Proprietà elementari del determinante.

[galles90]

Buonasera,

Ho la seguente proprietà elementare del determinante di una matrice,
Se la matrice $B$ viene ottenta dalla matrice $A$ permutando due linee parallele risulta $|B|=-|A|$.

dimostrazione

Supponiamo che la matrice $B$ è ottenuta da $A$ permutando le righe i-esima e j-esima, cioè $b_i=a_j$ e $b_j=a_i$ e $b_h=a_h$ per ogni $h ne i,j$.
Supponiamo che $i
\(\displaystyle t=\binom{1***i***h***j***n}{1***j***h***i***n}. \)

"la parte che segue, non è mi molta chiara"
Ovviamente $t$ presenta inversione soltanto in ogni coppia del tipo $(i,h)$ con $i
Grazie

[killing_buddha]

Il punto è che le operazioni che scambiano due righe di una matrice sono lineari, e in effetti sono esattamente delle matrici quadrate che agiscono su quella le cui righe vuoi scambiare. Quello che hai definito quando "realizzi" una permutazione come una applicazione lineare mandando $\sigma$ nella sua matrice di permutazione è un omomorfismo di gruppi da $Sym(n) $ al gruppo delle matrici $n\times n$. Questo omomorfismo è tale che \(\det S_\sigma = \text{sgn}(\sigma)\) (ed è in particolare 1 o -1). Unisci questo fatto al teorema di Binet e concludi.

[galles90]

Ciao,

scusami forse non mi sono escpresso bene, la parte che non mi torna è sul numero di inversioni che ha $t$, cioè se prendo la permutazione

\( \displaystyle t=\binom{1***i***h***j***n}{1***j***h***i***n}. \)

"quello che vedo" presenta "una" inversione nella coppia $(i,j)$

quindi non mi torna quando dice

"galles90":
Ovviamente $ t $ presenta inversione soltanto in ogni coppia del tipo $ (i,h) $ con $ i
Grazie

[killing_buddha]

Mi sembra più facile decrittare una stele egizia che capire cosa vuol dire quella frase. Come ho detto, il punto è che i gruppi simmetrici si rappresentano nel gruppo lineare, prova a vedere se così ti torna tutto nonostante l'astrusità di quella spiegazione.

[galles90]

"killing_buddha":Mi sembra più facile decrittare una stele egizia che capire cosa vuol dire quella frase..

Nicola Melone

[dissonance]

@galles: tu e KB non riuscite a instaurare un dialogo perché non hai scritto la definizione di determinante. Il fatto che l'autore sia Melone invece di Anguria (pardón, non ho proprio resistito ) non è rilevante.

Scrivi la definizione di determinante per favore.

[galles90]

"dissonance":@galles: tu e KB non riuscite a instaurare un dialogo perché non hai scritto la definizione di determinante. Il fatto che l'autore sia Melone invece di Anguria (pardón, non ho proprio resistito ) non è rilevante.

Scrivi la definizione di determinante per favore.

Ahahaha grande

Comunque eccola

Def. Si definisce determinante di una matrice quadrata $A$ d'ordine $n$ ad elementi nell'anello commutativo unitario $K$ e si denota con $det(A)$ l'elemento di $K$ definito ponendo:

$det(A)=sum_(p in S_n)s(p)a_(1p(1))...a_(np(n))$

per il calcolo del determinante , usando la definizione si procede nel seguente modo

1) Si determinano le $n!$ permutazioni dell'insieme $I_n$
2) Per ogni permutazione $p in S_n$ si determina il segno $s(p)$ 3) Infine si sommano tuttu gli scalari $a_p$

in linea di massima , la parte che non mi è chiara serve per determinare il segno della permutazione.

Vi dico quello che ho intuito, così arriviamo subito al nocciolo dell'errore.

Il melone ottiene la matrice $ B$ permutando la righa i-esima con la l-esima di $A$ ovvero $b_i=a_j$ $b_j=a_i$ e $b_h=a_h$ per il restante. Suppone che la posizione di tale righa abbia questa relazione $i
\(\displaystyle t=\binom{1---i---h---j---n}{1---j---h---i---n} \)

il significato di $t$ è quello di permutare le righe sopra dette, e lasciare invariate le altre.

[dissonance]

[ot] se riusciamo a capirlo per festeggiare andiamo al mercato a comprare la frutta[/ot]

[galles90]

"dissonance":[ot]:-D se riusciamo a capirlo per festeggiare andiamo al mercato a comprare la frutta[/ot]

ma quello che ho riportato dal libro, oppure il mio dubbio ?

Ciao

[Cantor99]

Io ho studiato dal buon Melone

In pratica, scambiando $i$ con $j$, ottieni inversioni :
1) nelle coppie $(h,i)$ con $i $(i+1,i),(i+2,i),...,(j-1,i),(j,i)$
perchè $t(i)=j>t(i+1)=i+1,t(i+2)=i+2,...,t(j-1)=j-1,t(j)=i$.
Contandole, sono $j-i$.

2) nelle coppie $(k,j)$ con $i $(i+1,j),(i+2,j),...,(j-1,j)$
perchè $i=t(j) Contandole sono $j-i-1$.

Insomma, la cosa a cui fare attenzione è non ripetere l'inversione $(i,j)$

[galles90]

Ciao, grazie cantor99 per la tua risposta.

Si sono d'accordo con te su quello che dici, proprio stamattina ho rivisto questo argomento trovando un topic su matematicamente.it "buon forum" .

Comunque la dimostrazione prosegue e ci sono vari punti che non mi tornano,riporto prima dimostrazione:

"galles90":

dimostrazione

Supponiamo che la matrice $ B $ è ottenuta da $ A $ permutando le righe i-esima e j-esima, cioè $ b_i=a_j $ e $ b_j=a_i $ e $ b_h=a_h $ per ogni $ h ne i,j $.
Supponiamo che $ i
\( \displaystyle t=\binom{1***i***h***j***n}{1***j***h***i***n}. \)

"la parte che segue, non è mi molta chiara"
Ovviamente $ t $ presenta inversione soltanto in ogni coppia del tipo $ (i,h) $ con $ i

Ne segue il segno $i(t)=2(j-i)-1$ ovvero $t $è dispari, quindi per ogni permutazione $q$ si ha $s(tq)=-s(q)$
Risulta inoltre:
$(tq)(x)=q(x)$ per $x ne i,j$
$(tq)(i)=q(j)$
$(tq)(j)=q(i)$

Quindi

$**$ $s(q)b_(1q(1))...b_(iq(i))...b_(jq(j))...b_(nq(n))=s(q)a_(1q(1))...a_(jq(i))...a_(iq(j))...a_(nq(n))=s(q)a_(1q(1))...a_(iq(j))...a_(jq(i))...a_(nq(n))=s(q)a_(1(tq)(1))...a_(i(tq)(j))...a_(j(tq)(i))...a_(n(tq)(n))=-s(tq)a_(1(tq)(1))...a_(i(tq)(j))...a_(j(tq)(i))...a_(n(tq)(n))$.

ci sono alcuni punti di questa parte che non mi sono molto chiari:

sia $q$ una generica permutazione, quando determina il segno $s(tq)=-s(q)$ vuol dire questo $s(tq)=-s(q)=-(-1)^(i(q))$ non che $-s(q)$ è sempre negativo.

nel secondo membro della relazione $**$ in particolare si ha $a_(jq(i))$ questo deriva dal fatto che:
$b_i=a_j$
tipo non si potrebbe avere una coppia $a_(jq(j))$ in quanto $q(j) to (tq)(i)$ quindi non avrebbe senso ?

l'ultima, sempre nella relazione $**$ in particolare nel terzo membro commutato di posto $a_(jq(i))$ questo passaggio perchè viene fatto ? per una questione di "eleganza" in quanto alla fine si avrebbe nel prodotto finale una cosa del tipo $a_(jq(i))---a_(iq(j))$ con $i
Spero che sono stato chiaro nell'elencare i miei dubbi, spero nel buon aiuto di qualcuno.

Cordiali saluti.

[Cantor99]

Scusami se ti rispondo solo adesso

Dal primo al secondo membro ha usato la definizione di $B$. Quindi gli elementi che cambiano sono $b_(iq(i))= a_(jq(i)$
$b_(jq(j))= a_(iq(j)$
Gli altri restano gli stessi

Dal secondo al terzo membro ha semplicemente spostato $a_(jq(i))$ e $a_(iq(j))$ perchè $i
Dal terzo al quarto ha usato le relazione fra $tq$ e $q$ che hai scritto.

Forse ti può essere utile anche questo post
viewtopic.php?f=37&t=188336

[Bokonon]

"galles90":Buonasera,

Ho la seguente proprietà elementare del determinante di una matrice,
Se la matrice $B$ viene ottenta dalla matrice $A$ permutando due linee parallele risulta $|B|=-|A|$.

Il modo più semplice di tutti è usare le matrici di permutazione P (permutazioni della matrice identità).
$B=PA$ quindi $det(B)=det(PA)=det(P)*det(A)$
Se la matrice P fa una sola permutazione il suo determinante è -1 quindi $det(B)=-det(A)$
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_permutazione

[galles90]

Ciao grazie per le risposte, si lo so @Bokonon ma sul libro è riportato questo procedimento.

Vi ringrazio