO di un'altra.
Cosa si intende con questa ultima operazione? Non capisco la differenza con la seconda (a parte la somma). Per ...
Vorrei chiedervi informazioni riguardo la definizione di spazio vettoriale T definito dal prodotto tensoriale tra due spazi vettoriali V e W. Ho cercato on-line la definizione di spazio vettoriale libero, ma ho trovato solo un accenno, che dice che si può definire lo spazio prodotto tensoriale partendo da uno spazio vettoriale libero e poi usare delle relazioni d'equivalenza, oppure esiste un'altra definizione di T che si rifà ad applicazioni multilineari. Sapete dove posso trovare informazioni ...
Salve, avrei bisogno di aiuto per il calcolo della forma di killing attraverso le costanti di struttura dell'algebra su(3)
B(Ti,Tj)=-3δij
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