Equazione differenziale lineare a coefficienti misurabili e matrice fondamentale
Considero l'equazione differenziale lineare omogenea $\doty(t)=A(t)y(y)$ in $R^n$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$, dove la matrice $A(t)$ è misurabile (quindi non necessariamente continua).
Sia $\Phi$ la matrice fondamentale associata all'equazione differenziale di cui sopra.
Si può dimostrare che $"sup"_{0<=t_0<=t<=1}|\Phi(t,t_0)|<="costante"$?
Sia $\Phi$ la matrice fondamentale associata all'equazione differenziale di cui sopra.
Si può dimostrare che $"sup"_{0<=t_0<=t<=1}|\Phi(t,t_0)|<="costante"$?
Risposte
EDIT: *ATTENZIONE: LA FORMULA (1) NON È SEMPRE VERA*
Secondo me se \(A\in L^1(0, 1)\) allora si. Infatti in questo caso (assumo \(t_0=0\))
\[\tag{1}
\Phi(t, 0)=\exp\left(\int_0^t A(s)\, ds\right), \]
e quindi puoi stimare
\[
\lvert \Phi(t, 0)\rvert\le \exp\int_0^1 \lvert A(s)\rvert\, ds,\]
per \(t\in [0, 1]\), naturalmente.
P. S.: Mi sta venendo il forte dubbio che (1) non sia vero. La formula (1) è vera solo se \([A(t), A(s)]=0\) per \(t\ne s\): vedi qui.
Senza ipotesi di commutatività è più complicato. Tocca andare a leggere questa roba qui e io per il momento non avrò tempo di farlo di sicuro:
https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series
Secondo me se \(A\in L^1(0, 1)\) allora si. Infatti in questo caso (assumo \(t_0=0\))
\[\tag{1}
\Phi(t, 0)=\exp\left(\int_0^t A(s)\, ds\right), \]
e quindi puoi stimare
\[
\lvert \Phi(t, 0)\rvert\le \exp\int_0^1 \lvert A(s)\rvert\, ds,\]
per \(t\in [0, 1]\), naturalmente.
P. S.: Mi sta venendo il forte dubbio che (1) non sia vero. La formula (1) è vera solo se \([A(t), A(s)]=0\) per \(t\ne s\): vedi qui.
Senza ipotesi di commutatività è più complicato. Tocca andare a leggere questa roba qui e io per il momento non avrò tempo di farlo di sicuro:
https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series
Beh ma se $A$ è definita sull'intervallo $[0,1]$ ed è misurabile allora $A \in L^1(0,1)$ giusto?
Per ottenere la stima che hai dimostrato, oltre ad assumere $t_0=0$ hai assunto anche $y_0=0?$
Per ottenere la stima che hai dimostrato, oltre ad assumere $t_0=0$ hai assunto anche $y_0=0?$
E no. Una funzione misurabile mica per forza è \(L^1\), questa è una cosa elementare. La funzione
\[
A(t)=\begin{cases}
1/t, & t\ne 0, \\
0, & t=0,
\end{cases}\]
non è \(L^1(0, 1)\).
Il fatto di assumere \(t_0=0\) è irrilevante. Quanto a \(y_0\), cosa c'entra? La matrice fondamentale è una matrice, non dipende dal dato iniziale. D'altra parte l'unica soluzione dell'equazione del tuo post, con \(y_0=0\), è la funzione nulla.
Ma attenzione perché nel post precedente temo di avere implicitamente assunto che \(A(t)\) e \(A(s)\) commutano per ogni \(t\ne s\). Se non hai questa ipotesi di commutazione, allora la formula (1) del mio post precedente non è più vera.
\[
A(t)=\begin{cases}
1/t, & t\ne 0, \\
0, & t=0,
\end{cases}\]
non è \(L^1(0, 1)\).
Il fatto di assumere \(t_0=0\) è irrilevante. Quanto a \(y_0\), cosa c'entra? La matrice fondamentale è una matrice, non dipende dal dato iniziale. D'altra parte l'unica soluzione dell'equazione del tuo post, con \(y_0=0\), è la funzione nulla.
Ma attenzione perché nel post precedente temo di avere implicitamente assunto che \(A(t)\) e \(A(s)\) commutano per ogni \(t\ne s\). Se non hai questa ipotesi di commutazione, allora la formula (1) del mio post precedente non è più vera.
Nel mio caso $A(t)=f_x^T(t,\hatx(t),\hatu(t))$, dove $f:[0,1] \times RR^d \times \Gamma \to RR^d$ (con $\subseteq RR^m$), $\hatx:[0,1] \to RR^d$ è una traiettoria ottima di un problema di controllo ottimo (quindi è assolutamente continua) e $\hatu:[0,1] \to \Gamma$ è un controllo ottimo (misurabile).
Le ipotesi che ho su $f$ sono le seguenti:
$f(\cdot,\cdot,\cdot)$ è continua;
$f$ è continua rispetto a $(t,x)$, uniformemente in $u \in \Gamma$;
per ogni $(t,u) \in [0,1] \times \Gamma$ si ha che $f(t,\cdot,u)$ è differenziabile con continuità;
$f$ è globalmente lipschitziana in $x$;
$|f(t,x,u)|\leK(1+|x|)$ $AA x \in RR^d$.
Considerando anche queste ipotesi posso dire qualcosa in più sulla limitatezza della matrice fondamentale?
Le ipotesi che ho su $f$ sono le seguenti:
$f(\cdot,\cdot,\cdot)$ è continua;
$f$ è continua rispetto a $(t,x)$, uniformemente in $u \in \Gamma$;
per ogni $(t,u) \in [0,1] \times \Gamma$ si ha che $f(t,\cdot,u)$ è differenziabile con continuità;
$f$ è globalmente lipschitziana in $x$;
$|f(t,x,u)|\leK(1+|x|)$ $AA x \in RR^d$.
Considerando anche queste ipotesi posso dire qualcosa in più sulla limitatezza della matrice fondamentale?
Come la vedo dura. Non lo so.
Non vale un argomento del tipo che la matrice fondamentale è continua in entrambe le variabili?
Perchè allora potrei concludere che sul compatto ${(t,t_0):0<=t_0<=t<=1}$ ho che $\Phi$ ammette massimo e quindi in particolare è limitata...
Perchè allora potrei concludere che sul compatto ${(t,t_0):0<=t_0<=t<=1}$ ho che $\Phi$ ammette massimo e quindi in particolare è limitata...
"thedarkhero":
Considero l'equazione differenziale lineare omogenea $\doty(t)=A(t)y(y)$ in $R^n$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$, dove la matrice $A(t)$ è misurabile (quindi non necessariamente continua).
Sia $\Phi$ la matrice fondamentale associata all'equazione differenziale di cui sopra.
Si può dimostrare che $"sup"_{0<=t_0<=t<=1}|\Phi(t,t_0)|<="costante"$?
No. Questo enunciato è falso. Esempio per \(n=1\):
Consideriamo il problema
\[
\begin{cases}
\dot{y}(t)=-\frac{1}{t^2} y(t), &t>0, \\
y(1)=y_0.
\end{cases}
\]
Il coefficiente \(-1/t^2\) si intende valere \(0\) per \(t=0\). Non è una funzione continua, ma è una funzione misurabile. Quindi rientra nelle ipotesi del quote.
La soluzione del problema è
\[
y(t)=\exp\left( \int_{1}^t \frac{-1}{s^2}\, ds\right)y_0.\]
La domanda di sopra si riduce a chiedere se la funzione
\[
\exp\left( \int_{1}^t \frac{-1}{s^2}\, ds\right)\]
sia limitata. E la risposta è chiaramente no perché
\[
\exp\left( \int_{1}^t \frac{-1}{s^2}\, ds\right)=\exp\left( \frac13(1+t^{-1})\right),\]
che tende a \(+\infty\) per \(t\to 0\).
Ho trovato un teorema interessante sul libro Introduction to the Mathematical Theory of Control di Bressan-Piccoli.
Teorema: sia $t \to A(t)$ una funzione misurabile e sia $|A(t)|
Credo che per soluzione si intenda una funzione assolutamente continua che risolve l'equazione quasi ovunque.
Questo teorema mi consente di dedurre che la matrice fondamentale è limitata sull'intervallo $[a,b]$?
Teorema: sia $t \to A(t)$ una funzione misurabile e sia $|A(t)|
Credo che per soluzione si intenda una funzione assolutamente continua che risolve l'equazione quasi ovunque.
Questo teorema mi consente di dedurre che la matrice fondamentale è limitata sull'intervallo $[a,b]$?
Provo ad azzardare un'argomentazione più precisa:
Dalle ipotesi so che per ogni $(t,u) \in [0,1] \times \Gamma$ si ha che $f(t,\cdot,t)$ è differenziabile con continuità e che $f$ è globalmente lipschitziana in $x$ (con costante di Lipschitz $K$), ne segue che $|f_x^T(\cdot,\cdot,\cdot)|\leK$.
Allora per il teorema che ho riportato nel messaggio precedente sono garantite esistenza ed unicità della soluzione $y(t)$ per qualsiasi dato iniziale e inoltre vale $|y(t)|\lee^{K|t-t_0|}|y_0|<=e^K|y_0|$.
Per ogni dato iniziale $y_0$ ho che $y(t)=\Phi(t,t_0)y_0$, dunque $|\Phi(t,t_0)y_0|=|y(t)|<=e^K|y_0|$.
Allora $|\phi(t,t_0)|="sup"_{y_0 !=0}\frac{|\Phi(t,t_0)y_0|}{|y_0|} \le "sup"_{y_0 !=0}\frac{e^K|y_0|}{|y_0|}=e^K$.
Ho così provato che $"sup"_{s\let_0\let\le1}|\Phi(t,t_0)|\lee^K$. Giusto?
Dalle ipotesi so che per ogni $(t,u) \in [0,1] \times \Gamma$ si ha che $f(t,\cdot,t)$ è differenziabile con continuità e che $f$ è globalmente lipschitziana in $x$ (con costante di Lipschitz $K$), ne segue che $|f_x^T(\cdot,\cdot,\cdot)|\leK$.
Allora per il teorema che ho riportato nel messaggio precedente sono garantite esistenza ed unicità della soluzione $y(t)$ per qualsiasi dato iniziale e inoltre vale $|y(t)|\lee^{K|t-t_0|}|y_0|<=e^K|y_0|$.
Per ogni dato iniziale $y_0$ ho che $y(t)=\Phi(t,t_0)y_0$, dunque $|\Phi(t,t_0)y_0|=|y(t)|<=e^K|y_0|$.
Allora $|\phi(t,t_0)|="sup"_{y_0 !=0}\frac{|\Phi(t,t_0)y_0|}{|y_0|} \le "sup"_{y_0 !=0}\frac{e^K|y_0|}{|y_0|}=e^K$.
Ho così provato che $"sup"_{s\let_0\let\le1}|\Phi(t,t_0)|\lee^K$. Giusto?
Non lo so bene, stai cambiando continuamente la domanda e mi risulta faticoso andare a leggere ogni volta le nuove ipotesi. Quanto scrivi nell'ultimo post sembra corretto, comunque, a parte qualche ovvio typo (che rende la lettura ancora più faticosa). Ad esempio quella stima $|y(t)|\le e^K |t-t_0| |y_0|$ è chiaramente sbagliata.
Corretto il typo che mi hai segnalato, grazie mille!
Riguardo le ipotesi non mi sembra di averle cambiate, sono sempre quelle che ho scritto qui:
Riguardo le ipotesi non mi sembra di averle cambiate, sono sempre quelle che ho scritto qui:
"thedarkhero":
Nel mio caso $A(t)=f_x^T(t,\hatx(t),\hatu(t))$, dove $f:[0,1] \times RR^d \times \Gamma \to RR^d$ (con $\subseteq RR^m$), $\hatx:[0,1] \to RR^d$ è una traiettoria ottima di un problema di controllo ottimo (quindi è assolutamente continua) e $\hatu:[0,1] \to \Gamma$ è un controllo ottimo (misurabile).
Le ipotesi che ho su $f$ sono le seguenti:
$f(\cdot,\cdot,\cdot)$ è continua;
$f$ è continua rispetto a $(t,x)$, uniformemente in $u \in \Gamma$;
per ogni $(t,u) \in [0,1] \times \Gamma$ si ha che $f(t,\cdot,u)$ è differenziabile con continuità;
$f$ è globalmente lipschitziana in $x$;
$|f(t,x,u)|\leK(1+|x|)$ $AA x \in RR^d$.
Considerando anche queste ipotesi posso dire qualcosa in più sulla limitatezza della matrice fondamentale?
[ot]Mi riferivo questa roba qui. Era questa la domanda iniziale. Poi dopo è risultato che non te ne importava un granché, mi pare.
"thedarkhero":[/ot]
Considero l'equazione differenziale lineare omogenea $\doty(t)=A(t)y(y)$ in $R^n$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$, dove la matrice $A(t)$ è misurabile (quindi non necessariamente continua).
Sia $\Phi$ la matrice fondamentale associata all'equazione differenziale di cui sopra.
Si può dimostrare che $"sup"_{0<=t_0<=t<=1}|\Phi(t,t_0)|<="costante"$?
"dissonance":[/ot][/quote]
[ot]Mi riferivo questa roba qui. Era questa la domanda iniziale. Poi dopo è risultato che non te ne importava un granché, mi pare.
[quote="thedarkhero"]Considero l'equazione differenziale lineare omogenea $\doty(t)=A(t)y(y)$ in $R^n$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$, dove la matrice $A(t)$ è misurabile (quindi non necessariamente continua).
Sia $\Phi$ la matrice fondamentale associata all'equazione differenziale di cui sopra.
Si può dimostrare che $"sup"_{0<=t_0<=t<=1}|\Phi(t,t_0)|<="costante"$?
La domanda iniziale era riferita al caso generale di un sistema lineare qualsiasi e la conclusione a cui siamo giunti è che la proprietà di limitatezza che ho richiesto in generale non vale, ho quindi riformulato la domanda in un caso specifico in cui mi sono trovato e la risposta a cui siamo giunti è che in quel caso vale. Ed in conclusione abbiamo capito che in generale la proprietà che ho richiesto è garantita se il coefficiente $A(t)$ è limitato.
Tutto questo per dire che non mi sembra di aver chiesto cose di cui non mi importava nulla, semplicemente a mano a mano che grazie ai tuoi consigli mi si chiarivano alcune cose ho cercato di arrivare ad una risposta che fosse il più generale possibile e che non si limitasse al caso specifico delle ipotesi particolari che ho riportato.
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