Esercizio su una topologia
Buongiorno a tutti! Avendo parecchi dubbi su alcuni esercizi di topologia ne posto uno per chiedervi se è svolto correttamente
Sia $X$ un insieme, $x_0 in X$ un punto fissato e definiamo una topologia $ tau $ su $X$ come segue:
$ tau ={Usube X|x_0 in A} uu {O/ } $
1) Se $A in tau$ è un aperto e non vuoto e $x !=x_0$, dimostrare che $X$ è un punto di accumulazione per $A$. Dedurne che $A$ è denso in $X$
2) Se $C$ è un chiuso proprio di $X$, dimostrare che la parte interna di $C$ è vuota
3) Stabilire se $(X, tau)$ è uno spazio topologico connesso
Io l'ho svolto così
1) Siano ${x_0,x}$ due punti di un aperto $A$ di $X$. Poichè l'intorno di $x$ possiede punti diversi da $x$, infatti tale intorno possiede il punto $x_0$, allora $x$ è di accumulazione per $A$. Ma $ bar(A) =bar({x_0,x})=X $ , infatti il più piccolo chiuso contenente ${x_0,x}$ è $X$, quindi $A$ è denso in $X$.
2) Sia $C$ un chiuso proprio di $X$. Per definizione la parte interna è $ hat(C) = uuu_(Asube C) A $ , dove con $A$ indichiamo gli aperti contenuti in $C$. Poichè tutti i sottoinsiemi propri di $X$ sono aperti, $C$ coincide con $ hat(C) $ $ rArr $ contraddizione perchè avevamo supposto che $C$ è un chiuso. Quindi l'unico modo affinchè $C$ sia un chiuso proprio di $X$ è che sia vuoto.
3)Supponiamo per assurdo che sia sconnesso. Allora potremmo scrivere $X$ come unione disgiunta di aperti propri. Ma tutti gli aperti di $X$ hanno il punto ${x_0}$ in comune, quindi non sono disgiunti. Quindi $X$ è connesso
Sia $X$ un insieme, $x_0 in X$ un punto fissato e definiamo una topologia $ tau $ su $X$ come segue:
$ tau ={Usube X|x_0 in A} uu {O/ } $
1) Se $A in tau$ è un aperto e non vuoto e $x !=x_0$, dimostrare che $X$ è un punto di accumulazione per $A$. Dedurne che $A$ è denso in $X$
2) Se $C$ è un chiuso proprio di $X$, dimostrare che la parte interna di $C$ è vuota
3) Stabilire se $(X, tau)$ è uno spazio topologico connesso
Io l'ho svolto così
1) Siano ${x_0,x}$ due punti di un aperto $A$ di $X$. Poichè l'intorno di $x$ possiede punti diversi da $x$, infatti tale intorno possiede il punto $x_0$, allora $x$ è di accumulazione per $A$. Ma $ bar(A) =bar({x_0,x})=X $ , infatti il più piccolo chiuso contenente ${x_0,x}$ è $X$, quindi $A$ è denso in $X$.
2) Sia $C$ un chiuso proprio di $X$. Per definizione la parte interna è $ hat(C) = uuu_(Asube C) A $ , dove con $A$ indichiamo gli aperti contenuti in $C$. Poichè tutti i sottoinsiemi propri di $X$ sono aperti, $C$ coincide con $ hat(C) $ $ rArr $ contraddizione perchè avevamo supposto che $C$ è un chiuso. Quindi l'unico modo affinchè $C$ sia un chiuso proprio di $X$ è che sia vuoto.
3)Supponiamo per assurdo che sia sconnesso. Allora potremmo scrivere $X$ come unione disgiunta di aperti propri. Ma tutti gli aperti di $X$ hanno il punto ${x_0}$ in comune, quindi non sono disgiunti. Quindi $X$ è connesso
Risposte
Cerca di rileggere quello che scrivi, se no uno deve destreggiarsi tra gli errori nel testo e non capisce niente!
Nel seguito farò le pulci a quello che hai scritto.
Non è
ma \( \tau = \{ U \subseteq X \mid x_0 \in U \} \cup \{ \emptyset \} \).
Partiamo dal punto 1).
Non sarà
ma "... che $x$ è di accumulazione per $A$. ...".
Per quanto riguarda la dimostrazione:
Qua si scrive "$x,x_0$ siano due punti...", senza le graffe, se no così è un insieme, non due punti[nota]Questa è veramente una pignoleria ma sta malissimo scritto così.[/nota].
Quale intorno?
Perché?
E poi non hai sfruttato granché il "dedurne che"...
Nel seguito farò le pulci a quello che hai scritto.
Non è
"sira":
[...]
$ tau ={Usube X|x_0 in A} uu {O/ } $
[...]
ma \( \tau = \{ U \subseteq X \mid x_0 \in U \} \cup \{ \emptyset \} \).
Partiamo dal punto 1).
Non sarà
"sira":
[...] dimostrare che $ X $ è un punto di accumulazione per $ A $[...]
ma "... che $x$ è di accumulazione per $A$. ...".
Per quanto riguarda la dimostrazione:
"sira":
[...] Siano $ {x_0,x} $ due punti di un aperto $ A $ di $ X $. [...]
Qua si scrive "$x,x_0$ siano due punti...", senza le graffe, se no così è un insieme, non due punti[nota]Questa è veramente una pignoleria ma sta malissimo scritto così.[/nota].
"sira":
[...] Poiché l'intorno di $ x $ possiede punti diversi da $ x $,[...]
Quale intorno?
"sira":
[...] il più piccolo chiuso contenente $ {x_0,x} $ è $ X $.[...]
Perché?
E poi non hai sfruttato granché il "dedurne che"...
Grazie per la risposta! Mi scuso per non aver riletto!
ogni intorno del punto $x$ possiede punti diversi da $x$ e, ad esempio se consideriamo l'aperto ${x,x_0}$, un intorno di $x$ possiede anche il punto $x_0$.
per dimostrare che ${x_0,x}$ è denso in $X$ ho pensato al fatto che l'unico chiuso contenente ${x_0,x}$ è $X$ stesso, perchè tutti i sottoinsiemi propri di $X$ sono aperti
"Bremen000":
Quale intorno?
ogni intorno del punto $x$ possiede punti diversi da $x$ e, ad esempio se consideriamo l'aperto ${x,x_0}$, un intorno di $x$ possiede anche il punto $x_0$.
per dimostrare che ${x_0,x}$ è denso in $X$ ho pensato al fatto che l'unico chiuso contenente ${x_0,x}$ è $X$ stesso, perchè tutti i sottoinsiemi propri di $X$ sono aperti
Mannaggia, no!
Dici che "ogni intorno del punto $x$ possiede punti diversi da $x$" ma non dici perché! E non penso nemmeno che sia quello che vuoi dire. Penso tu voglia dire "ogni intorno di $x$ contiene $x_0$". E so che probabilmente hai intuito il perché, ma devi scriverlo, precisamente.
Poi tu mi hai fatto un esempio di intorno aperto di $x$ che contiene esplicitamente $x_0$ già in partenza per dirmi poi che contiene $x_0$ (ma va?). Questo non dimostra che ogni intorno di $x$ contiene $x_0$.
Questo è sempre falso!
Dici che "ogni intorno del punto $x$ possiede punti diversi da $x$" ma non dici perché! E non penso nemmeno che sia quello che vuoi dire. Penso tu voglia dire "ogni intorno di $x$ contiene $x_0$". E so che probabilmente hai intuito il perché, ma devi scriverlo, precisamente.
Poi tu mi hai fatto un esempio di intorno aperto di $x$ che contiene esplicitamente $x_0$ già in partenza per dirmi poi che contiene $x_0$ (ma va?). Questo non dimostra che ogni intorno di $x$ contiene $x_0$.
"sira":
[...] perché tutti i sottoinsiemi propri di $ X $ sono aperti[..]
Questo è sempre falso!
Grazie mille! Ogni intorno di $ x $ contiene $ x_0 $ perché $ x_0 $ è un punto fissato di $ X $ ?
Per l'ultima osservazione io intendevo che tutti i sottoinsiemi $ X $ appartenenti alla topologia $ tau $ sono aperti
Per l'ultima osservazione io intendevo che tutti i sottoinsiemi $ X $ appartenenti alla topologia $ tau $ sono aperti
Alla prima domanda: no. Alla seconda: non hai scritto questo. Se anche l'avessi fatto sarebbe stato tautologico. Noi chiamiamo aperti i sottoinsiemi di $X$ che appartengono a $\tau$.
Proviamo passo passo a fare il punto 1):
Ci chiedono di dimostrare che, presi $x \ne x_0$ e $A \in \tau$, si ha che $x$ è di accumulazione per $A$. Cosa vuol dire che $x$ è di accumulazione per $A$?
Rispondi solo a questo.
Proviamo passo passo a fare il punto 1):
Ci chiedono di dimostrare che, presi $x \ne x_0$ e $A \in \tau$, si ha che $x$ è di accumulazione per $A$. Cosa vuol dire che $x$ è di accumulazione per $A$?
Rispondi solo a questo.
Se per ogni intorno $ I $ di $ x $ si ha che $ I $ contiene punti di $ A $ diversi da $ x $
Benissimi, scegliamo un qualsiasi intorno $I$ di $x$. Come è fatto? (Cioè, cosa è un intorno di $x$?).
Un intorno è un aperto in sostanza e deve per forza contenere il punto $ x_0$ per come è definita $ tau $. Da questo avremo che $ x $ è di accumulazione per $ A $
Bene! Cioè se volessimo essere precisi se $I$ è un intorno di $x$ allora $I$ contiene un aperto che contiene $x$ e tale aperto deve per definizione contenere $x_0$ ergo, $x_0 \in I$. Ma allora $I \cap A \ne \emptyset$. Quindi ogni intorno di $x$ interseca $A$. Cioè $x$ è di accumulazione per $A$. Tutto chiaro?
Sì, fin qui tutto ok ora!
Perfetto, direttamente da qua come deduciamo che $\bar{A}=X$?
Perché $ barA = A uu {punti di accumulazione di A}$ e siccome $ x $ è di accumulazione per $ A $ , $ barA= X $
Dimmelo meglio ti prego!
Perché $barA = nnn_(A sube C) C $ , dove con $ C $ indichiamo i chiusi contenenti $ A $ . Ma il più piccolo chiuso di $ tau $ contenente $ A $ è $ X $
Ma no! Andava bene come prima! Perché scrivi cose senza giustificarle?
Ma guarda cosa (e come!) scrivi! Abbiamo dimostrato che $x$ è di accumulazione per $A$, ma $x \ne x_0$ è arbitrario. Ma allora tutti i punti di $X - \{x_0 \}$ sono di accumulazione per $A$ e quindi, poiché come dici
\[ \bar{A} = A \cup \{ x \mid x \text{ è punto di accumulazione per } A \} \]
allora \( \bar{A} \supseteq \{x_0 \} \cup X - \{x_0 \} = X \) e quindi necessariamente $\bar{A}=X$.
Veniamo al 2): sbagli, come ti ho detto prima, quando dici che tutti i sottoinsiemi propri di $X$ sono aperti. Ripartiamo. Devi dimostrare che se \( C \subsetneq X \) è chiuso e non vuoto allora la sua parte interna è vuota. E' sufficiente mostrare che è impossibile che un aperto non vuoto sia contenuto in $C$. Supponiamo esista un aperto non vuoto $A$ contenuto in $C$.....
Ma guarda cosa (e come!) scrivi! Abbiamo dimostrato che $x$ è di accumulazione per $A$, ma $x \ne x_0$ è arbitrario. Ma allora tutti i punti di $X - \{x_0 \}$ sono di accumulazione per $A$ e quindi, poiché come dici
\[ \bar{A} = A \cup \{ x \mid x \text{ è punto di accumulazione per } A \} \]
allora \( \bar{A} \supseteq \{x_0 \} \cup X - \{x_0 \} = X \) e quindi necessariamente $\bar{A}=X$.
Veniamo al 2): sbagli, come ti ho detto prima, quando dici che tutti i sottoinsiemi propri di $X$ sono aperti. Ripartiamo. Devi dimostrare che se \( C \subsetneq X \) è chiuso e non vuoto allora la sua parte interna è vuota. E' sufficiente mostrare che è impossibile che un aperto non vuoto sia contenuto in $C$. Supponiamo esista un aperto non vuoto $A$ contenuto in $C$.....
Grazie per la pazienza!
Premetto che il punto 2 è quello per cui ho avuto maggiori difficoltà
Sia $ A $ un aperto non vuoto contenuto in $C $. Poiché ogni $ A $ contiene il punto $ x_0 $ allora anche $ C $ deve contenerlo. Ma questo è impossibile perché se $ C $ dovesse contenere $ x_0 $ allora sarebbe aperto.
Premetto che il punto 2 è quello per cui ho avuto maggiori difficoltà
Sia $ A $ un aperto non vuoto contenuto in $C $. Poiché ogni $ A $ contiene il punto $ x_0 $ allora anche $ C $ deve contenerlo. Ma questo è impossibile perché se $ C $ dovesse contenere $ x_0 $ allora sarebbe aperto.
Niet, può essere (in particolare negli spazi topologici non connessi)[nota]Ho visto cosa chiede al punto 3 e la tua dimostrazione è giusta, ma non usiamolo qua.[/nota] che ci siano sottoinsiemi contemporaneamente aperti e chiusi. Usa il punto 1. Se $A$ è un aperto non vuoto allora è denso in $X$...
Se $ A $ è denso in $ X $ allora l'unico chiuso contenente $ A $ è $ X $. Quindi non esiste un chiuso proprio di $ X $ contenente $ A $
Vero, ma da qua come concludi? E' facile:
\[ A \subseteq C \Rightarrow X= \bar{A} \subseteq \bar{C}=C \Rightarrow C=X \]
Ma allora $C$ non è un chiuso proprio, assurdo.
L'ultima dimostrazione è corretta tranne qualche pignoleria
"... gli aperti propri di $X$ hanno il punto $x_0$ ...".
\[ A \subseteq C \Rightarrow X= \bar{A} \subseteq \bar{C}=C \Rightarrow C=X \]
Ma allora $C$ non è un chiuso proprio, assurdo.
L'ultima dimostrazione è corretta tranne qualche pignoleria
"sira":
[...] gli aperti di $X$ hanno il punto ${x_0}$ [...]
"... gli aperti propri di $X$ hanno il punto $x_0$ ...".
Ok, ho capito!
Grazie mille per l'aiuto e soprattutto grazie per la pazienza!
Grazie mille per l'aiuto e soprattutto grazie per la pazienza!
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