Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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"Si consideri il fascio proprio F(r) di asse la retta $ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=3-2t ):} $ ed il piano $ pi =3x-5y-z-3=0 $.
Se possibile, determinare:
(i) un piano $ alpha $ appartenente ad F(r) tale che risulti parallelo a $ pi $;
(ii) la distanza tra i due piani;
(iii) dire cosa rappresenta il luogo descritto dai punti $ alpha nn pi $."
In ordine:
(i) La retta r in forma cartesiana è $ { ( x-y-2=0 ),( 2x+z-5=0 ):} $
Per stabilire la posizione reciproca tra la retta e il piano, guardo la matrice ...
Buongiorno,
sto studiando il determinante di una matrice quadrata di ordine $n$, definito nel seguete modo:
Sia $A$ matrice quadrata di ordine $n$ sul campo $K$, dicesi determinante di $A$ la somma
$detA=sum_sigma segn(sigma)alpha_(1sigma_1)*...*alpha_(nsigma_n).$
Volevo chiarire, la seguente proprietà:
si fissa una permutazione $ beta in S_n$ e considerato uno degli addendi del $detA$, esiste una unica permutazione $gamma in S_n$, tale che ...
calcolo autovalori e autovettori della matrice $((0,1,-1),(1,0,-1),(-1,-1,2))$
ho calcolato il polinomio per trovare i corrispondenti autovalori e mi uscivano tre radici tra cui una nulla. è possibile?
Inoltre, nel calcolo degli autovettori questi mi uscivano nulli! qualcuno può aiutarmi?
"Fissato nello spazio un riferimento affine ortogonale e monometrico:
(i) Si scriva una rappresentazione parametrica ed una rappresentazione cartesiana del piano per
i punti A(1; 1;-5); B(0;-1; 2) e C(1/3;-1/5;-1).
(ii) Si scriva una rappresentazione parametrica ed una rappresentazione cartesiana della retta r
per P(1; 1; 1) ortogonale al piano.
(iii) Stabilire la posizione reciproca e la distanza tra la retta r e la retta s: $ { ( x+y+2=0 ),( y-z=0 ):} $"
In ordine:
(i) calcolo il vettore ...
Buona sera a tutti! Ho un esercizio "facile", ma meglio togliere ogni dubbio chiedendovi qualche parere
Dato $ n in NN $ si consideri il sottospazio $A_n$ di $RR^2$ definito da
$A_n={(x,y) in RR^2 | y=x^(2n-1)}$ e si ponga $X=uuu_(n in NN) A_n$.
a) Stabilire se $X$ è compatto e stabilire se $X$ è connesso
b) Posto $C={(x,y) in RR^2 | y=1}$, stabilire se $XnnC$ è uno spazio topologico compatto
Ho provato a farli così
a) $X$ non è compatto ...
Ciao ragazzi....
Ho svolto questo sistema....
$\{( y + z = k),(2x+3y+ 7z = 5),(x -3y-z = -2):}$
Se calcolo il determinante con Sarrus (riguarda solo la matrice incompleta....quindi senza k nei calcoli ) mi viene
$detA=15!=0$
Dove k può avere qualsiasi valore....
Il sistema è determinato.....
invece il prof mi ha detto che k=1
Ora ciò provato ma se faccio l 'E G mi da questo....
Mi sto confondendo.mi aiutate...vi prego mi spiegate passo passo....
Grazie a chi legge e a chi mi aiuta
"Al variare di h € R sono dati i sottospazi dello spazio vettoriale numerico R4:
U(h) = L[(0; 1-h;-2;-h); (1;-1; 0;-1); (h;-1;-2; 0)]
Stabilire per quali valori di h la somma U(h) + L[(2;-3;-4;-1)] non è diretta e individuare una base del sottospazio $ U(1) nn U(1) $"
Potete correggere il mio svolgimento di questo esercizio?
$ ( ( 0 , 1 , h , 2 ),( 1-h , -1 , -1 , -3 ),( -2 , 0 , -2 , -4 ),( -h , -1 , 0 , -1 ) ) $
La somma non è diretta se il determinante è uguale a 0. Riduco a scala:
$ ( ( -2 , 0 , -2 , -4 ),( 0 , 1 , h , 2 ),( 0 , 0 , -2 , -4 ),( 0 , 0 , 0 , 1-3h ) ) $
det(A)=-12h+4
-12h+4 = 0
Per h = 1/3 la somma non ...
Buonasera a tutti, avrei bisogno di aiuto con un problema di sugli isomorfismi tra gruppi. Sto studiando dall’Herstein ed uno dei corollari di un teorema recita che $dim(A+B)=dim(A)+dim(B)-dim(A nn B)$ dove $A,B$ sono sottospazi a dimensione finita di uno spazio vettoriale. La formula mi è chiara e la dimostrazione viene fatta osservando che $(A+B)/B$ è isomorfo a $A/(A nn B)$. Da questo passaggio mi è chiaro come si ricava la formula del corollario. Non riesco tuttavia a capire come si ...
"Dato l'endomorfismo f: R^3 -> R^3 descritto dalla matrice:
$ A_k=( ( 3 , 4 , 0 ),( 5 , 2 , 0 ),( k+1 , -2 , 7 ) ) $
1) trovare la dimensione di ker(f) al variare del parametro k;
2) per k=1, verificarne la diagonalizzabilità e calcolare UN autospazio; determinare inoltre una matrice simile ad A;
3) determinare, al variare del parametro k, gli autovalori di Ak;
4) verificarne, al variare del parametro k, la diagonalizzabilità."
In ordine:
1) poiché il rango della matrice è sempre massimo indipendentemente da k, la dimensione ...
Ciao a tutti
Faccio una premessa prima di iniziare
Quando io svolgo un sistema lineare NON omogeneo (parametrico o non) se opero con Gauss mi conviene fare la riduzione della matrice incompleta. Poi il rango di questa sarà il rango della matrice completa....cosi mi ha detto il prof....(credo che lui si riferisca alle matrici quadrate...giusto???)
Il mio dubbio è....se può capitare che il rango di A sia diverso dal rango A|b ????
Vi mostro cosa intendo con un esempio...
Al variare del parametro ...
Potete aiutarmi a capire la risoluzione di questo esercizio?
La matrice di passaggio da R alla canonica è $ ( ( 1 , 1 ),( 2 , -1 ) ) $
Il libro moltiplica quest'ultima per A e ottiene B = $ ( ( -1 , 7 ),( 0 , -3 ),( 0 , 0 ) ) $
Ora: la matrice B a cosa è riferita? Sempre alla base canonica?
E nel passaggio successivo, sta trovando semplicemente la matrice B riferita ad R'?
Buonasera ragazzi,
cito da wikipedia:
"Se $\underline{v} \text{ e } \underline{w}$ sono due vettori di $RR^n$, e s(.,.) il prodotto scalare interno, si definisce proiezione ortogonale di $underline{v}$ su $\underline{w}$ il vettore$c\underline{w}$ dove $c=\frac{s(\underline{v},\underline{w})}{s(\underline{v},\underline{v})}.$"
Allora ha senso considerare la funzione $proj_\underline{w}: \RR^n \to RR^n$ che ad un vettore $\underline{v}$ associa la sua proiezione ortogonale $c\underline{w]$ con $c$ prima definito.
Ora la domanda è: perché fare la ...
Buona sera a tutti! Chiedo un parere su questo esercizio
Sia $X$ uno spazio topologico tale che ogni funzione $f:X rarr RR$ sia continua. Dimostrare che $X$ ha la topologia banale
Ho iniziato a ragionare per assurdo supponendo che se ad esempio $X$ fosse dotato di topologia banale, l'unico aperto sarebbe stato lui stesso, quindi si avrebbe una funzione costante. Ma facendo così non dimostro niente.
Quindi ho provato a fare quest'altro ...
Ciao ragazzi , oggi ho un dubbio Amletico. Ho un testo d'esame che mi chiede di determinare il punto di una retta piu' vicino ad un'altra retta. Esso recita:
Nello spazio euclideo $R^3$ si considerino le rette:
$ r: x + z − 1 = y − z = 0$
$ s: 3x + y − 2z − 2 = x − 3y + 2 = 0$
Determinare il punto di r piu' vicino a s.
non so proprio come fare.
Ringrazio anticipatamente chiunque per la risposta.
Ciao a tutti!
Vi faccio una domanda che spero non risulti sciocca.
Data una matrice mxn , e la sua matrice trasposta nxm ,
Qual è l'applicazione che fa diventare la matrice mxn la sua trasposta, nonché una matrice nxm?
Esempio : Data una matrice 3x2, attraverso quale applicazione essa può diventare una matrice 2x3?
Vi ringrazio in anticipo !
Buonasera a tutti
Vi propongo questo testo:
Determinare autovettori e autovalori della seguente applicazione lineare $f:R^2->R^2$ con
$f(x,y)=(4x+y,x+5y)$
Soluzioni
La matrice associata è $((4,1),(1,5))$ dove il polinomio caratteristico sarà uguale a
$((4-lambda,1),(1,5-lambda))=lambda^2 -9lambda +19$
A questo punto il risultato dell'autovalore mi viene
$lambda=(9+-sqrt(5))/2$
Quindi ma($(9+sqrt(5))/2$)=1 e ma($(9-sqrt(5))/2$)=1
Gli autospazi o autovettori li ricavo facendo
V={x€R^3/(A-I)=0}
Ma come mi ...
Buongiorno a tutti!
Vi scrivo perché non riesco a comprendere gli esercizi riportati nella foto e, di conseguenza, a svolgerli.
Nell'esercizio 6, chiede di trovare la matrice da associare a ciascuna matrice affinché sia possibile la moltiplicazione? (n°colonne=n°righe)
Oppure chiede di trovare la matrice da associare a ciascuna matrice affinché, in seguito all'applicazione di L, venga invertito il numero di righe e colonne?
Non avendo compreso l'esercizio 6, non mi è ...
Buongiorno,
ho il seguente dubbio, inerente alle proprietà elementari del determinante, in particolare
$A$ ha due linee parallele allora $|A|=0$
Dimostrazione
$a_i=a_j i<j$ considera la trasposizione $t=(ij)$ per ogni permutazione $q$ si ha $s(tq)=-s(q)$ e inoltre $(tq)(x)=q(x)$ per ogni $x ne i,j$, $(tq)(i)=q(j)$ e $(tq)(j)=q(i)$. Risulta
$s(tq)=a_(1tq(1))*...*a_(itq(i))*...*a_(jtq(j))*...*a_(ntq(n))=-s(q)a_(1tq(1))*...*a_(iq(i))*...*a_(jq(j))*...*a_(nq(n))$
Poichè l'applicazione $q in A_n to r=tq in S_n-A_n$ è biettiva si ha ...
Salve a tutti, avrei bisogno di una mano dato che domani ho un esame e non riesco ancora a capire quale variabile porre a $t$. Mi spiego meglio con un esempio:
In un problema ho la retta $r$ = $$\begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x-z=0 \end{cases}$$ a me verrebbe spontaneo porre $z=t$ ma la soluzione del problema suggerisce la $x$. Ora la mia domanda è come faccio a capire in generale quale variabile porre a ...
Se consideriamo un vettore di R^n possiamo scrivere x=(x1, X2,..,Xn), dove queste ultime sono le componenti del vettore rispetto alla base canonica. In generale, si scrive mai in R^n un vettore come uguale all'n-pla delle sue componenti rispetto a un'altra base? Mi spiego meglio: data una base, che non sia quella canonica, rispetto alla quale il vettore di prima ha componenti (a1,...,an) si può scrivere (o comunque si usa farlo) x=(a1,...,an)? specificando ovviamente che si parla di una base ...
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