Esercizio su aperti e chiusi
Buongiorno a tutti! Ho un esercizio che mi ha lasciato un pò di dubbi, quindi chiedo un vostro parere
Sia $X$ uno spazio metrico e siano $f,g:X \rightarrow RR$ due funzioni continue. Si dimostri che l'insieme $U={x in X|f(x)
Iniziamo col dimostrare che $U$ è aperto. Poichè $f$ e $g$ sono continue, dalla definizione di continuità di spazi metrici $f(B_(d_X)(x,delta)) sub g(B_(d_RR)(x,delta))$ che può tradursi in $ B_(d_X)(f(x), epsilon ) sub B_(d_RR)(g(x), epsilon)$ ,
quindi una palla centrata in $f(x)$ è un sottoinsieme proprio di una palla centrata in $g(x) rArr f(x)$ è interno a $g(x) rArr U$ è aperto.
Passando al caso di $V$ notiamo che
$f(B_(d_X)(x,delta)) sube g(B_(d_RR)(x,delta))$ che può tradursi in $ B_(d_X)(f(x), epsilon ) sube B_(d_RR)(g(x), epsilon)$, cioè i punti di frontiera potrebbero coincidere, quindi $V$ è chiuso
Sia $X$ uno spazio metrico e siano $f,g:X \rightarrow RR$ due funzioni continue. Si dimostri che l'insieme $U={x in X|f(x)
Iniziamo col dimostrare che $U$ è aperto. Poichè $f$ e $g$ sono continue, dalla definizione di continuità di spazi metrici $f(B_(d_X)(x,delta)) sub g(B_(d_RR)(x,delta))$ che può tradursi in $ B_(d_X)(f(x), epsilon ) sub B_(d_RR)(g(x), epsilon)$ ,
quindi una palla centrata in $f(x)$ è un sottoinsieme proprio di una palla centrata in $g(x) rArr f(x)$ è interno a $g(x) rArr U$ è aperto.
Passando al caso di $V$ notiamo che
$f(B_(d_X)(x,delta)) sube g(B_(d_RR)(x,delta))$ che può tradursi in $ B_(d_X)(f(x), epsilon ) sube B_(d_RR)(g(x), epsilon)$, cioè i punti di frontiera potrebbero coincidere, quindi $V$ è chiuso
Risposte
Scusa, non riesco a capire da dove hai preso $(f-g)^-1 ((-oo,0)) $, potresti spiegarmelo?
Grazie! Quindi a questo punto ( correggimi se sbaglio) applicando $ h^-1$ ad $ h $ otterrei $ h^-1 h = (f-g) (f-g ) ^ - 1 (-oo, 0) =(-oo, 0) $ che è un aperto di $ RR $. Dalla continuità la controimmagine di aperti è aperta, quindi $(f-g ) ^ - 1 (-oo, 0 ) $ è aperto, quindi $ U $ è aperto
Grazie! Hai ragione, sono proprio negata! Provo a dimostrare $ V $
Come prima $ V={x in X | f ( x )-g ( x ) <=0} $. Quindi $ V $ è l'insieme degli $ x $ che hanno come immagine $(-oo, 0] $ che è un chiuso di $ RR $. Quindi $ V $ è la controimmagine di un chiso tramite $ f-g $ che è continua, quindi $ V$ è chiuso
Come prima $ V={x in X | f ( x )-g ( x ) <=0} $. Quindi $ V $ è l'insieme degli $ x $ che hanno come immagine $(-oo, 0] $ che è un chiuso di $ RR $. Quindi $ V $ è la controimmagine di un chiso tramite $ f-g $ che è continua, quindi $ V$ è chiuso
Grazie
@sira
Un esercizio simile (ma credo leggermente più difficile) è il seguente:
Siano $X$ e $Y$ spazi topologici con $Y$ di Hausdorff e siano $f,g :X \to Y$ funzioni continue. Dimostrare che il sottoinsieme di $X$ dato da \( \{ x \in X \mid f(x) \ne g(x) \} \) è aperto.
Un esercizio simile (ma credo leggermente più difficile) è il seguente:
Siano $X$ e $Y$ spazi topologici con $Y$ di Hausdorff e siano $f,g :X \to Y$ funzioni continue. Dimostrare che il sottoinsieme di $X$ dato da \( \{ x \in X \mid f(x) \ne g(x) \} \) è aperto.
È una traccia d'esame di geometria 2 (il programma è la topologia generale). In effetti nella traccia iniziale c'era scritto che $ X $ è uno spazio topologico, ma poi è stato corretto (non so perché)
Per @Bremen000
Grazie per l'esercizio (almeno mi esercito un pò). Ho iniziato a pensarci e ho provato a fare così
Linsieme $U={x in X | f(x) != g(x)}= {x in X | f(x)-g(x) !=0}$ , quindi $ U$ è l'insieme che ha come punti gli $x$ tali che la loro immagine è diversa da $0$. Quindi $U=(f-g)^-1 ((-oo, 0) uu (0, +oo))$. $U$ è la controimmagine di funzioni continue e $(-oo,0) uu (0, +oo)$ è l'unione di due aperti di $RR$, quindi è aperta. Quindi possiamo dire che $U$ è la controimmagine continua di un aperto, quindi è un aperto.
Mi verrebbe da fare un'altra osservazione (non so se è giusta)
Se $Y$ è di Hausdorff $f(x)$ e $g(x)$ sono applicazioni chiuse. Ma l'unico punto per cui lo siano entrambe è lo zero che, in questo caso è escluso.
Grazie per l'esercizio (almeno mi esercito un pò). Ho iniziato a pensarci e ho provato a fare così
Linsieme $U={x in X | f(x) != g(x)}= {x in X | f(x)-g(x) !=0}$ , quindi $ U$ è l'insieme che ha come punti gli $x$ tali che la loro immagine è diversa da $0$. Quindi $U=(f-g)^-1 ((-oo, 0) uu (0, +oo))$. $U$ è la controimmagine di funzioni continue e $(-oo,0) uu (0, +oo)$ è l'unione di due aperti di $RR$, quindi è aperta. Quindi possiamo dire che $U$ è la controimmagine continua di un aperto, quindi è un aperto.
Mi verrebbe da fare un'altra osservazione (non so se è giusta)
Se $Y$ è di Hausdorff $f(x)$ e $g(x)$ sono applicazioni chiuse. Ma l'unico punto per cui lo siano entrambe è lo zero che, in questo caso è escluso.
Ciao sira, purtroppo hai scritto una cosa che non ha senso. Il punto che rende più difficile l'esercizio è che $f$ e $g$ sono a valori in uno spazio topologico $Y$ di Hausdorff generico. Non $\mathbb{R}$. Quindi non puoi nemmeno scrivere $f(x)-g(x)$ o sperare che $0 \in Y$. Bisogna ragionare in maniera diversa. Se non ti viene in mente nulla ho pronto un hint.
Grazie per la risposta.
L'unica cosa che mi viene in mente, è che $f$ e $g$ sono applicazioni chiuse e se coincidono su un sottoinsieme denso coincidono ovunque, cioè per ogni $x in X$ ( quindi in questo caso penso che sarebbe un chiuso).
In questo caso $f$ e $g$ non coincidono per ogni $x in X$, quindi non coincideranno nemmeno in un sottoinsieme denso.
(Spero di non aver detto troppe inesattezze e in ogni caso spiegami gentilmente come va fatto)
L'unica cosa che mi viene in mente, è che $f$ e $g$ sono applicazioni chiuse e se coincidono su un sottoinsieme denso coincidono ovunque, cioè per ogni $x in X$ ( quindi in questo caso penso che sarebbe un chiuso).
In questo caso $f$ e $g$ non coincidono per ogni $x in X$, quindi non coincideranno nemmeno in un sottoinsieme denso.
(Spero di non aver detto troppe inesattezze e in ogni caso spiegami gentilmente come va fatto)
Ciao, $f$ e $g$ non sono chiuse, sono continue.
Un modo per risolverlo è il seguente: considera l'applicazione
\[ h : X \to Y \times Y \quad \quad x \mapsto (f(x), g(x)) \]
allora essa è continua perché le sue componenti sono continue.
Vale
\[ \{ x \in X \mid f(x) = g(x) \} = h^{-1}( \Delta) \]
ove
\[ \Delta = \{ (x,y) \in Y \times Y \mid x=y \} \]
Poiché $Y$ è di Hausdorff, allora $\Delta \subset Y \times Y $ è chiuso. Dunque, essendo $h$ continua, si ha che \( \{ x \in X \mid f(x) = g(x) \} \) è chiuso in $X$ e quindi che \( \{ x \in X \mid f(x) \ne g(x) \} \) è aperto in $X$.
Un modo per risolverlo è il seguente: considera l'applicazione
\[ h : X \to Y \times Y \quad \quad x \mapsto (f(x), g(x)) \]
allora essa è continua perché le sue componenti sono continue.
Vale
\[ \{ x \in X \mid f(x) = g(x) \} = h^{-1}( \Delta) \]
ove
\[ \Delta = \{ (x,y) \in Y \times Y \mid x=y \} \]
Poiché $Y$ è di Hausdorff, allora $\Delta \subset Y \times Y $ è chiuso. Dunque, essendo $h$ continua, si ha che \( \{ x \in X \mid f(x) = g(x) \} \) è chiuso in $X$ e quindi che \( \{ x \in X \mid f(x) \ne g(x) \} \) è aperto in $X$.
Grazie mille, penso che non avrei mai pensato a tutto questo!
A proposito di questo
Io avevo pensato così
se $f,g: X rarr Y$ sono continue e $Y$ è di Hausdorff, allora ogni sottoinsieme $Z sube X$ tale che $Z={x in X|f(x)=g(x)}$ è chiuso.
Quindi anche $X$ è chiuso e poichè $f$ è continua $Y$ è l'immagine continua di un chiuso, ed inoltre $Y$ è chiuso perchè è di Hausdorff. E da qui io ho dedotto che $f$ e $g$ sono applicazioni chiuse.
Quindi questo ragionamento è sbagliato?
A proposito di questo
"Bremen000":
f e g non sono chiuse, sono continue
Io avevo pensato così
se $f,g: X rarr Y$ sono continue e $Y$ è di Hausdorff, allora ogni sottoinsieme $Z sube X$ tale che $Z={x in X|f(x)=g(x)}$ è chiuso.
Quindi anche $X$ è chiuso e poichè $f$ è continua $Y$ è l'immagine continua di un chiuso, ed inoltre $Y$ è chiuso perchè è di Hausdorff. E da qui io ho dedotto che $f$ e $g$ sono applicazioni chiuse.
Quindi questo ragionamento è sbagliato?
Secondo me fai molta confusione. Perché dici "ogni sottoinsieme $Z \subseteq X$ tale che..."? Ne esiste precisamente uno solo. E come fai a dire che è chiuso? E' esattamente la tesi dell'esercizio.
Poi, che $X$ è chiuso lo si sa dalla definizione di topologia su $X$.
Non è neppure vero che $Y$ sia l'immagine di $X$ attraverso $f$: chi ha detto che $f$ è suriettiva?
E se anche fosse, non ti farebbe concludere nulla, sai già che $Y$ è chiuso (sempre per definizione di topologia su $Y$). E cosa c'entrerebbe che $Y$ è di Hausdorff con il fatto che è chiuso?
Non mi è comunque chiaro come tu possa aver dedotto da qua che $f$ e $g$ sono chiuse. Un'applicazione tra spazi topologici si dice chiusa se mappa (tutti i) chiusi in chiusi.
Ti consiglio di riguardarti, per bene e con molta calma, le definizioni. Quando scrivi mi dai l'idea di farlo a 300 all'ora senza pensare troppo a quello che dici. Stai attenta (credo tu sia una donna) a ogni passaggio, deve filare tutto liscio e deve essere giustificato. Con calma.
Poi, che $X$ è chiuso lo si sa dalla definizione di topologia su $X$.
Non è neppure vero che $Y$ sia l'immagine di $X$ attraverso $f$: chi ha detto che $f$ è suriettiva?
E se anche fosse, non ti farebbe concludere nulla, sai già che $Y$ è chiuso (sempre per definizione di topologia su $Y$). E cosa c'entrerebbe che $Y$ è di Hausdorff con il fatto che è chiuso?
Non mi è comunque chiaro come tu possa aver dedotto da qua che $f$ e $g$ sono chiuse. Un'applicazione tra spazi topologici si dice chiusa se mappa (tutti i) chiusi in chiusi.
Ti consiglio di riguardarti, per bene e con molta calma, le definizioni. Quando scrivi mi dai l'idea di farlo a 300 all'ora senza pensare troppo a quello che dici. Stai attenta (credo tu sia una donna) a ogni passaggio, deve filare tutto liscio e deve essere giustificato. Con calma.
Ok, grazie per il consiglio! È vero, sono abituata quando faccio gli esercizi a scrivere a 300 all'ora (di solito con gli esercizi di altre materie fatte fin'ora filava tutto, dovevo solo capire all'inizio la traccia, ma con questa materia purtroppo non ci riesco)!
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