Sbaglio qualcosa nel portare questo paraboloide in forma canonica?

[wattbatt]

sto ripassando un pò le quadriche e volevo provare a portare il paraboloide iperbolico
$z=xy$
nella forma canonica, che dovrebbe essere
$ax^2-by^2-cz=0$

A me non piace il metodo della rototraslazione e comunque mi hanno insegnato il metodo degli invarianti; ossia:
1-trovo gli autovalori della matrice dei coeff. di 2^grado
2-li inserisco nella eq.canonica e il terzo termine mancante lo trovo facendo determinante della matrice della quadrica proposta=det. della mat. della quadrica canonica con il termine da cercare in incognito

nel mio caso specifico; chiamando A la matrice dei 2^ gradi e B quella completa,
col paraboloide $xy-z=0$ ho:

B=$((0,1/2,0,0),(1/2,0,0,0),(0,0,0,-1),(0,0,-1,0))$, detB=1/4, autovalori di A= 0 e $+-1/2$,
allora la forma canonica per ora dovrebbe essere: $1/2x^2-1/2y^2-cz=0$, ora cerco di trovare c
imponendo l'uguaglianza del detB e quello della forma canonica essendo invariante, quindi:

$1/4=det((1/2,0,0,0),(0,1/2,0,0),(0,0,0,c),(0,0,c,0))$

e qui mi blocco! ho riguardato i conti piu volte ma mi viene $1/4=-1/4c^2$ quindi c non è un numero reale, come mai ciò? Potete dirmi se e dove sbaglio qualcosa?

[wattbatt]

si, mi sono dimenticato di mettere meno un mezzo nella matrice haha...