Misura di Lebesgue di un grafico

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Angus1956
Angus1956
5 mar 2023, 13:09
Sia $f:[a,b]->RR$ Riemann-integrabile. Provare che $graf(f)={(x,f(x))inRR^2| x in[a,b]}$ ha $L^2$-misura nulla (dove $L^2$ è la misura di Lebesgue in dimensione $2$).
Allora mi basta dimostrare che presa $u^**$ misura esterna di $L^2$ si ha che $AAepsilon>0$ $EE{R_i}_i$ ricomprimento Lebesguiano di $graf(f)$ tali che $\sum_{i=0}^(+\infty) u^**(R_i)0$ $EEsigma_epsilonin\Omega[a,b]$ tale che $S(f,sigma_epsilon)-s(f,sigma_epsilon)>epsilon$ ovvero $\sum_{j=0}^(n)(su p_(I_j)(f)-i nf_(I_j)(f))(x_j-x_(j-1))
Risposte
Mephlip
Mephlip
5 mar 2023, 12:25
[xdom="Mephlip"]Le domande di teoria della misura vanno fatte nella sezione di analisi superiore. Sposto.[/xdom]
otta96
otta96
5 mar 2023, 14:43
"andreadel1988":
$S(f,sigma_epsilon)-s(f,sigma_epsilon)>epsilon$

Minore.
Per l'ultima parte, non potevi fare a meno di tirare fuori ${R_k^((j))}_k$?
Angus1956
Angus1956
5 mar 2023, 19:58
"otta96":

Per l'ultima parte, non potevi fare a meno di tirare fuori ${R_k^((j))}_k$?

Eh in teoria non credo che posso mandare $n->+\infty$ nella sommatoria $ \sum_{j=0}^(n)u^**(R_j)
otta96
otta96
5 mar 2023, 22:48
Ma non devi mandare $n$ a infinito.
Angus1956
Angus1956
5 mar 2023, 23:19
"otta96":
Ma non devi mandare $n$ a infinito.

Scusa ma non devo ottenere $ \sum_{i=0}^(+\infty) u^**(R_i)
otta96
otta96
6 mar 2023, 10:47
Ma $R_i$ non è mica una successione.
Angus1956
Angus1956
6 mar 2023, 18:37
"otta96":
Ma $R_i$ non è mica una successione.

No no, sono una famiglia numerabile di rettangoli che forma un ricoprimento Lebesguiano di $graf(f)$
otta96
otta96
6 mar 2023, 20:14
Ma cosa intendi di preciso con ricoprimento Lebesguiano ?
Angus1956
Angus1956
6 mar 2023, 21:20
"otta96":
Ma cosa intendi di preciso con ricoprimento Lebesguiano ?

Ti do la definizione che mi hanno detto: Sia $AsubeRR^n$. Chiamiamo ricoprimento Lebesguiano di $A$ ogni famiglia numerabile $(R_i)_(iinNN)$ dove $R_i$ sono rettangoli oppure il vuoto e $Asube\uu_{i=1}^(+\infty)R_i$. Allora poniamo (misura esterna di Lebesgue in $RR^n$) $u^**(A)=i nf{\sum_{i=1}^(+\infty) u^**(R_i)|(R_i)_i$ ricoprimento Lebesguiano di $A}$.
otta96
otta96
6 mar 2023, 21:47
Ok però non deve essere per forza infinito l'insieme ${R_i|i\inNN}$ giusto? quindi nella dimostrazione i $R_j$ sono già un ricoprimento Lebesguiano.
Angus1956
Angus1956
6 mar 2023, 21:57
"otta96":
Ok però non deve essere per forza infinito l'insieme ${R_i|i\inNN}$ giusto? quindi nella dimostrazione i $R_j$ sono già un ricoprimento Lebesguiano.

A ok, da come mi era stata posta in effetti avevo questo dubbio, grazie per avermelo detto. Quindi la dimostrazione si ferma a $ \sum_{j=0}^(n)u^**(R_j)
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