Dimensioni e base

[Oscar19]

Ciao a tutti
Oggi cambio argomento....non più a.l.
Oggi mi dedico ha....un po di attesa....a dim e base di uno spazio vettoriale

Iniziamo dal testo
Siano dati in $R^4$ i vettori v1=(2,0,2, 0) v2=(2,h,3,h)
v3=(1,1+h,1,2h) con h appartenente a R
Sia W=L(v1,v2,v3)
Trovare :

$ dimW $ e una base di W al variare di h.

Scegliere un valore h per cui v1,v2,v3 risultino L.I. e completare l'insieme v1,v2 ,v3 a una base di $R^4$

Soluzione
Io per prima cosa ho svolto l'E.G della matrice formata da i vettori v1,v2,v3,

$((2,0,2,0),(2,h,3,h),(1,1+h,1,2h))$ che diventa $((2,0,2,0),(0,h,1,h),(0,0,1+h,h))$

Il det = 2h(h+1) cioè h=0 h=-1
A questo punto mi trovo la dim e la base per h=0 e h=-1
E sono :
h=0
$dimW=3$ con la base (ottenuto dal sistema omogeneo ,(ricavato dalla riduzione)) Bw=(0,0,0,1)

h=-1
$dimW=3$ con la base (ottenuto dal sistema omogeneo ,(ricavato dalla riduzione)) Bw=(-1,2,1,-2)

Spero di non aver scritto idiozie...
Per la seconda domanda qui che ho un po' di difficoltà....se considero h=0 è giusto???

[cooper1]

se la dimensione di uno spazio è n allora una base deve necessariamente essere fatta di n vettori (proprio per definizione di dimensione). quindi le due basi che hai trovato non possono essere corrette.
le basi corrispondono alle colonne della matrice non ridotta in corrispondenza dei pivot (oltretutto io le metto sempre in colonna così da capire proprio questa cosa).

[Oscar19]

E lo sapevo.... sbaglio sempre.... io con la geometria non facciamo coppia fissa ....era meglio analisi.....(almeno per me )....
Allora se ho capito bene ...io dovevo scrivere i vettori in colonna giusto ?, poi fare l'E.G. e trovare il valore di h e trorvare la dim e una base....
Mi sa che ho fatto un po' di casino.... ho mischiato la teoria dei sottospazi somma e intersezione....(mi spiego meglio ......
ho scritto la matrice come quando trovo la dim e la base per i sottospazi cioè per riga.....)
Ma poi il procedimento è uguale ????

[cooper1]

1. metti i vettori in colonna a formare una matrice
2. Gauss
3. calcoli il rango al variare di h
4. guardi in quali colonne sono i pivot: i vettori colonna corrispondenti (della matrice originaria però non quella ridotta con Gauss) sono i vettori della base

[Bokonon]

"Oscar19":
Io per prima cosa ho svolto l'E.G della matrice formata da i vettori v1,v2,v3,

$((2,0,2,0),(2,h,3,h),(1,1+h,1,2h))$

Fin qua è ok ma come ha scritto Cooper...preferisco operare per colonne.
Riassumiamo il problema. Ci vengono dati tre vettori di $R^4$, quindi al massimo possono produrre un sottospazio di dimensione 3...se sono linearmente indipendenti.

"Oscar19":
Il det = 2h(h+1) cioè h=0 h=-1
A questo punto mi trovo la dim e la base per h=0 e h=-1

Questo passaggio è alquanto oscuro..e sbagliato. Infatti dopo scopri che per entrambi quei valori di h, i tre vettori sono linearmente indipendenti e sono quindi una base per un sottospazio di dimensione 3.

Io ho proceduto così:
$ ( ( 2 , 2 , 1 ),( 0 , h , 1+h ),( 2 , 3 , 1 ),( 0 , h , 2h ) ) rArr ( ( 2 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , h+1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , h-1 ) ) $
Si vede chiaramente che la matrice ha sempre tre pivot. L'ultima colonna non si azzera mai per qualsiasi valore di h.
Quindi i tre vettori dati sono sempre linearmente indipendenti e formano una base di un sottospazio di $R^4$ di dimensione 3.

[Bokonon]

Per completare la base è sufficiente trovare un quarto vettore indipendente dagli altri 3. Il più semplice è quello ortogonale ad ognuno di essi. Quindi si può procedere trovando il kernel della matrice trasposta (quella che stavi utilizzando) oppure fare il prodotto vettoriale dei tre vettori dati.
Un vettore che completa la base ed è ortogonale agli altri 3 è $ ( ( h(1-h) ),( -2h ),( h(h-1) ),( h+1 ) ) $
Per qualsiasi valore di h, i 4 vettori formeranno una base di $R^4$

[Oscar19]

Grazie ragazzi siete grandi....spiegazioni perfette...chapeau...
Bokonon hai perfettamente ragione.... quando ho fatto l'esercizio io avevo notato che i 3 vettori erano sempre L.I. ma ero convinto che sbagliavo...mi son convinto di svolgerlo in quel modo.
Cooper i tuoi schemi sono sempre utili
Grazie ancora a entrambi