Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Ciao a tutti,
sottopongo questo esercizio che mi mette in difficoltà.
Devo esprimere in serie di Laurent, nell'intorno di $z=0$ e del punto infinito la seguente funzione:
$f(z)= sinz/(z(z^2+1)$
Nell'intorno di $z=0$ ho espresso $sinz$ come sviluppo in serie e $1/(z^2+1)$ come serie geometrica ottenendo:
$\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n/((2n+1)!)*z^(2n+1)*\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^(2n-1)$
Ho applicato la formula di Cauchy per il prodotto tra serie ma mi risulta una serie che non riesco a gestire e che comunque è lontano ...
Sia data la seguente forma $dx+zdy-ydz=0$, determinare $\mu!=0$ tale che $\mu(dx+zdy-ydz)=0$ sia esatta.
Affinchè sia esatta deve valere in particolare in questo caso che $(\del (\muz))/(del z)=-(\del (\muy))/(del y)$ (le altre uguaglianze sono banalmente verificate). Ma allora si deve avere $(\del \mu)/(del y)y+(\del \mu)/(del z)z=-2 \mu$. Ora da qui come posso ricavare $\mu$? Io intuitivamente ho pensato ad $1/(yz)$, ma cè un processo per determinarlo formalmente?.
Mostrare che $\int_{-infty}^{+infty} e^(- \pi x^2)e^(2 \pi i x \mu) dx=e^(- \pi \mu^2)$ (usando l'analisi complessa).
Allora tramite manipolazioni algebriche si ottiene che $\int_{-infty}^{+infty} e^(- \pi x^2)e^(2 \pi i x \mu) dx=e^(- \pi \mu^2)/sqrt( \pi) \int_{-infty}^{+infty} e^(-(x-isqrt(\pi) \mu)^2) dx$, ora consideriamo la funzione complessa $f(z)=e^(-z^2)$ sappiamo che preso un rettangolo essa è olomorfa su di esso è quindi vale che:
ora in teoria da qui si dovrebbe ricavare che $\int_{-infty}^{+infty} e^(-(x-isqrt(\pi) \mu)^2) dx=sqrt( \pi)$, però ho provato a farlo e non riesco a calcolarlo... qualcuno mi sa dire?
Sia $\Gamma= \omega_1 ZZ+\omega2 ZZ$ con $\omega_1,\omega_2$ indipendenti in $RR$. Sia $E_{\Gamma}=C_{/\Gamma}$, mostrare che $E_{\Gamma}$ è una superficie Riemanniana.
Abbiamo che $E_{\Gamma}$ è una varietà topologica poiichè omemorfa al toro, inoltre se la rappresentiamo sul piano complesso, coincide con il parallelogramma generato da $\omega_1, \omega_2$, ora come ricomprimento aperto $E_{\Gamma}$ di prendiamo una tasselazzione (ad esempio in rettangoli aperti) di $E_{\Gamma}$ , e ...
Trovare un biolomorfismo esplicito tra ${z in CC| abs(z)<1}$ e ${z in CC| Im(z)>0}$.
Stavo pensando alla funzione $f:\{z \in \mathbb{C} | |(z)| < 1 \}\to\{z \in \mathbb{C} | \text{Im}(z) > 0 \}$ data da $f(z)=\frac{iz}{z-1}$ e alla sua inversa $g(w)=\frac{w}{w-i}$.
Per dimostrare che sono olomorfe vedo direttamente che soddisfano le equzione di Cauchy RIemann?
Consideriamo $S^2$ con le due proiezioni stereografiche rispettivamente togliendo il polo nord e il polo sud, trovare la funzione di incollamento che si ottiene attraverso la definizione di superficie riemanniana con le due carte date dalle due proiezioni.
Chiamiamo $\varphi_1$ la proiezione stereografica da $S^2\\{N}$ a $\mathbb{C}$ e $\varphi_2$ la proiezione stereografica da $S^2\\{S}$ a $\mathbb{C}$, abbimao che la mappa di incollamento è ...
Buonasera, avrei bisogno di assistenza per un esercizio riguardante il calcolo della trasformata di Fourier. Questo che allego è la correzione svolta dal professore. I miei dubbi sono i seguenti: c’è un punto, dove ho sottolineato di verde, in cui $e^(-iξx)$ è stato riscritto sotto la forma $cos(ξx)$; non dovrebbe essere $cos(ξx)-isin(ξx)$? L’altra cosa che non ho ben capito è perché faccia la derivata $d/(dξ) hat g(ξ)$.
Ringrazio in anticipo chi mi risponderà e chiedo ...
Come detto in un mio post precedente, sto leggendo il libro di D.S.Jones, The theory of generalized functions, e nel particolare stavolta la domanda è sul teorema 3.16 di pagina 81.
Per rendere questo post autoconsistente faccio un pò di contesto, molto simile a quello già fatto "di là". Iniziamo dalle definizioni.
Una funzione buona $\gamma(x)$ è definita come una funzione che agisce sui reali, infinitamente differenziabile e tale che lei e tutte le sue derivate siano un ...
Ciao a tutti,
propongo il seguente esercizio:
"Si consideri il segnale $ x(t)=u(alphat)*sin(alphat) $ con $alpha$ parametro assegnato.
Per quali valori di $alpha$ la derivata distribuzionale $x'(t)$ presenta un salto di ampiezza negativa in $t=0$?"
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Il mio procedimento è il seguente:
La funzione $ x(t)$ non presenta salti, quindi $ x'(t)= x^d(t)={ ( 0->t<0 ),( alphacos(alphat)*u(alphat)+sin(alphat)*alphau'(alphat) ->t>=0):} $
quindi $x'(t)=alphacos(alphat)*u(alphat)+sin(alphat)*alphadelta(alphat)$
tenendo presente che $sin(alpha*0)*alphau'(alphat)=0$ per la proprietà della ...
Ciao a tutti,
non riesco a capire un esercizio:
"Data la funzione $ f(z) = cosz/((z^2+1)(z+i)) $ il residuo $ Res_(f)(-i) $ è un numero reale"
Questo è il mio procedimento:
$ f(z) = cosz/((z^2+1)(z+i)) = cosz/((z-i)(z+i)(z+i))=cosz/((z-i)(z+i)^2) $
$ Res_(f)(-i) = lim_(z -> -i) d/dz [(z+i)^2cosz/((z-i)(z+i)^2)]=lim_(z -> -i) d/dz [cosz/(z-i)] $
dopo vari passaggi arrivo alla conclusione
$ Res_(f)(-i) = (cos(-i)-2isin(-i))/(4) =(cosh(1) -2i*isinh(1))/4 = (cosh(1)+2sinh(1))/4 $
Se il tutto è corretto la mia domanda verte sulle funzioni trigonometriche complesse. Sinceramente non mi è mai capitato un argomento complesso in una funzione trigonometrica o in altre funzioni come ad esempio il logaritmo. ...
Ciao a tutti,
propongo un esercizio. Vorrei che mi diceste se il procedimento è corretto.
L'ultimo punto invece non mi torna e vorrei delucidazioni.
Di seguito traccia e procedimento:
Sono assegnati la funzione $ f(z)=(z-i)/(e^(iz))+(3sinh(z-2) )/(z-2)^3+(e^(iz))/(z-i) $
e l'insieme $ Omega ={zin mathbb(C) : abs(Rez)+4abs(Imz)<=3} $
$ square $ $f$ ha infinite singolarità in $mathbb(C)$. FALSO
$ square $ $Res_f $ $ (i) $ $= 1/e $. VERO
$ square $ $ int_(partialOmega) f(z)dz = 0 $ VERO ...
Ciao Ragazz*, vi chiedo supporto per determinare \( d \) ed \( R \) mediante la seguente procedura:
a) Data la funzione \( X(f) \) riportata in figura allegata sotto, ed essendo \( B \) pari a 17, \( 10 \log_{10}(d) = x(0) \) dove \( x \) è la trasformata inversa di Fourier di \( X(f) \).
b) Essendo \( M \) pari a 9 e considerando la funzione \( C(f) = X(Mf) \), \( \frac{1}{R} \) è l'istante positivo (\( t>0 \)) in cui la funzione \( c(t) \) [trasformata inversa di \( C(f) \)] assume il ...
Ciao a tutti,
chiedo aiuto per un esercizio che non riesco a svolgere.
Si ha un segnale $ x(t) = p_2(t-2) $ . Detta $ X = X(f) $ la sua trasformata di Fourier risulta $ F(X)(t) = p_2(t+2) $ .
Ora il problema per me è come arrivare a tale soluzione.
La mia idea è quella di fare la trasformata di tale segnale e poi antitrasformare, per avere il segnale in t (corretto?). Sperando di aver intuito bene il procedimento, il mio approccio è stato questo:
$ X(f) = sin(2pif)/(pif) e^(-i4pif) $
$ X(X(f))(t) = int_(-oo )^(+oo ) sin(2pif)/(pif) e^(-i4pif) *e^(+i2pift) dt = sin(2pif)/(pif) e^(-i4pif) int_(-oo )^(+oo ) e^(+i2pift) dt = sin(2pif)/(pif) e^(-i4pif) *(1/(i2pif)) * [e^(+i2pift)]{::}_(\ \ -oo )^(+oo ) $ ...
Ciao a tutti,
ho un esercizio che non riesco a risolvere:
"Si consideri il segnale $ x(t) = 1_([t, t+1] $ $ (a) + u(t)*e^(-t) $
per quale valore di $ a $ il segnale $ x'(t) $ (nel senso delle distribuzioni) contiene esattamente una Delta di Dirac?"
Ora la soluzione è $ a = 0 $ ma mi blocco quando faccio la derivata. Il mio procedimento è utilizzare la formula generale $ x'(t) = x^d + sum_(k = 1) [[ x]]_(t_k)delta(t-t_k) $ .
Per quanto riguarda la funzione caratteristica non saprei assolutamente come ...
Sto leggendo il libro di D.S.Jones, The theory of generalized functions, e nel particolare sto studiando il teorema 3.18 di pagina 84, nella cui dimostrazione non capisco un'affermazione che fa.
Prima di esternare il dubbio puntuale, devo fare un pò di contesto per spiegarmi meglio. Iniziamo da due definizioni.
Una funzione buona $\gamma(x)$ è definita come una funzione definita sui reali, infinitamente differenziabile e tale che lei e tutte le sue derivate siano un $O(|x|^{-N})$, ...
Sia $\Omega sub RR^n$ un insieme limitato e $C^1$. Allora esiste $c(\Omega)>0$ tale che per ogni $u in W_0^(1,2)(\Omega)$ si ha che $\int_(\Omega)u^2 dx<=c(\Omega)\int_(\Omega)|\nabla u|^2 dx$
Dimostrazione:
Sia $u in C_0^1(\Omega)$, allora $\int_(\Omega) <x,\nabla (u^2)> = \int_(\Omega) <x,2u\nabla u> = 2\int_(\Omega) <x,\nabla u>u$ adesso usando la disuguaglianza di cauchy-schwarz otteniamo $2\int_(\Omega) <x,\nabla u>u<=2\int_(\Omega) |x||\nabla u||u|<=2su p_{x in \Omega}|x|\int_(\Omega) |\nabla u||u|=2c(\Omega)\int_(\Omega) |\nabla u||u|$ dove $c(\Omega)$ è l'elemento che realizza il massimo di $|x|$ in $\Omega$ (che è limitato), per cui $c$ dipende da $\Omega$. Infine applicando ...
Salve,
dovrei calcolare il limite nel senso delle distribuzioni di
$ e^((t-n)^2) $
Ho svolto diversi limiti nel senso delle distribuzioni ma questo non riesco a portarlo a compimento.
L'intuito mi dice che potrebbe (sottolineo il condizionale) tendere a $ delta/sqrt(pi) $ ma
1 - non so se è vero
2 - non riesco a dimostrarlo
La mia dimostrazione si basava sull'ipotesi che tendesse a quel valore, e quindi dimostrare che la differenza tra le due quantità, per n che tende ad infinito, tendesse ...
Buon pomeriggio a tutti.
Sono nuovo dell'argomento quindi ho un po di dubbi da chiarire. Stavo svolgendo un esercizio svolto presente sul libro ma non riesco a capire il ragionamento che hanno portato avanti gli autori. Di seguito traccia e svolgimento:
$F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2))$
Alla fine dell'esercizio vanno a rifarsi alla seguente trasformata nota:
$1-cos (\omega t) = \omega^2 /(s(s^2 +\omega^2)$
Lo svolgimento da loro effettuato è il seguente:
$F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2)) = 1/ \omega^2 1 /s - 1/ \omega^2 s/(s^2 (s^2+\omega^2)) = 1/ \omega^2(1-cos(\omega t))$
I miei dubbi in merito all'esercizio sono:
- Perchè hanno ...
Sto svolgendo un esercizio di Analisi II che recita:
Sia $ f: \mathbb{R}\rarr\bar\mathbb{R}$ una funzione continua q.o. (quasi ovunque), allora $f$ è misurabile (secondo la sigma-algebra di Lebesgue ottenuta con la costruzione di Caratheodory a partire dai Boreliani, anche se in realtà per semplificare l'abbiamo costruita usando i pluri-intervalli).
La mia idea era che dato un insieme aperto sul codominio ($\bar\mathbb{R}$) la sua controimmagine è aperta per la continuità di $f$, ...
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