Esercizio su confronto di due topologie
Ciao, studio matematica per l'ingegneria quindi i corsi puramente matematici non sono trattati con troppo formalismo, mi sono imbattuta in un esercizio (il secondo, quindi siamo a posto con la comprensione della materia), in cui mi è chiesto di dimostrazione che la topologia della semicontinuità superiore, e analogamente quella della semicontinuità inferiore, sono meno fini della topologia euclidea sulla retta R. Anche se ho abbastanza chiari i concetti di aperto, chiuso non sono sicura di essere riuscita a dimostrarlo in modo esatto, quindi volevo chiedere a voi come l'avreste fatto. Io avevo immaginato di prendere una palla di centro a (la topologia della semicontinuità inferiore è definita come (a, +inf), e di raggio epsilon generico, tanto comunque questa palla non è contenuta in questa semiretta perché "parte" proprio da a, mentre invece è sicuramente contenuta nell'unione degli intervalli aperti da cui è definita quella euclidea. Come potete notare sono molto confusa quindi se riuscite a farmi chiarezza ne sarei molto grata 
Risposte
Ciao, concentriamoci per esempio sulla semicontinuità superiore ($\tau_s$).
Tu devi dimostrare che \( \tau_{s} \subsetneq \tau_{e} \), dove $\tau_e$ è la topologia euclidea. Ti è chiaro questo?
Tu devi dimostrare che \( \tau_{s} \subsetneq \tau_{e} \), dove $\tau_e$ è la topologia euclidea. Ti è chiaro questo?
Sì, questo sì
Bene, allora bisogna far vedere due cose:
1. Sia $A \in \tau_s$, allora $A \in \tau_{e}$.
2. Esiste un $A_0 \in \tau_e$ tale che $A_0 \notin \tau_s$.
e questo credo che ti sia chiaro.
Partiamo dall'1.
E' sufficiente mostrare che una base \( \mathcal{B} \) di $\tau_s$ è contenuta in $\tau_e$. Giusto? Se si mostralo, se no, ne parliamo!
1. Sia $A \in \tau_s$, allora $A \in \tau_{e}$.
2. Esiste un $A_0 \in \tau_e$ tale che $A_0 \notin \tau_s$.
e questo credo che ti sia chiaro.
Partiamo dall'1.
E' sufficiente mostrare che una base \( \mathcal{B} \) di $\tau_s$ è contenuta in $\tau_e$. Giusto? Se si mostralo, se no, ne parliamo!
In realtà quello che ho scritto sulla base non serve perché tu hai già un'espressione esplicita per tutti gli elementi di $\tau_s$, perdonami.
Infatti
\[ \tau_s = \{ \mathbb{R} \} \cup \{ \emptyset \} \cup \{ (-\infty, x) \mid x \in \mathbb{R} \} \]
Nota in particolare che tutti gli aperti non vuoti di $\tau_s$ sono inferiormente illimitati.
Chiaramente $\mathbb{R} , \emptyset \in \tau_e$ e per ogni $x$ reale anche \( (-\infty, x) \in \tau_e \), quindi $\tau_s \subseteq \tau_e$.
Una possibile scelta di $A_0$ è data da $(-1,1)$. Chiaramente $(-1,1) \in \tau_e$ (è la palla di raggio $1$ centrata in $0$) e altrettanto chiaramente $A_0 \notin \tau_s$ perché è inferiormente limitato.
E' quello che avevi scritto tu nel primo post ma in parte non l'avevo capito e in parte non era scritto per bene.
Infatti
\[ \tau_s = \{ \mathbb{R} \} \cup \{ \emptyset \} \cup \{ (-\infty, x) \mid x \in \mathbb{R} \} \]
Nota in particolare che tutti gli aperti non vuoti di $\tau_s$ sono inferiormente illimitati.
Chiaramente $\mathbb{R} , \emptyset \in \tau_e$ e per ogni $x$ reale anche \( (-\infty, x) \in \tau_e \), quindi $\tau_s \subseteq \tau_e$.
Una possibile scelta di $A_0$ è data da $(-1,1)$. Chiaramente $(-1,1) \in \tau_e$ (è la palla di raggio $1$ centrata in $0$) e altrettanto chiaramente $A_0 \notin \tau_s$ perché è inferiormente limitato.
E' quello che avevi scritto tu nel primo post ma in parte non l'avevo capito e in parte non era scritto per bene.
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