Complemento ortogonale di un sottospazio con parametro
$ ( ( k , k , 0 ),( k , 0 , k ),( 2k , k-1 , k+2 ),( k , k , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
L'esercizio chiede di trovare la dimensione del sottospazio, una base per esso, dimensione e base nel caso k=0 ed il complemento ortogonale del sottospazio al variare del parametro k.
Per la dimensione, calcolo il rango riducendo a scala:
$ ( ( k , 0 , 0 ),( 0 , -k , 0 ),( 0 , 0 , k ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
La dimensione è 3 e una base è $ B= {(k,k,2k,k,0),(k,0,k-1,k,0),(0,k,k+2,0,0)} $ per $ k!= 0 $
Per k=0, la matrice si annulla e lo spazio ha dimensione 0 (è possibile?).
Per il complemento ortogonale, trovo il sottospazio la cui base è costituita da vettori (x,y,z,w,t) tali che il prodotto scalare tra questi ultimi e i vettori della base B generi un vettore nullo.
$ { ( kx+ky+2kz+kw=0 ),( kx+(k-1)z+kw=0 ),( ky+(k+2)z=0 ):} $
Poiché la t non appare nel sistema, devo aggiungerla alla fine nel vettore espresso in funzione di una delle incognite che invece appaiono. Questo perché t può assumere un qualsiasi valore, e perché so che il complemento ortogonale deve avere dimensione 2. Infatti $ dimW^_|_ = dimV-dimW $, quindi otterrò un vettore espresso in funzione di due incognite, di cui una sarà t.
Questo è il passaggio su cui ho più dubbi.
Poiché il sistema è costituito da 4 incognite e 3 equazioni, devo usare un'incognita come parametro. Giusto?
Scelgo z perché è comune a tutte e 3 le equazioni. Ottengo:
$ { ( kx+ky+kw=-2kz ),( kx+kw=-(k-1)z ),( ky=-(k+2)z ):} $
Procedendo con il metodo di sostituzione, ottengo:
$ { ( kx=-kw ),( kx=-kw ),( ky=0 ):} $
Significa che non importa quale sia il valore di k, otterrò sempre un vettore della forma $ (-w,0,0,w,t) $ ? Oppure c'è un errore nella risoluzione?
In questo modo una base per $ W^_|_ $ sarebbe $ B_2= {(-1,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)} $
L'esercizio chiede di trovare la dimensione del sottospazio, una base per esso, dimensione e base nel caso k=0 ed il complemento ortogonale del sottospazio al variare del parametro k.
Per la dimensione, calcolo il rango riducendo a scala:
$ ( ( k , 0 , 0 ),( 0 , -k , 0 ),( 0 , 0 , k ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
La dimensione è 3 e una base è $ B= {(k,k,2k,k,0),(k,0,k-1,k,0),(0,k,k+2,0,0)} $ per $ k!= 0 $
Per k=0, la matrice si annulla e lo spazio ha dimensione 0 (è possibile?).
Per il complemento ortogonale, trovo il sottospazio la cui base è costituita da vettori (x,y,z,w,t) tali che il prodotto scalare tra questi ultimi e i vettori della base B generi un vettore nullo.
$ { ( kx+ky+2kz+kw=0 ),( kx+(k-1)z+kw=0 ),( ky+(k+2)z=0 ):} $
Poiché la t non appare nel sistema, devo aggiungerla alla fine nel vettore espresso in funzione di una delle incognite che invece appaiono. Questo perché t può assumere un qualsiasi valore, e perché so che il complemento ortogonale deve avere dimensione 2. Infatti $ dimW^_|_ = dimV-dimW $, quindi otterrò un vettore espresso in funzione di due incognite, di cui una sarà t.
Questo è il passaggio su cui ho più dubbi.
Poiché il sistema è costituito da 4 incognite e 3 equazioni, devo usare un'incognita come parametro. Giusto?
Scelgo z perché è comune a tutte e 3 le equazioni. Ottengo:
$ { ( kx+ky+kw=-2kz ),( kx+kw=-(k-1)z ),( ky=-(k+2)z ):} $
Procedendo con il metodo di sostituzione, ottengo:
$ { ( kx=-kw ),( kx=-kw ),( ky=0 ):} $
Significa che non importa quale sia il valore di k, otterrò sempre un vettore della forma $ (-w,0,0,w,t) $ ? Oppure c'è un errore nella risoluzione?
In questo modo una base per $ W^_|_ $ sarebbe $ B_2= {(-1,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)} $
Risposte
"maxira":
la matrice si annulla
non si annulla: la matrice ha rango 1. hai sbagliato mi sembra la prima riduzione con Gauss, ma il tutto si vede anche sostituendo nella matrice di partenza.
il resto mi sembra tutto corretto
"cooper":
[quote="maxira"]la matrice si annulla
non si annulla: la matrice ha rango 1. hai sbagliato mi sembra la prima riduzione con Gauss, ma il tutto si vede anche sostituendo nella matrice di partenza.[/quote]
Giusto, grazie.
Spesso faccio errori sulla riduzione. Puoi aiutarmi a capire dove ho sbagliato? Rifaccio il calcolo:
$ ( ( k , k , 0 ),( k , 0 , k ),( 2k , k-1 , k+2 ),( k , k , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
La quarta riga è uguale alla prima, quindi:
$ ( ( k , k , 0 ),( k , 0 , k ),( 2k , k-1 , k+2 ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Sottraggo la prima riga moltiplicata per 2 alla terza riga:
$ ( ( k , k , 0 ),( k , 0 , k ),( 0 , -k-1 , k+2 ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Sottraggo la prima riga alla seconda:
$ ( ( k , k , 0 ),( 0 , -k , k ),( 0 , -k-1 , k+2 ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Sottraggo la seconda riga alla terza:
$ ( ( k , k , 0 ),( 0 , -k , k ),( 0 , -1 , 2 ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Di nuovo lo stesso, ma dividendo la seconda riga per k:
$ ( ( k , k , 0 ),( 0 , -k , k ),( 0 , 0 , 1 ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Moltiplico la terza riga per k e la sottraggo alla seconda:
$ ( ( k , k , 0 ),( 0 , -k , 0 ),( 0 , 0 , k ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Infine aggiungo la seconda alla prima e ottengo:
$ ( ( k , 0 , 0 ),( 0 , -k , 0 ),( 0 , 0 , k ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Da qui $ ( ( k , k , 0 ),( 0 , -k , k ),( 0 , 0 , 1 ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
si arriva qua $ ( ( k , 0 , 0 ),( 0 , k , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Devi usare il pivot "1" per annullare quel k che sta sopra...e non farlo diventare k. E' una costante.
si arriva qua $ ( ( k , 0 , 0 ),( 0 , k , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Devi usare il pivot "1" per annullare quel k che sta sopra...e non farlo diventare k. E' una costante.
Ho capito, grazie mille!
"Bokonon":
Devi usare il pivot "1" per annullare quel k che sta sopra...e non farlo diventare k. E' una costante.
si bhe non c'è bisogno di annullare anche quelli sopra. bastava che si fermasse alla prima matrice che hai scritto: è già a gradini e può calcolare il rango già da quella senza fare altri conti (che in un esame è sempre un bene)
"cooper":
si bhe non c'è bisogno di annullare anche quelli sopra. bastava che si fermasse alla prima matrice che hai scritto: è già a gradini e può calcolare il rango già da quella senza fare altri conti (che in un esame è sempre un bene)
Voleva arrivare all'"osso" e l'ho accontentato
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