Dubbio su compatti

[sira2]

Buona sera a tutti! Ho un esercizio che non riesco a capire bene
Devo dimostrare che $ Y ={x} uu NN$ è compatto. Una cosa simile l'ho già postata in un esercizio ma provandolo a fare mi rendo conto che mi blocco perché effettivamente non l'ho capito tanto bene. Potete aiutarmi? Grazie

[otta96]

Devi dire quale topologia c'è nel tuo insieme, messa così la domanda non è ben posta.

[sira2]

Grazie per la risposta! La topologia è $ t={Y, NN, P (NN)} $ dove $ P ( NN) $ è l'insieme delle parti di $ X $

[otta96]

Applica la definizione di ricoprimento a $x$.

[sira2]

Quindi è compatto perchè un suo sottoricoprimento finito è ${x}uu{{n}|n in NN}$ ?

[j18eos]

Prova ad elencare tutti i ricoprimenti per aperti di \(\displaystyle Y\)...

[otta96]

No perché non devi trovare un ricoprimento finito, quello c'è l'hanno tutti gli spazi topologici, devi partire da un ricoprimento aperto e trovarne un sottoricoprimento finito.

[sira2]

Grazie per la risposta! I ricoprimenti aperti di $ Y $ sono tutti i possibili insiemi appartenenti a $ P (NN) $ , $ NN $ ed $ Y $ stesso, giusto? Se consideriamo gli insiemi $ { 1,...n}$ di $ P ( NN ) $ allora siamo sicuri che abbiamo un sottoricoprimento finito. Ma se consideriamo $ NN $ o $ Y $ stesso come posso dire che è finito?

[otta96]

Non capisco perché continui ad aggiungere $NN$ agli aperti quando puoi dedurre che c'è dato che è in $P(NN) $. Ad ogni modo dovresti partire da un ricoprimento di $Y$ e considerare un aperto che contiene $x$, e quindi....

[sira2]

Quindi se un ricoprimento di $Y$ è lui stesso, $U_0$ è un ricoprimento di ${x}$, e $U_1,...U_n$ sono ricoprimenti di $NN$, allora così ho dimostrato che contiene un sottoricoprimento finito?

[killing_buddha]

Quello che ti si vuole fare osservare è che (con la definizione che hai dato della topologia) non esiste nessun aperto oltre a $Y$ che contenga $x$, e se quindi $\mathfrak U$ è un ricoprimento aperto di $Y$, per coprire $x$ deve contenere già tutto lo spazio $Y$, quindi esiste un sottoricoprimento finito.

PS:

"sira":Quindi se un ricoprimento di $Y$ è lui stesso, $U_0$ è un ricoprimento di ${x}$, e $U_1,...U_n$ sono ricoprimenti di $NN$, allora così ho dimostrato che contiene un sottoricoprimento finito?

Non so cosa volessi dire, ma questo non significa niente.

[sira2]

Grazie per la risposta! Quindi se un ricoprimento contiene $ {x} $ contiene tutto $ Y $. Non riuscivo a capire questa cosa perché $ Y $ contiene $ NN $ che non è compatto, quindi mi chiedevo come potesse esserlo lui

[otta96]

Ma infatti sottospazi di compatti non sono compatti, anche perché ogni spazio si può immergere in uno spazio compatto, sennò tutti gli spazi sarebbero compatti.

[sira2]

ok,grazie! Più o meno ho capito

[killing_buddha]

"sira":Grazie per la risposta! Quindi se un ricoprimento contiene \( {x} \) contiene tutto \( Y \). Non riuscivo a capire questa cosa perché \( Y \) contiene \( \mathbb N \) che non è compatto, quindi mi chiedevo come potesse esserlo lui

In questa particolare topologia è vero che ogni ricoprimento di \(Y\) deve avere \(Y\) tra gli elementi, perché esiste un punto \(x\) il cui filtro degli intorni è \(\mathfrak F_x = \{Y\}\). Ma questo non significa né che sia vero sempre, né che (come altrove hai dato modo di avere inteso) vada trovato un ricoprimento di \(Y\) finito. Un tale ricoprimento esiste sempre. La definizione di compatto è diversa, e lo scopo di questo esercizio è esattamente farti notare che qualsiasi spazio topologico \((X, \tau)\) si può rendere compatto in maniera molto banale, definendo \(X^\bullet = X \sqcup \{\infty\}\), e una topologia \(\tau^\bullet\) che coincide con \(\tau\) sugli elementi di \(X\), e in cui \(\infty\) ha come filtro degli intorni unicamente \(\{X\sqcup\{\infty\}\}\).

Ora potresti chiederti: c'è un'ovvia funzione continua \(\iota = (1_X\sqcup i_{\{\infty\}}) : X = X\sqcup \varnothing \to X^\bullet\); quali sono gli spazi topologici \(E\) tali che ogni funzione continua \(f : X \to E\) ammette un'estensione continua \(f^\bullet : X^\bullet \to E\)?

[tex]\xymatrix{
X \ar[d] \ar[r]^f & E\\
X^\bullet \ar@{.>}[ur]_{\exists\, f^\bullet}
}[/tex]

Quali sono, poi, quegli $E'$ tali per cui \(f^\bullet\) è unica?

[sira2]

Grazie ancora! Spero di non dire stupidaggini. Sono quelli che hanno le stesse proprietà, quindi $E$ è compatto se lo sono anche $X$ e $ X^. $

[killing_buddha]

"sira":Grazie ancora! Spero di non dire stupidaggini. Sono quelli che hanno le stesse proprietà, quindi $E$ è compatto se lo sono anche $X$ e $ X^. $

Non vuol dire niente questa cosa. Ci sono sottospazi compatti di spazi non compatti, e se $X$ è compatto, tanto sarà \(X^\bullet\), senza tuttavia essergli omeomorfo (prendi, ad esempio, un insieme finito di numeri reali: \(\{0,1,2\} \hookrightarrow \mathbb R\). Che topologia ha \(\{0,1,2,\infty\}\) secondo quelle definizioni? Ed esiste un'estensione continua dell'inclusione di $X$ in $RR$?).

[sira2]

Scusa se dico stupidaggini, ma questa cosa mi ha mandata in tilt perché non l'ho trattata dal punto di vista teorico, né ho mai visto esercizi simili. Quindi, secondo quanto detto prima,$ {0,1,2, oo } $ è l'unico aperto contenente $ oo $, quindi un suo sottoricoprimento è lui stesso ad esempio, quindi è compatto. Ma $ { 0,1,2} $ è pure compatto. Secondo me esiste un'estensione continua, ma non so spiegare il perché

[killing_buddha]

"sira":Scusa se dico stupidaggini, ma questa cosa mi ha mandata in tilt perché non l'ho trattata dal punto di vista teorico, né ho mai visto esercizi simili. Quindi, secondo quanto detto prima,$ {0,1,2, oo } $ è l'unico aperto contenente $ oo $, quindi un suo sottoricoprimento è lui stesso ad esempio, quindi è compatto.

Questa frase non ha senso, sono gli spazi e non i punti a essere compatti.

Ma $ { 0,1,2} $ è pure compatto. Secondo me esiste un'estensione continua, ma non so spiegare il perché

Non è questo il modo in cui si fa matematica