Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Sia $H$ uno spazio di Hilbert sul campo complesso, infinito dimensionale e separabile.
Sia $\{H_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ una successione si sottospazi chiusi di $H$ tale che $H_{m+1}$ è un sottospazio proprio di $H_{m}$ e $\cap_{m=1}^\infty H_m=\{0\}$.
Sia $\{P_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ una successione di operatori lineari su $H$ tale che $\forall m \in \mathbb{N}: P_m$ è la proiezione ortogonale su $H_m$.
Vorrei una dimostrazione che la successione ...
Ciao a tutti, sto svolgendo questo esercizio sulla funzione di Green e mi sono bloccato su un punto. Spero in un vostro cortese intervento per far luce su questo dubbio che ho. Il resto credo di saperlo svolgere bene. Il testo dice:
Risolvere il seguente problema mediante funzione di Green:
\begin{cases}
\frac{d^2f(x)}{dx^2} +f(x) = sinx \\
f(0)=f(\frac{\pi}{2})=0 \\
\end{cases}
con $0<=x<=pi/2$.
L'operatore risulta essere $L=d^2/dx^2 +1$ e risolvendo l'equazione ...
buonasera stavo risolvendo una trasformata di fourier di una funzione fratta ma non ricordo gli ultimi passaggi. Di seguito vi scrivo la traccia e il punto in cui sono arrivato. Spero che mi possiate aiutare che domani ho l'esame di metodi matematici e quindi sto cercando di definire gli ultimi argomenti.
la traccia è: $ f(x) = 5/(3+(x-2)^2) $
Ho preso una funzione ausiliaria $ g(x) = 1/(1+x^2) $ e ho calcolato la sua trasfromata e mi esce come risultato:
$ g(k) = +- pi exp (|k|) $
poi mi sono scomposto la ...
Ciao a tutti. Sono alle prese con un esercizio sulla completezza degli spazi di Hilbert.
Sono agli inizi per quanto riguarda lo svolgimento di tali esercizi e non sono ancora molto pratico. Tuttavia ho un esercizio che non riesco ad impostare e mi chiedevo se potevate darmi cortesemente una mano.
Lo spazio $H={f:\int_{0}^{1} x\abs{f(x)}^2 dx <+\infty}$ dotato di prodotto scalare: $(f,g):= \int_{0}^{1} x \bar{f(x)}g(x) dx}$, risulta uno spazio di Hilbert. Verificare la sua completezza. Mostrare inoltre che $L^2(0,1)\subset H$ e che quindi esistono ...
Sapendo che $f in L^2(RR^n)$, allora vale $lim_(epsilon->0+)\int_(RR^n)e^(-i<x,xi> -epsilon|x|)f(x)dx=\mathcal{F}_2f(xi)$ in $L^2(RR^n)$, dove $\mathcal{F}_2f$ indica la trasformata di Fourier in $L^2(RR^n)$.
Intanto al primo termine dopo il limite abbiamo una trasformata di Fourier in $L^1(RR^n)$, ovvero $\mathcal{F}_1(e^(-epsilon|x|)f(x))(xi)$ e quindi in teoria per essere ben posta si dovrebbe avere $e^(-epsilon|x|)f(x)inL^1(RR^n)$, ma non mi risulta si possa evincere in qualche modo...
Inoltre per la risoluzione avevo pensato di considerare la successione ...
Sia $u \in L_{Loc}^1(\mathbb{R^n})$ $\alpha$-derivabile in senso debole. Indichiamo con $u_{\epsilon}$ e $(D^{\alpha}u)_{\epsilon}$ rispettivamente le funzioni mollificate di $u$ e $D^{\alpha}u$, possiamo concludere che $D^{\alpha}u_{\epsilon}(x)=(D^{\alpha}u)_{\epsilon}(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R^n}$?
Io ho provato in questo modo:
Siccome $u_{\epsilon}inC^\infty(\mathbb{R^n})$ allora l'$\alpha$-derivata debole coincide con l'$\alpha$-derivata, per cui: $D^{\alpha}u_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\epsilon^n} \int_{\mathbb{R^n}} u(y) D_x^{\alpha}\phi(\frac{y-x}{\epsilon}) dy$. Ora osservando che $D_x^{\alpha}\phi(\frac{y-x}{\epsilon})=D_y^{\alpha}\phi(\frac{y-x}{\epsilon})$ se ...
Vorrei chiedere una chiarificazione sulla notazione
Se \( (X,\mathcal{A},\mu)\) è uno spazio di Lebesgue e \( \mathcal{B} \subset \mathcal{A} \) è una sotto \(\sigma\)-algebra allora esiste una famiglia di misure di probabilità \( \{ \mu_x : x \in X \} \) su \(X\) (disintegration of the measure credo si chiami) tale che per ogni \(f \in L^2(X,\mathcal{A},\mu)\) e per ogni \(B \in \mathcal{B} \) abbiamo che
\[ \int_B f d \mu = \int_B ( \int f d \mu_x ) d \mu(x)\]
Io ho sempre visto le ...
Buonasera, avrei bisogno di assistenza per un esercizio riguardante il calcolo della trasformata di Fourier. Questo che allego è la correzione svolta dal professore. Sto cercando di capire i passaggi che ha fatto. Ringrazio in anticipo chi mi risponderà e mi spiegherà tutti i passaggi sarete i miei EROI.
Salve, mi sono imbattuto nel seguente esercizio: "Utilizzando la trasformata di Laplace, determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy", e non sono riuscito a risolvere.
$\{<br />
(xy''+(1-2x)y'-2y=0),<br />
(y(0)=2),<br />
(y'(0)=4)<br />
:}$
Ho pensato di non fregarmene della x, ed andando avanti come se nulla fosse, essendo rimasto con il dubbio e visto che non ho trovato nulla in giro che abbia soddisfatto la mia richiesta, sono qui per chiedervi una mano.
Buonasera, stavo svolgendo degli esercizi sulle trasformate di Laplace, scrivo sul forum perché mi sono imbattuto in un problema. Non riesco a trovare la trasformata di Laplace seguente: $ \int_0^t e^{2(t-u)} dt $ di solito me la sono cavata con questi esercizi perché ho sfruttato la il caso dove: $\int_0^t f(t-u) g(u) du $ che mi dava come risultato la convoluzione tra e due funzioni, però in questo caso mi trovo con una funzione $f(t-u) $moltiplicata per una costante (1) e non saprei proprio come ...
Buongiorno,
vi chiedo un aiuto in quanto sono in confusione piena.
La domanda è:
risolvendo una eq. diff sec ordine con la trasformata di Laplace mi trovo ad un certo punto a doverla "sistemare" in modo da calcolare le varie antitrasformata.
Io un po' ignorantemente applico sempre i fratti semplici. ma ho capito che si può usare anche il metodo dei residui.
Qualcuno può darmi supporto?
grazie
Stefano
Ciao a tutti,
non riesco a visualizzare a livello intuitivo il contenuto del teorema di Fubini. Vedo che c'è una equivalenza tra un integrale e un integrale doppio, ma non capisco le implicazioni di questa equivalenza. Qualcuno me lo può spiegare ? Grazie mille
Sto cercando di capire il grafico modulare della funzione zeta di Riemann
$\zeta(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+...$
ho iniziato con questa prima sostituzione
s=x+iy
$\zeta(s)=1/1^(x+iy)+1/2^(x+iy)+1/3^(x+iy)+...$
$\zeta(s)=1/(1^x*1^(iy))+1/(2^x*2^(iy))+1/(3^x*3^(iy))+...$
poi sono passato alla seconda sostituzione
$e^(iy)=cosy+isiny=1$
$1^(iy)=e^(iyln1)=1$
$2^(iy)=e^(iyln2)=1$
$3^(iy)=e^(iyln3)=1$
$\zeta(s)=1/1^x+1/2^x+1/3^x+...$
però c'è qualcosa che non mi torna con l'ultima sostituzione anche se mi sembra corretta,
come è possibile che diventi una banale funzione esponenziale senza la parte ...
Salve a tutti, devo risolvere il seguente esercizio e non so come fare.
Ho una funzione f(x) che è nulla per le x negative ed è continua per le x positive. Ho che \( \int_0^1 x|f(x)|\ \text{d} x \) è finito.
Devo dimostrare che f rappresenta una distribuzione di ordine al massimo 1.
Salve a tutti.
Sto studiando le serie di Fourier e vorrei capire il metodo di calcolo dei coefficienti utilizzando
l'espressione di Eulero; cioè quella che permette il calcolo dei coefficienti tramite formula generale
$ int_(0)^(1) f(x)*e^(-2*pi*i*n*x) dx $
vorrei partire da una funzione semplice ad es $ f(x) = x $ nell'intervallo $ [ -pi ; pi] $
in questo caso il periodo non è $ 1 $ quindi divido per $ 1/(2*pi) $
ottenendo
$ 1/(2*pi) * sum(int_(0)^(1) x*e^(-i*n*x) dx ) $
integrando per parti arrivo a
...
calcolare i valori della funzione zeta di Riemann è molto complicato
$sum_(n=1)^\infty\1/n^s$
per esempio con un solo valore
$f(1/2+2i)=1/(1^(1/2+2i))+1/(2^(1/2+2i))+1/(3^(1/2+2i))+...$
bisogna trasformarlo usando la formula di Eulero in
$f(1/2+2i)=1+(sqrt 2 cos ln 4)/(4(cos ln 4)^2-4(sen ln 4)^2)-(sqrt 2 sen ln 4)/(4(cos ln 4)^2-4(sen ln 4)^2)i+(sqrt 3 cos ln 9)/(9(cos ln 9)^2-9(sen ln 9)^2)-(sqrt 3 sen ln 9)/(9(cos ln 9)^2-9(sen ln 9)^2)i+...$
a questo punto per questa serie bisogna trovare la formula giusta e mi fermo,
forse una di Laurent
fino adesso abbiamo parlato di calcolare un solo valore figuriamoci se ci addentriamo nel calcolo degli zeri non banali
poi una volta trovati gli zeri non è finita perchè nell'intervallo ...
Buonasera, mi sto cimentando nel dimostrare la nota formula
$ e^{ix} = cos(x) + isin(x) $
I passaggi con la notazione estesa non mi lasciano alcun dubbio, tuttavia in forma chiusa ho qualche problema (penso a livello di indici).
Mi trovo dunque
$ e^{ix}=sum_{k=0}^infty(ix)^k/{k!} $
e da qui non saprei come continuare.
Andando a ritroso invece arrivo a
$ cos(x)=sum_{k=0}^infty(-1)^kx^{2k}/{(2k)!} $
$ sin(x)=sum_{k=0}^infty(-1)^kx^{2k+1}/{(2k+1)!} $
e dunque
$ cos(x) +isin(x)=sum_{k=0}^infty[(-1)^kx^{2k}/{(2k)!}+i(-1)^kx^{2k+1}/{(2k+1)!}]= $
$ =sum_{k=0}^infty\frac{(-1)^k[(2k+1)x^{2k}+jx x^{2k}]}{(2k+1)(2k)!}=sum_{k=0}^infty\frac{(-1)^kx^{2k}(2k+1+ix)}{(2k+1)(2k)!} $
e mi ritrovo quel fattore $ix$ a numeratore che se non ci fosse avrei ...
L'integrale curvilineo di una funzione nel campo complesso è sempre un integrale di una forma differenziale $ f dx + i f dy $ esteso ad una generica curva regolare $ \gamma $, o anche in $ \mathbbC $ esiste una differenza tra i due integrali di linea come in $ \mathbb{R} $?
Sto studiando analisi funzionale da autodidatta e senza pretese di eccessivo rigore, ma non mi è chiarissima la definizione di distribuzione.
Ho capito che si tratta di un'estensione del concetto di funzione, ma non capisco bene quale sia la differenza tra distribuzioni e funzioni? In che senso una distribuzione non è una funzione? Potete darmi una spiegazione il più possibile semplice?
Grazie mille per l'aiuto
Un integrale complesso è definito come:
$ \int_\gamma f(z) dz = \int_\gamma udx-vdy + i\int_\gamma udy+vdx = \int_a^b f(z(t)) \cdot z'(t) dt $
(con $ \gamma $ orientato positivamente e con $ z = z(t), t\in[a,b] $ sua parametrizzazione)
Sia la prof che il libro, definiscono in modo veloce e senza troppe spiegazioni l'integrale come:
$ \int_\gamma f(z) ds = \int_a^b f(z(t)) ||z'(t)|| dt $
Ora, una funzione complessa di variabile complessa possiamo vederla come una funzione vettoriale, per cui $ f $ è associata ad una forma differenziale di coefficienti $ u(x,y) $ e $ v(x,y) $, da cui la ...
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