Esercizio su compatti
Buona sera! Ho un esercizio di topologia e vi chiedo un parere su come sia svolto.
Sia $ X $ uno spazio topologico di Hausdorff e siano $ Y_1, ...Y_n $ sottoinsiemi compatti di $ X $. Si dimostri che la loro intersezione $ Y=Y_ 1nn...Y_n$ è ancora un sottoinsieme compatto.
Io ho fatto cosi: poiché gli $ {Y_n} $ , con $ n in NN $ sono compatti e di Hausdorff, allora gli $ { Y_ n}$ sono chiusi. Inoltre intersezione di chiusi è chiusa $ \ rightarrow\ Y $ è chiuso. Ma $ Y $ è contenuto in compatti $\rightarrow\ Y $ è compatto
Sia $ X $ uno spazio topologico di Hausdorff e siano $ Y_1, ...Y_n $ sottoinsiemi compatti di $ X $. Si dimostri che la loro intersezione $ Y=Y_ 1nn...Y_n$ è ancora un sottoinsieme compatto.
Io ho fatto cosi: poiché gli $ {Y_n} $ , con $ n in NN $ sono compatti e di Hausdorff, allora gli $ { Y_ n}$ sono chiusi. Inoltre intersezione di chiusi è chiusa $ \ rightarrow\ Y $ è chiuso. Ma $ Y $ è contenuto in compatti $\rightarrow\ Y $ è compatto
Risposte
Tutto giusto, ora prova a generalizzare il risultato ad un'intersezione qualsiasi.
Grazie per la risposta! Per un' intersezione qualsiasi intendi un'intersezione infinita del tipo $ nnn_a Y_a $ ?
Si.
Ci provo! In questo caso provo a fare i casi per verificare che l'intersezione sia chiusa
caso 1
se almeno due degli $Y_n$ sono disgiunti allora l'intersezione è vuota $Y= O/$ ed è chiuso
caso 2
se gli $Y_n$ sono tali che la loro intersezione coincida almeno in un punto, allora $Y={x}$ che è chiuso
caso 3
se l'intersezione è tale che $Y=Y_k$ dove $Y_k$ contiene più di un punto, allora $Y_k$ è chiuso perchè continua ad essere di Hausdorff.
Quindi $nnn_ alpha Y_alpha$ è chiusa.
Nei casi visti precedentemente:
$O/$ è compatto perchè un suo sottoricoprimento è esso stesso
Se $Y={x}$ è compatto perchè un suo sottoricoprimento finito è esso stesso
Se $Y=Y_k$ un suo sottoricoprimento è dato da esso stesso o dai punti da esso contenuti.
Quindi è compatto.
Mi scuso per eventuali inesattezze
caso 1
se almeno due degli $Y_n$ sono disgiunti allora l'intersezione è vuota $Y= O/$ ed è chiuso
caso 2
se gli $Y_n$ sono tali che la loro intersezione coincida almeno in un punto, allora $Y={x}$ che è chiuso
caso 3
se l'intersezione è tale che $Y=Y_k$ dove $Y_k$ contiene più di un punto, allora $Y_k$ è chiuso perchè continua ad essere di Hausdorff.
Quindi $nnn_ alpha Y_alpha$ è chiusa.
Nei casi visti precedentemente:
$O/$ è compatto perchè un suo sottoricoprimento è esso stesso
Se $Y={x}$ è compatto perchè un suo sottoricoprimento finito è esso stesso
Se $Y=Y_k$ un suo sottoricoprimento è dato da esso stesso o dai punti da esso contenuti.
Quindi è compatto.
Mi scuso per eventuali inesattezze
Eh no, manca il caso che l'intersezione \(\displaystyle Z\) sia un sottoinsieme proprio, infinito e non vuoto di tutti gli insiemi che stai intersecando; a quel punto come procedi?
No non va bene, riprovaci senza distinguere dei casi. [Suggerimento: perché non riguardi prima la dimostrazione che hai già fatto (la prima) ? ]
Grazie mille per la risposta ad entrambi
Per @ j18eos
se $ Y$ è un sottoinsieme proprio, infinito e non vuoto di $ X $ ,poiché ogni suo punto è chiuso allora $Y$ è chiuso.Ma $ Y$ è intersezione di compatti quindi ogni suo ricoprimento aperto possiede sottoricoprimenti finito, cioè è compatto. Quindi $ Y $ è compatto
per @otta96
sia $ Y=nnn _ a Y_a $. Poiché gli $ Y_n $ sono compatti e di Hausdorff allora sono chiusi. Allora anche $ Y $ è di Hausdorff, quindi è chiuso. Inoltre è contenuto in compatti ( ognuno degli $ Y_ n $ possiede un sottoricoprimento finito) , quindi $ Y$ possiede un sottoricoprimento finito $\rightarrow Y $ è compatto
Per @ j18eos
se $ Y$ è un sottoinsieme proprio, infinito e non vuoto di $ X $ ,poiché ogni suo punto è chiuso allora $Y$ è chiuso.Ma $ Y$ è intersezione di compatti quindi ogni suo ricoprimento aperto possiede sottoricoprimenti finito, cioè è compatto. Quindi $ Y $ è compatto
per @otta96
sia $ Y=nnn _ a Y_a $. Poiché gli $ Y_n $ sono compatti e di Hausdorff allora sono chiusi. Allora anche $ Y $ è di Hausdorff, quindi è chiuso. Inoltre è contenuto in compatti ( ognuno degli $ Y_ n $ possiede un sottoricoprimento finito) , quindi $ Y$ possiede un sottoricoprimento finito $\rightarrow Y $ è compatto
Ora va bene, anche se il fatto che intersezioni di chiusi siano chiuse non dipendono da fatto che gli spazi siano di Haussdorff, ma vale in generale, praticamente per definizione di chiuso e di topologia.
Ok, grazie 
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