Compattezza di un operatore definito mediante convoluzione
Buonasera,
Ho qualche difficoltà nel risolvere il seguente esercizio sulla compattezza di un operatore tra spazi di funzioni, definito mediante convoluzione.
Sia $C_0^0(\mathbb{R}) = \{f \in C^0(\mathbb{R}) : \lim_{|x| \to \infty} f(x) = 0\}$ munito della norma del sup. Sia $\phi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$ una funzione infinitamente differenziabile a supporto compatto.
Definiamo, per ogni $f \in C_0^0(\mathbb{R})$ e per ogni $x \in \mathbb{R}$,
$$(Tf)(x) = \phi(x) \cdot (f \ast \phi)(x)$$
Dove $\ast$ rappresenta l'usuale convoluzione: $(f \ast \phi)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x-y)\phi(y) dy$.
Devo dimostrare che $T$ è un operatore compatto. Presa una successione $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset C_0^0(\mathbb{R})$, devo quindi mostrare che la sua immagine $\{Tf_n}_{n \in \mathbb{N}}$ ammette una sottosuccessione convergente.
Mi è stato dato come indizio l'idea di verificare che la successione delle immagini soddisfa ipotesi molto simili a quelle del teorema di Ascoli-Arzelà, per poi ottenere il risultato adattando un minimo la sua dimostrazione.
L'uniforme limitatezza della successione mi sembra abbastanza facile da verificare, visto che tutte le funzioni in gioco sono in qualche modo limitate. Ho invece più difficoltà nel verificare l'uniforme equicontinuità. Qualcuno saprebbe darmi una mano?
Inoltre, ammettendo che la successione sia uniformemente equicontinua, come faccio a concludere? Per Ascoli-Arzelà le funzioni devono essere definite su un compatto. Immagino che posso sfruttare il fatto che in questo caso le funzioni sono a supporto compatto, ma non saprei bene come procedere. Qualche indizio?
Ho qualche difficoltà nel risolvere il seguente esercizio sulla compattezza di un operatore tra spazi di funzioni, definito mediante convoluzione.
Sia $C_0^0(\mathbb{R}) = \{f \in C^0(\mathbb{R}) : \lim_{|x| \to \infty} f(x) = 0\}$ munito della norma del sup. Sia $\phi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$ una funzione infinitamente differenziabile a supporto compatto.
Definiamo, per ogni $f \in C_0^0(\mathbb{R})$ e per ogni $x \in \mathbb{R}$,
$$(Tf)(x) = \phi(x) \cdot (f \ast \phi)(x)$$
Dove $\ast$ rappresenta l'usuale convoluzione: $(f \ast \phi)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x-y)\phi(y) dy$.
Devo dimostrare che $T$ è un operatore compatto. Presa una successione $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset C_0^0(\mathbb{R})$, devo quindi mostrare che la sua immagine $\{Tf_n}_{n \in \mathbb{N}}$ ammette una sottosuccessione convergente.
Mi è stato dato come indizio l'idea di verificare che la successione delle immagini soddisfa ipotesi molto simili a quelle del teorema di Ascoli-Arzelà, per poi ottenere il risultato adattando un minimo la sua dimostrazione.
L'uniforme limitatezza della successione mi sembra abbastanza facile da verificare, visto che tutte le funzioni in gioco sono in qualche modo limitate. Ho invece più difficoltà nel verificare l'uniforme equicontinuità. Qualcuno saprebbe darmi una mano?
Inoltre, ammettendo che la successione sia uniformemente equicontinua, come faccio a concludere? Per Ascoli-Arzelà le funzioni devono essere definite su un compatto. Immagino che posso sfruttare il fatto che in questo caso le funzioni sono a supporto compatto, ma non saprei bene come procedere. Qualche indizio?
Risposte
Ti conviene spezzare la dimostrazione in due. Prima ti devi scrivere una versione di Ascoli-Arzelà adattata allo spazio \(C^0_0\). Non è difficile, ti serve solo una condizione in più, una specie di "equicontinuità all'infinito".
Dopodiché vai a verificare che la tua successione soddisfa queste condizioni. Ti conviene riscrivere la convoluzione come
\[
f\ast \phi(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)\phi(x-y)\, dy, \]
in modo tale che
\[
f\ast \phi(x_1)-f\ast \phi(x_2)=\int_{-\infty}^\infty f(y)\left( \phi(x_1-y)-\phi(x_2-y)\right)\, dy, \]
e ora puoi studiare questo incremento. Per concludere dovrai studiare anche la nuova condizione di equicontinuità all'infinito. Buon lavoro
Dopodiché vai a verificare che la tua successione soddisfa queste condizioni. Ti conviene riscrivere la convoluzione come
\[
f\ast \phi(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)\phi(x-y)\, dy, \]
in modo tale che
\[
f\ast \phi(x_1)-f\ast \phi(x_2)=\int_{-\infty}^\infty f(y)\left( \phi(x_1-y)-\phi(x_2-y)\right)\, dy, \]
e ora puoi studiare questo incremento. Per concludere dovrai studiare anche la nuova condizione di equicontinuità all'infinito. Buon lavoro
Pensandoci meglio forse è leggermente più semplice usare la forma
\[
f\ast \phi(x)=\int_{-\infty}^\infty \phi(y)f(x-y)\, dy. \]
Sono differenze minime in ogni caso.
\[
f\ast \phi(x)=\int_{-\infty}^\infty \phi(y)f(x-y)\, dy. \]
Sono differenze minime in ogni caso.
"dissonance":
Ti conviene spezzare la dimostrazione in due. Prima ti devi scrivere una versione di Ascoli-Arzelà adattata allo spazio \(C^0_0\). Non è difficile, ti serve solo una condizione in più, una specie di "equicontinuità all'infinito".
Dopodiché vai a verificare che la tua successione soddisfa queste condizioni. Ti conviene riscrivere la convoluzione come
\[
f\ast \phi(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)\phi(x-y)\, dy, \]
in modo tale che
\[
f\ast \phi(x_1)-f\ast \phi(x_2)=\int_{-\infty}^\infty f(y)\left( \phi(x_1-y)-\phi(x_2-y)\right)\, dy, \]
e ora puoi studiare questo incremento. Per concludere dovrai studiare anche la nuova condizione di equicontinuità all'infinito. Buon lavoro
Grazie per la risposta.
La condizione per la versione di Ascoli-Arzelà adattata a \(C^0_0(\mathbb{R})\) è qualcosa del tipo: la successione ${f_n}_{n \in \mathbb{N}}$ è equicontinua su ogni compatto di $\mathbb{R}$ e per ogni $\epsilon > 0$ esiste un compatto $K \subset R$ tale che
$$ \sup_{x \in K^c} \left| f_n(x) \right| < \epsilon $$
per ogni $n \in \mathbb{N}$, giusto?
Se fosse così penso di poterlo mostrare in questo modo:
Ti sembra corretto?
Ora rifletto su come verificare che le condizioni sono soddisfatte dalla successione delle immagini del mio operatore.
Per l'uniforme equicontinuità stavo pensando di ragionare così:
L'obiettivo è quello di controllare la quantità
$$ \left| \phi(x_1) \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1 -y) \phi(y)dy - \phi(x_2) \int_{-\infty}^\infty f(x_2-y) \phi(y) dy \right| $$
in funzione della distanza $| x_1 - x_2 |$, indipendentemente da $n$.
Osservo innanzitutto che sia $f$ che $\phi$ sono uniformemente continue e limitate, quindi la funzione $x \mapsto \phi(x)f(x-y)$ è anch'essa uniformemente continua in quanto prodotto di funzioni uniformemente continue e limitate.
Per cui, per $\epsilon > 0$, ho un $\delta > 0$ tale che, se $|x_1 - x_2| < \delta$, allora
$$ | \phi(x_1) f(x_1 -y) - \phi(x_2) f(x_2 -y) | < \frac{\epsilon}{\mu(\text{supp}(\phi)) || \phi ||_\infty }$$
Ottengo quindi, per $| x_1 - x_2| < \delta$,
$$ \left| \phi(x_1) \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1 -y) \phi(y)dy - \phi(x_2) \int_{-\infty}^\infty f(x_2-y) \phi(y) dy \right| \\
= \left| \int_{\text{supp}(\phi)} \phi(y) \left[ \phi(x_1) f(x_1-y) - \phi(x_2) f(x_2-y) \right] dy \right| \\
\leq || \phi ||_\infty \int_{\text{supp}(\phi)} \left| \phi(x_1) f(x_1-y) - \phi(x_2) f(x_2-y) \right| dy \\
< || \phi ||_\infty \mu(\text{supp}(\phi)) \frac{\epsilon}{\mu(\text{supp}(\phi)) || \phi ||_\infty } = \epsilon$$
La cosa che mi pare un po' strana è che in questo ragionamento non uso da nessuna parte il fatto che $x_1, x_2$ si trovano in un compatto; funziona per ogni $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$. Inoltre, per mostrare che il valore assoluto della funzione sta sotto ad $\epsilon$ mi basterebbe prendere un compatto $K$ che contiene il supporto di $\phi$, in modo da avere che $Tf_n$ è nulla sul complementare. Quindi forse sono sbagliate le condizioni che richiedo per la versione modificata di A-A? Oppure sto sbagliando qualcosa qui?
L'obiettivo è quello di controllare la quantità
$$ \left| \phi(x_1) \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1 -y) \phi(y)dy - \phi(x_2) \int_{-\infty}^\infty f(x_2-y) \phi(y) dy \right| $$
in funzione della distanza $| x_1 - x_2 |$, indipendentemente da $n$.
Osservo innanzitutto che sia $f$ che $\phi$ sono uniformemente continue e limitate, quindi la funzione $x \mapsto \phi(x)f(x-y)$ è anch'essa uniformemente continua in quanto prodotto di funzioni uniformemente continue e limitate.
Per cui, per $\epsilon > 0$, ho un $\delta > 0$ tale che, se $|x_1 - x_2| < \delta$, allora
$$ | \phi(x_1) f(x_1 -y) - \phi(x_2) f(x_2 -y) | < \frac{\epsilon}{\mu(\text{supp}(\phi)) || \phi ||_\infty }$$
Ottengo quindi, per $| x_1 - x_2| < \delta$,
$$ \left| \phi(x_1) \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1 -y) \phi(y)dy - \phi(x_2) \int_{-\infty}^\infty f(x_2-y) \phi(y) dy \right| \\
= \left| \int_{\text{supp}(\phi)} \phi(y) \left[ \phi(x_1) f(x_1-y) - \phi(x_2) f(x_2-y) \right] dy \right| \\
\leq || \phi ||_\infty \int_{\text{supp}(\phi)} \left| \phi(x_1) f(x_1-y) - \phi(x_2) f(x_2-y) \right| dy \\
< || \phi ||_\infty \mu(\text{supp}(\phi)) \frac{\epsilon}{\mu(\text{supp}(\phi)) || \phi ||_\infty } = \epsilon$$
La cosa che mi pare un po' strana è che in questo ragionamento non uso da nessuna parte il fatto che $x_1, x_2$ si trovano in un compatto; funziona per ogni $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$. Inoltre, per mostrare che il valore assoluto della funzione sta sotto ad $\epsilon$ mi basterebbe prendere un compatto $K$ che contiene il supporto di $\phi$, in modo da avere che $Tf_n$ è nulla sul complementare. Quindi forse sono sbagliate le condizioni che richiedo per la versione modificata di A-A? Oppure sto sbagliando qualcosa qui?
Non è vero, stai usando il supporto compatto in modo implícito, altrimenti Phi potrebbe non essere uniformemente continua.
Ma non capisco cosa hai fatto. Da dove vengono quei $\phi(x_1)$ e $\phi(x_2)$?
Ma non capisco cosa hai fatto. Da dove vengono quei $\phi(x_1)$ e $\phi(x_2)$?
"dissonance":
Non è vero, stai usando il supporto compatto in modo implícito, altrimenti Phi potrebbe non essere uniformemente continua.
Ma non capisco cosa hai fatto. Da dove vengono quei $\phi(x_1)$ e $\phi(x_2)$?
Dal modo in cui è definito il mio operatore:
$$ (Tf)(x) = \phi(x) \cdot (f \ast \phi)(x).$$
La convoluzione è moltiplicata per $\phi$
Quello che volevo dire è che sia $f$ che $\phi$ sono uniformemente continue su tutto $\mathbb{R}$: $f$ in quanto funzione continua che si annulla all'infinito, e $\phi$ in quanto continua a supporto compatto. Quindi l'uniforme continuità nel mio ragionamento non deriva dal restringere $x_1$ e $x_2$ ad un compatto $K$, funziona a priori.
Il problema è che sfrutto l'uniforme continuità di $f$ per una $n$ fissata (non ho messo il pedice alle $f$ nei vari passaggi), quindi in realtà il $\delta$ che ottengo può ancora dipendere da $n$; così non dimostro la parte "equi" in pratica.
Per quello credo che devo sfruttare in maniera più intelligente la restrizione ad un compatto, ma non vedo come fare... Hai un'idea?
Il problema è che sfrutto l'uniforme continuità di $f$ per una $n$ fissata (non ho messo il pedice alle $f$ nei vari passaggi), quindi in realtà il $\delta$ che ottengo può ancora dipendere da $n$; così non dimostro la parte "equi" in pratica.
Per quello credo che devo sfruttare in maniera più intelligente la restrizione ad un compatto, ma non vedo come fare... Hai un'idea?
Allora, in queste cose l'intuizione è che se tutto funziona con \(\phi\) liscia, allora c'è un modo per estendere a \(\phi\) generale. Ora se \(\phi\in C^1(\mathbb R)\) e a supporto compatto, allora tutto funziona, perché
\[
\frac{d}{dx}\left[ \phi(x)\int_{-\infty}^\infty \phi(x-y)f(y)\, dy\right] = \phi'(x)\int_{-\infty}^\infty \phi(x-y)f(y)\, dy + \phi(x)\int_{-\infty}^\infty \phi'(x-y)f(y)\, dy, \]
perciò
\[
\left\lvert \frac{d}{dx}\left[ \phi(x)\int_{-\infty}^\infty \phi(x-y)f(y)\, dy\right] \right\rvert \le \lVert f\rVert_\infty\left(\lVert \phi'\rVert_\infty \lVert \phi \rVert_1+\lVert \phi'\rVert_1 \lVert \phi \rVert_\infty\right), \]
da cui l'equicontinuità discende subito. Qui uso la notazione
\[
\lVert \psi\rVert_\infty=\sup_{x\in\mathbb R}\lvert\psi(x)\rvert, \quad \lVert\psi\rVert_1=\int_{-\infty}^\infty \lvert\psi(x)\rvert\, dx.\]
Nota che qui non basta che \(\phi\in C^1\). Ci vuole anche il supporto compatto altrimenti non è garantito che \(\lVert \phi'\rVert_1<\infty\).
Si tratta di capire come rimuovere l'ipotesi che \(\phi\in C^1(\mathbb R)\).
\[
\frac{d}{dx}\left[ \phi(x)\int_{-\infty}^\infty \phi(x-y)f(y)\, dy\right] = \phi'(x)\int_{-\infty}^\infty \phi(x-y)f(y)\, dy + \phi(x)\int_{-\infty}^\infty \phi'(x-y)f(y)\, dy, \]
perciò
\[
\left\lvert \frac{d}{dx}\left[ \phi(x)\int_{-\infty}^\infty \phi(x-y)f(y)\, dy\right] \right\rvert \le \lVert f\rVert_\infty\left(\lVert \phi'\rVert_\infty \lVert \phi \rVert_1+\lVert \phi'\rVert_1 \lVert \phi \rVert_\infty\right), \]
da cui l'equicontinuità discende subito. Qui uso la notazione
\[
\lVert \psi\rVert_\infty=\sup_{x\in\mathbb R}\lvert\psi(x)\rvert, \quad \lVert\psi\rVert_1=\int_{-\infty}^\infty \lvert\psi(x)\rvert\, dx.\]
Nota che qui non basta che \(\phi\in C^1\). Ci vuole anche il supporto compatto altrimenti non è garantito che \(\lVert \phi'\rVert_1<\infty\).
Si tratta di capire come rimuovere l'ipotesi che \(\phi\in C^1(\mathbb R)\).
"dissonance":
Allora, in queste cose l'intuizione è che se tutto funziona con \(\phi\) liscia, allora c'è un modo per estendere a \(\phi\) generale. Ora se \(\phi\in C^1(\mathbb R)\) e a supporto compatto, allora tutto funziona, perché
\[
\frac{d}{dx}\left[ \phi(x)\int_{-\infty}^\infty \phi(x-y)f(y)\, dy\right] = \phi'(x)\int_{-\infty}^\infty \phi(x-y)f(y)\, dy + \phi(x)\int_{-\infty}^\infty \phi'(x-y)f(y)\, dy, \]
perciò
\[
\left\lvert \frac{d}{dx}\left[ \phi(x)\int_{-\infty}^\infty \phi(x-y)f(y)\, dy\right] \right\rvert \le \lVert f\rVert_\infty\left(\lVert \phi'\rVert_\infty \lVert \phi \rVert_1+\lVert \phi'\rVert_1 \lVert \phi \rVert_\infty\right), \]
da cui l'equicontinuità discende subito. Qui uso la notazione
\[
\lVert \psi\rVert_\infty=\sup_{x\in\mathbb R}\lvert\psi(x)\rvert, \quad \lVert\psi\rVert_1=\int_{-\infty}^\infty \lvert\psi(x)\rvert\, dx.\]
Nota che qui non basta che \(\phi\in C^1\). Ci vuole anche il supporto compatto altrimenti non è garantito che \(\lVert \phi'\rVert_1<\infty\).
Si tratta di capire come rimuovere l'ipotesi che \(\phi\in C^1(\mathbb R)\).
Grazie mille, in effetti con l'uniforme (equi)limitatezza della derivata l'equicontinuità funziona perfettamente.
In realtà la $\phi$ dell'enunciato è già in $C_0^\infty$, quindi non ci sono problemi da quel punto di vista. L'equicontinuità che ottengo per $\{Tf_n}_n$ è uniforme su tutto $\mathbb{R}$, giusto?
Perché a questo punto è ovvio che vale in particolare se restringo $\{Tf_n}_n$ ad un compatto (che è quello che richiedo comme condizione nella versione modificata di AA), ma in realtà questa restrizione ad un compatto non la uso nella dimostrazione dell'equicontinuità, visto che $\phi$ è già a supporto compatto, mi serve solo per concludere visto che mi sembra sia una condizione necessaria per Ascoli-Arzelà (o forse posso dimostrarne una versione sotto condizioni anche più deboli ?)
L'equicontinuità ... su tutto \(\mathbb R\)
Qui puoi rispondere da solo con facilità. La stima sulla derivata è su tutto \(\mathbb R\).
se restringo \(\{Tf_n\}\) a un compatto...
No no no. Attenzione. Il tuo operatore mappa \(C^0_0(\mathbb R)\) in sé stesso. Devi quindi dimostrare che, presa una successione \(f_n\in C^0_0(\mathbb R)\) limitata, \(Tf_n(\mathbb R)\) ha una estratta convergente nello spazio \(C^0_0(\mathbb R)\). La convergenza deve essere nel senso di questo spazio, non puoi restringere a compatti.
Intanto grazie ancora, mi stai aiutando a capire molto meglio il problema. E scusa se ti riempio di domande ma vorrei capire davvero bene questo esercizio per preparare l'esame.
Si questa era più una domanda retorica (si verifica banalmente con il teorema del valor medio).
Ok, su questo ci sono. Visto che la norma su $C_0^0(\mathbb{R})$ è quella uniforme (del sup), la convergenza in questo spazio è la convergenza uniforme su tutto $\mathbb{R}$. Il fatto è che se ho capito bene la condizione ulteriore per Arzelà-Ascoli in casi come questo è che la successione di funzioni si "annulli uniformemente all'infinito", cosa che mi permette di considerare la mia successione appunto solo su un compatto, per poter applicare la versione "standard" di A-A.
In sostanza qualcosa di simile al Thm 5 in [1], che è una versione un po' più generale, per uno spazio $X$ localmente compatto, (la dimostrazione passa per il compattificato di $X$).
Ora, mi sembra che nel mio caso questa condizione (annullamento all'infinito) sia trivialmente verificata, visto che per ogni $n$ il supporto di $Tf_n$ è contenuto nel supporto di $\phi$. Quindi quello che pensavo di fare, per mettere insieme prima e seconda parte, è considerare la restrizione della successione al supporto di $\phi$, sul quale posso applicare A-A in versione standard in quanto compatto, estrarre una sottosuccessione convergente e banalmente estenderla con valore $0$ al di fuori. In questo modo mi sembra che la convergenza della sottosuccessione (estesa su tutto $\mathbb{R}$) dovrebbe essere uniforme, visto che al di fuori dal supporto di $\phi$ tutte le $Tf_n$ sono nulle, e dentro il supporto di $\phi$ la convergenza uniforme me la dà A-A. Può funzionare un approccio del genere?
[1] : https://arxiv.org/pdf/1801.01898.pdf
"dissonance":
Qui puoi rispondere da solo con facilità. La stima sulla derivata è su tutto \(\mathbb R\).
Si questa era più una domanda retorica (si verifica banalmente con il teorema del valor medio).
"dissonance":
No no no. Attenzione. Il tuo operatore mappa \(C^0_0(\mathbb R)\) in sé stesso. Devi quindi dimostrare che, presa una successione \(f_n\in C^0_0(\mathbb R)\) limitata, \(Tf_n(\mathbb R)\) ha una estratta convergente nello spazio \(C^0_0(\mathbb R)\). La convergenza deve essere nel senso di questo spazio, non puoi restringere a compatti.
Ok, su questo ci sono. Visto che la norma su $C_0^0(\mathbb{R})$ è quella uniforme (del sup), la convergenza in questo spazio è la convergenza uniforme su tutto $\mathbb{R}$. Il fatto è che se ho capito bene la condizione ulteriore per Arzelà-Ascoli in casi come questo è che la successione di funzioni si "annulli uniformemente all'infinito", cosa che mi permette di considerare la mia successione appunto solo su un compatto, per poter applicare la versione "standard" di A-A.
In sostanza qualcosa di simile al Thm 5 in [1], che è una versione un po' più generale, per uno spazio $X$ localmente compatto, (la dimostrazione passa per il compattificato di $X$).
Ora, mi sembra che nel mio caso questa condizione (annullamento all'infinito) sia trivialmente verificata, visto che per ogni $n$ il supporto di $Tf_n$ è contenuto nel supporto di $\phi$. Quindi quello che pensavo di fare, per mettere insieme prima e seconda parte, è considerare la restrizione della successione al supporto di $\phi$, sul quale posso applicare A-A in versione standard in quanto compatto, estrarre una sottosuccessione convergente e banalmente estenderla con valore $0$ al di fuori. In questo modo mi sembra che la convergenza della sottosuccessione (estesa su tutto $\mathbb{R}$) dovrebbe essere uniforme, visto che al di fuori dal supporto di $\phi$ tutte le $Tf_n$ sono nulle, e dentro il supporto di $\phi$ la convergenza uniforme me la dà A-A. Può funzionare un approccio del genere?
[1] : https://arxiv.org/pdf/1801.01898.pdf
Mi dispiace non avere più continuato questa discussione, me ne sono accorto solo ora. In ogni caso credo che l'esercizio fosse concluso correttamente, e le considerazioni che sono arrivate dopo non mi pare vadano molto lontano, quindi meglio così. Spero che il tuo esame sia andato bene, oppure, se ancora non lo hai sostenuto, in bocca al lupo.
"dissonance":
Mi dispiace non avere più continuato questa discussione, me ne sono accorto solo ora. In ogni caso credo che l'esercizio fosse concluso correttamente, e le considerazioni che sono arrivate dopo non mi pare vadano molto lontano, quindi meglio così. Spero che il tuo esame sia andato bene, oppure, se ancora non lo hai sostenuto, in bocca al lupo.
Figurati, grazie ancora per tutto l'aiuto.
Esame fatto, è andato bene
Ottimo, complimenti.
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