Antitrasformata di Laplace

[missu00]

Buongiorno, data la seguente funzione in s:
$ 1/((s-p)(s-p^{**}) $ con $ p=alpha +jomega $
vorrei capire come si arriva alla antitrasformata nota (esponenziale che moltiplica la funzione armonica).
Ho provato a sviluppare la funzione in frazioni parziali per poi utilizzare le antitrasformate note, ma poi non so come procedere, penso che si debba utilizzare la definizione di antitrasformata.

[gugo82]

Potresti ragionare così, sfruttando proprietà e trasformate note.

Svolgendo il prodotto hai:

$1/((s-alpha)^2 + omega^2)$

e vedi "ad occhio" che questa è la traslata in $s$ della trasformata del seno a meno di un fattore $omega$ a numeratore; quindi hai:

$mathcal(L)_u[sin (omega*)](s- alpha) = omega/((s-alpha)^2 + omega^2) \quad =>\quad mathcal(L)_u[1/omega\ sin (omega *)](s- alpha) = 1/((s-alpha)^2 + omega^2)$

(ho usato il $*$ per la variabile muta $t$) per linearità.
Dato che la traslazione in $s$ proviene dalla moltiplicazione per un esponenziale in $t$, hai:

$mathcal(L)_u[1/omega\ sin (omega *)](s- alpha) = mathcal(L)_u[1/omega\ e^(alpha *) sin (omega *)](s)$

dunque:

$mathcal(L)_u[1/omega\ e^(alpha *) sin (omega *)](s) = 1/((s-alpha)^2 + omega^2)$

ed antitrasformando trovi:

$mathcal(L)_u^(-1) [1/((* - alpha)^2 + omega^2)](t) = 1/omega\ e^(alpha t) sin (omega t) text(u)(t)$

in cui $text(u)(t)$ è il gradino unitario.

[pilloeffe]

Ciao missu00,

"missu00":Ho provato a sviluppare la funzione in frazioni parziali per poi utilizzare le antitrasformate note [...]

L'idea non è malvagia:

$ 1/((s-p)(s-p^{**})) = A/(s - p) + B/(s-p^{**}) $

Poi è chiaro che non ti puoi aspettare che $A$ e $B $ siano reali, ma si ha:

$ (A(s-p^{**}) + B(s - p))/((s - p)(s-p^{**})) = ((A+ B)s-Ap^{**} - Bp)/((s - p)(s-p^{**}))$

Da cui il sistema seguente:

${(A + B = 0),(-Ap^{**} - Bp = 1):} $

${(B = - A),(-Ap^{**} - Bp = 1):} $

Ponendo $B = - A $ nella seconda equazione si ottiene:

$A(p - p^{**}) = 1 $

$A(2j\omega) = 1 \implies A = 1/(2j\omega) $

Sicché si ha:

$ 1/((s-p)(s-p^{**})) = 1/(2j\omega)(1/(s - p) - 1/(s-p^{**})) $

Antitrasformando si ha:

$\mathcal(L)^{- 1}[1/((s-p)(s-p^{**}))] = \mathcal(L)^{- 1}[1/(2j\omega)(1/(s - p) - 1/(s-p^{**}))] = $
$ = (u(t))/(2j\omega)(e^{pt} - e^{p^{**} t}) = (u(t))/\omega \frac{e^{(\alpha + j\omega) t} - e^{(\alpha - j\omega) t}}{2j} = e^{\alpha t}/\omega u(t) sin(\omega t) $

[missu00]

Grazie mille ad entrambi, nello svolgimento di pilloeffe sono arrivato fino alla penultima riga, poi non so per quale motivo non ho anti trasformato ponendo semplicemente il polo come argomento dell'esponenziale.
Forse mi spaventava che il polo fosse complesso e non puramente reale come mi è sempre capitato .