Integrale con funzione di Heaviside
Salve a tutti,
sto studiando per l'esame di meccanica statistica e sto avendo un po' di problemi nel risolvere gli integrali, potreste spiegarmi cosa sto sbagliando ad esempio in questo
\( \int_{0}^{2^{1/3}R} r^2 dr\vartheta (\epsilon -V(1-(r/R)^3) \)
dove la theta indica la funzione di Heaviside.
ho provato a risolverlo per sostituzione \( V(1-r^3/R^3)=t \rightarrow dt=-3Vr^2/R^3 \) ma non mi sembra di arrivare a conclusioni sensate..
avete qualche suggerimento?
sto studiando per l'esame di meccanica statistica e sto avendo un po' di problemi nel risolvere gli integrali, potreste spiegarmi cosa sto sbagliando ad esempio in questo
\( \int_{0}^{2^{1/3}R} r^2 dr\vartheta (\epsilon -V(1-(r/R)^3) \)
dove la theta indica la funzione di Heaviside.
ho provato a risolverlo per sostituzione \( V(1-r^3/R^3)=t \rightarrow dt=-3Vr^2/R^3 \) ma non mi sembra di arrivare a conclusioni sensate..
avete qualche suggerimento?
Risposte
Ciao sofia123,
Potresti riscrivere meglio l'integrale? Ho dei dubbi anche sull'estremo di integrazione superiore: è veramente $2^{1/3} R $? Poi chi è $\epsilon$ che compare nell'argomento della funzione di Heaviside?
Qui poi è sicuramente sbagliato:
Casomai, supponendo che $V$ non dipenda da $r$, sarà $\text{d}t = -3Vr^2/R^3 \text{d}r \implies r^2 \text{d}r = -1/3 R^3/V \text{d}t $
(nota che $ r^2 \text{d}r $ è proprio ciò che compare all'interno dell'integrale proposto).
Infine, attenzione che con quella posizione ovviamente cambiano gli estremi di integrazione:
per $r = 0 $ si ha $t = V$, per $r = 2^{1/3} R $ si ha $t = V(1 - (2R^3)/R^3) = - V $
Potresti riscrivere meglio l'integrale? Ho dei dubbi anche sull'estremo di integrazione superiore: è veramente $2^{1/3} R $? Poi chi è $\epsilon$ che compare nell'argomento della funzione di Heaviside?
Qui poi è sicuramente sbagliato:
"sofia123":
[tex]V(1-r^3/R^3)=t \rightarrow dt=-3Vr^2/R^3[/tex]
Casomai, supponendo che $V$ non dipenda da $r$, sarà $\text{d}t = -3Vr^2/R^3 \text{d}r \implies r^2 \text{d}r = -1/3 R^3/V \text{d}t $
(nota che $ r^2 \text{d}r $ è proprio ciò che compare all'interno dell'integrale proposto).
Infine, attenzione che con quella posizione ovviamente cambiano gli estremi di integrazione:
per $r = 0 $ si ha $t = V$, per $r = 2^{1/3} R $ si ha $t = V(1 - (2R^3)/R^3) = - V $
grazie per la risposta!
si l'estremo di integrazione è veramente quello mentre la \( \epsilon \) è una costante.
Si giusto la sostituzione dovrebbe essere
\( V(1-r^3/R^3)=t \Rightarrow dt=-3Vr^2/R^3 dr \)
quindi se non sbaglio ottengo
\( R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\vartheta (\varepsilon -t)dt \)
si l'estremo di integrazione è veramente quello mentre la \( \epsilon \) è una costante.
Si giusto la sostituzione dovrebbe essere
\( V(1-r^3/R^3)=t \Rightarrow dt=-3Vr^2/R^3 dr \)
quindi se non sbaglio ottengo
\( R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\vartheta (\varepsilon -t)dt \)
Sì, esatto.
Ma perché incasinare una cosa semplice?
Chiama $I(R,V;varepsilon)$ l'integrale assegnato.
Per definizione hai:
$vartheta (varepsilon - V(1 - (r/R)^3)) = 1 \quad <=> \quad varepsilon - V(1 - (r/R)^3) >= 0 \quad <=> \quad r >= R root(3)(1- varepsilon/V)$
quindi il $I(R,V;varepsilon) = 0$ se e solo se[nota]Qui considero $varepsilon$ come parametro e $R, V$ come roba fissata, pur non sapendo se questo sia fisicamente plausibile.[/nota]:
$R root(3)(1- varepsilon/V) >= root(3)(2) R \quad <=> \quad V - varepsilon >= 2V \quad <=> \quad varepsilon <= - V$
mentre $I(R,V;varepsilon) = int_0^(root(3)(2) R) r^2 "d" r = 2/3 R^3$ solo se:
$R root(3)(1- varepsilon/V) <= 0 \quad <=> \quad V - varepsilon <= 0 \quad <=> \quad varepsilon >= V$.
Nei rimanenti casi, cioè se $-V < varepsilon < V$, hai:
$I(R,V;varepsilon) = int_(root(3)(1- varepsilon/V) R)^(root(3)(2) R) r^2 "d" r =R^3/3 (1 + varepsilon/V) = (V + varepsilon)/(3 V)\ R^3$.
L'unica cosa che (da fisico/ingegnere) avresti potuto voler eliminare dai conti è quella scomoda costante $R$, via una normalizzazione con sostituzione del tipo $t=r/R$.
Chiama $I(R,V;varepsilon)$ l'integrale assegnato.
Per definizione hai:
$vartheta (varepsilon - V(1 - (r/R)^3)) = 1 \quad <=> \quad varepsilon - V(1 - (r/R)^3) >= 0 \quad <=> \quad r >= R root(3)(1- varepsilon/V)$
quindi il $I(R,V;varepsilon) = 0$ se e solo se[nota]Qui considero $varepsilon$ come parametro e $R, V$ come roba fissata, pur non sapendo se questo sia fisicamente plausibile.[/nota]:
$R root(3)(1- varepsilon/V) >= root(3)(2) R \quad <=> \quad V - varepsilon >= 2V \quad <=> \quad varepsilon <= - V$
mentre $I(R,V;varepsilon) = int_0^(root(3)(2) R) r^2 "d" r = 2/3 R^3$ solo se:
$R root(3)(1- varepsilon/V) <= 0 \quad <=> \quad V - varepsilon <= 0 \quad <=> \quad varepsilon >= V$.
Nei rimanenti casi, cioè se $-V < varepsilon < V$, hai:
$I(R,V;varepsilon) = int_(root(3)(1- varepsilon/V) R)^(root(3)(2) R) r^2 "d" r =R^3/3 (1 + varepsilon/V) = (V + varepsilon)/(3 V)\ R^3$.
L'unica cosa che (da fisico/ingegnere) avresti potuto voler eliminare dai conti è quella scomoda costante $R$, via una normalizzazione con sostituzione del tipo $t=r/R$.
Ciao gugo82,
Questo non può essere corretto in quanto dimensionalmente parlando $[\epsilon] = [V] $
Infatti si ha:
$ V - \epsilon >= 2V \iff \epsilon \le - V $
Sicuro?
A me pare che sia più incasinata così come l'hai proposta: si possono fare ragionamenti analoghi a quelli che hai fatto tu a partire dall'integrale
$ R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\theta (\epsilon - t)\text{d}t $
Da quest'ultimo per $\epsilon \ge V $ si ottiene subito $ R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\text{d}t = 2/3 R^3 $
"gugo82":
quindi il $ I(R,V;\varepsilon) = 0 $ se e solo se:
$ R \root(3)(1- \varepsilon/V) >= root(3)(2) R \quad <=> \quad 1 - \varepsilon >= 2V \quad <=> \quad \varepsilon <= 1 - 2V $
Questo non può essere corretto in quanto dimensionalmente parlando $[\epsilon] = [V] $
Infatti si ha:
$ V - \epsilon >= 2V \iff \epsilon \le - V $
"gugo82":
Ma perché incasinare una cosa semplice?
Sicuro?
A me pare che sia più incasinata così come l'hai proposta: si possono fare ragionamenti analoghi a quelli che hai fatto tu a partire dall'integrale
$ R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\theta (\epsilon - t)\text{d}t $
Da quest'ultimo per $\epsilon \ge V $ si ottiene subito $ R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\text{d}t = 2/3 R^3 $
"pilloeffe":
Ciao gugo82,
[quote="gugo82"]quindi il $ I(R,V;\varepsilon) = 0 $ se e solo se:
$ R \root(3)(1- \varepsilon/V) >= root(3)(2) R \quad <=> \quad 1 - \varepsilon >= 2V \quad <=> \quad \varepsilon <= 1 - 2V $
Questo non può essere corretto in quanto dimensionalmente parlando $[\epsilon] = [V] $
Infatti si ha:
$ V - \epsilon >= 2V \iff \epsilon \le - V $[/quote]
Ok, mi sono dimenticato un denominatore comune scrivendo in fretta.
Ora correggo, grazie.
In realtà avevo sbagliato pure qualche verso nelle disuguaglianze, ed ho corretto pure quelli.
"pilloeffe":
[quote="gugo82"]Ma perché incasinare una cosa semplice?
Sicuro?
A me pare che sia più incasinata così come l'hai proposta: si possono fare ragionamenti analoghi a quelli che hai fatto tu a partire dall'integrale
$ R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\theta (\epsilon - t)\text{d}t $
Da quest'ultimo per $\epsilon \ge V $ si ottiene subito $ R^3/(3V)\int_{-V}^{V}\text{d}t = 2/3 R^3 $[/quote]
Questione di gusti.
Quello che mi premeva segnalare è che la definizione del gradino si può usare da subito in maniera semplice per risolvere l'esercizio.
"gugo82":
Ok, mi sono dimenticato un denominatore comune scrivendo in fretta.
Ora correggo, grazie.
Prego. Di solito per queste cose mando un messaggio privato, ma qui mi interessava mostrare all'OP che un errore banale causato dalla fretta, che può capitare a tutti, sottoscritto incluso, può essere smascherato abbastanza facilmente con un'analisi dimensionale.
"gugo82":
Quello che mi premeva segnalare è che la definizione del gradino si può usare da subito [...]
Ecco, io avrei posto l'accento su un metodo alternativo di risolvere correttamente l'esercizio sfruttando la definizione del gradino piuttosto che su una presunta maggiore semplicità del metodo che hai proposto (che secondo me non sussiste, ma questi come hai giustamente scritto sono gusti e de gustibus...
)
"Semplicità" significa usare meno teoremi e più le mani.
Non sono d'accordo. A parte che nel caso specifico si è fatto uso del solo teorema di sostituzione negli integrali e di poco altro, semmai è vero il contrario: la maggior parte delle dimostrazioni semplici o complesse che siano richiamano uno o più teoremi e/o lemmi già dimostrati in precedenza proprio per semplificare dimostrazioni che altrimenti sarebbero molto più incasinate...
"pilloeffe":
Non sono d'accordo. A parte che nel caso specifico si è fatto uso del solo teorema di sostituzione negli integrali e di poco altro, semmai è vero il contrario: la maggior parte delle dimostrazioni semplici o complesse che siano richiamano uno o più teoremi e/o lemmi già dimostrati in precedenza proprio per semplificare dimostrazioni che altrimenti sarebbero molto più incasinate...
Certo, questa è la famosa 'semplicità degli ingegneri'. Cose tipo:
Bimbi, dai, facciamo un bigliettino di auguri a rilievo per la mamma...
Proviamo, è molto semplice: prendiamo un computer connesso ad internet, cerchiamo una figura su google, stampiamola con la stampante su un foglio di cartoncino; poi con un programmino di grafica vettoriale scorporiamo il contorno della figura e stampiamo un bordo a rilievo con la stampante 3D; lo dipingiamo con l'aerografo e poi incolliamo il bordo sopra al cartoncino con del mastice, ...
Anche no, grazie.
Per me la semplicità è:
Bimbi, dai, facciamo un biglietto di auguri a rilievo per la mamma...
Proviamo, è molto semplice: prendiamo un po' di pasta mista e la incolliamo con la coccoina lungo il bordo di un cartoncino rosa, per fare una cornice; poi al centro scriviamo "Mamma, tanti auguri per la tua festa. Ti voglio bene" e ci facciamo tanti cuoricini.
P.S.: Le dimostrazioni che tu chiami "semplici" perché usano mille lemmi ausiliari, in realtà, non sono semplici neanche lontanamente.
Mah, prendo atto che non sai cosa rispondere (cosa che peraltro non mi risulta essere obbligatoria...) e quindi stai divagando parecchio su questioni che non interessano a nessuno, tipo i biglietti di auguri a rilievo per le mamme e le tue opinioni sugli ingegneri (e quindi implicitamente anche quelle sui fisici e i matematici):
"gugo82":
Certo, questa è la famosa 'semplicità degli ingegneri'.
Le opinioni sono come i gioielli di famiglia, ognuno ha i suoi... Anch'io ho le mie opinioni (e ringraziando il Signore anche i miei gioielli di famiglia...
), dato che nel mio corso di laurea guardacaso i professori di Analisi Matematica I, II e III erano TUTTI del corso di laurea in Matematica: per cui ne avrei da dire e non poche, ma siccome poi sono anche quasi tutti deceduti (pace all'anima loro...), lascio perdere volentieri.Tornando nel merito,
"gugo82":
"Semplicità" significa usare meno teoremi e più le mani.
Non sono d'accordo perché quanto hai affermato lascia intendere che la semplicità di una questione (una dimostrazione, un teorema, un esercizio, etc.) sia proporzionale al numero di teoremi che si usano per portarla a termine e questo in generale (ma anche nel caso specifico) non è vero:
"pilloeffe":
A parte che nel caso specifico si è fatto uso del solo teorema di sostituzione negli integrali e di poco altro, semmai è vero il contrario: la maggior parte delle dimostrazioni semplici o complesse che siano richiamano uno o più teoremi e/o lemmi già dimostrati in precedenza proprio per semplificare dimostrazioni che altrimenti sarebbero molto più incasinate...
"gugo82":
Le dimostrazioni che tu chiami "semplici" perché usano mille lemmi ausiliari
"mille lemmi ausiliari"? Ho scritto "uno o più", che è un po' diverso da "mille"...
Comunque, anche le dimostrazioni per loro natura complesse vengono "semplificate" proprio mediante l'uso di lemmi o teoremi ausiliari, diversamente sarebbero molto più incasinate (e quindi poi ancora più complesse) di quanto già non siano, non il contrario.
[xdom="gugo82"]@pilloeffe: Pensi tu a moderare il linguaggio, o devo provvedere io?[/xdom]
Ci ho pensato io.
[xdom="gugo82"]Meno male...[/xdom]
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