Mappa conforme del piano nel cerchio unitario

[gugo82]

Sono passati un po' di anni dal corso di Analisi Complessa, quindi tanto vale chiedere a chi ha più fresche queste cose...

Avete sotto mano qualche mappa conforme del piano nel cerchio unitario?
Ho provato con la proiezione stereografica, $w = z/sqrt(1+|z|^2)$, ma chiaramente non è conforme (perché dipende da $bar(z)$); quindi mi chiedevo se ci fosse qualcosa di semplice per fare quello che ho in mente.

Grazie.

[otta96]

Una funzione intera può avere come immagine o un punto o tutto il piano o il complementare di un punto, si chiama teorema di Picard.

[gugo82]

"otta96":Una funzione intera può avere come immagine o un punto o tutto il piano o il complementare di un punto, si chiama teorema di Picard.

Cosa c'entra?

[ingres]

Sono più arrugginito di te, ma forse qui c'è una possibile soluzione.

https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_disk

[otta96]

"gugo82":Cosa c'entra?

Come? Non è quello che vuoi sapere? Una funzione conforme (cioè olomorfa) $f:CC->B_1$ (cioè funzione intera), a questo punto per il teorema di Picard è per forza costante.

[gugo82]

"otta96":[quote="gugo82"]Cosa c'entra?

Come? Non è quello che vuoi sapere? Una funzione conforme (cioè olomorfa) $f:CC->B_1$ (cioè funzione intera), a questo punto per il teorema di Picard è per forza costante.[/quote]
Sì, non riuscivo a vedere la connessione... Poi stamattina mi è venuto in mente "Liouville" ed ho realizzato che quello che chiedevo è impossibile (infatti, se $f:CC -> D$ è olomorfa, allora è necessariamente costante perché limitata) per un fatto che è molto più elementare del teorema di Picard.

Grazie otta96.

[otta96]

Si effettivamente Liouville ci stava anche

[gugo82]

Ad ogni modo, ho trovato che $w = z/(1+|z|)$ funziona ugualmente.

Sta roba mi serviva perché volevo mostrare ai miei studenti un modellino di piano proiettivo da cui si intuisse che si può dare matematicamente un senso all'idea che una parabola ed una secante parallela al suo asse (o semplicemente due rette parallele) si "incontrano all'infinito".

[dissonance]

"gugo82":[...]la proiezione stereografica, $w = z/sqrt(1+|z|^2)$, ma chiaramente non è conforme[...]

Dipende da quello che intendi per "conforme", però: https://people.reed.edu/~jerry/311/stereo.pdf Ma non so se questo ti è utile pedagogicamente.

(Non riesco a riconoscere quella che hai scritto come una proiezione stereografica, in ogni caso. Non che sia particolarmente importante).

[gugo82]

"dissonance":[quote="gugo82"][...]la proiezione stereografica, $w = z/sqrt(1+|z|^2)$, ma chiaramente non è conforme[...]

Dipende da quello che intendi per "conforme", però: https://people.reed.edu/~jerry/311/stereo.pdf Ma non so se questo ti è utile pedagogicamente.[/quote]
Intendo che conservi gli angoli.
Grazie per il riferimento, lo leggerò appena possibile.

"dissonance":(Non riesco a riconoscere quella che hai scritto come una proiezione stereografica, in ogni caso. Non che sia particolarmente importante).

Prendo il piano $Oxy$ e lo immergo nello spazio $Oxyz$.
Scelgo $C=(0,0,1)$ e, fissato il punto $P=(xi,eta,0)$, interseco la semiretta:

$s_(CP): \{(x = t xi), (y = t eta), (z = 1 - t):}, text( con ) t >= 0$

con la semisfera:

$S_(-) :\{ (x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1), (0 <= z < 1):}$

ottenendo $t = 1/sqrt(1 + xi^2 + eta^2)$ ed il punto:

$P_t = (xi/sqrt(1 + xi^2 + eta^2), eta/sqrt(1 + xi^2 + eta^2), 1 - 1/sqrt(1 + xi^2 + eta^2))$;

poi proietto $P_t$ sul piano $Oxy$ ed ottengo la proiezione:

$P^\prime = (xi/sqrt(1 + xi^2 + eta^2), eta/sqrt(1 + xi^2 + eta^2))$.

Quindi la trasformazione è $w = z/sqrt(1 + |z|^2)$.

Non ti piace?

L'idea non era tanto dare un'idea della compattificazione $CC uu \{ oo\}$, ma un modello "visivamente decente" del piano proiettivo reale $mathbb(P)_2(RR)$; perciò non mi serve mandare $oo$ nel polo della semisfera, ma le direzioni/punti impropri nei punti del bordo della semisfera.

[dissonance]

C'è un piccolo typo: è corretto "...ottenendo \(t=\frac{1}{\sqrt{1+\xi^2+\eta^2}}\)", cosa che tra l'altro appare in modo corretto in tutte le formule successive.

A parte questo, mi hai convinto, quella è una proiezione stereografica.

Credo di avere decifrato il punto della questione che dicevamo prima, ovvero: la proiezione stereografica è conforme o non è conforme? Io dico che è conforme, in questo thread sembra che non lo sia, chi ha ragione?

La mappa $(\xi, \eta)\in\mathbb R^2\mapsto P_{(\xi, \eta)}\in S_-$ è conforme. (Qui $P_{(\xi, \eta)}$ è ciò che tu hai chiamato $P_t$). E questo è dimostrato in quel pdf che ho allegato prima, per esempio. Ma tu successivamente componi questa mappa con la proiezione $(x, y, z)\mapsto (x, y,0)\equiv w\in\mathbb C$: è qui che si perde la conformalità. Ad esempio i due vettori $(1,0,-1)$ e $(1,0,1)$ formano un angolo retto in $\mathbb R^3$, ma entrambi proiettano su \((1,0,0)\), quindi la proiezione non preserva gli angoli.

[gugo82]

Certo: la sfera è curva, mentre il piano è piatto.
Quindi è del tutto plausibile che la proiezione sulla sfera sia conforme, mentre non lo sia la sua proiezione sul piano.