Integrale con i residui: $\int_{-\infty}^{\infty} (\sin(x))/((x-1)(x^2+4)) dx$
Buonasera, non riesco a svolgere questo integrale con i residui.
Sono partita complessificando la funzione:
$f(z) =\int_{-\infty}^{\infty} (\sin(z))/((z-1)(z^2+4)) dz$
Ho calcolato le singolarità:
$(z-1)(z^2+4) = 0$ ossia quando $z=1$ oppure quando $z=\pm 2i$
Ho riscritto dunque la funzione come segue:
$f(z) = \frac{\sin(z)}{(z-1)(z-2i)(z+2i)} dz$
Tutti e tre i poli sono dei poli semplici e in particolare $z=1$ è una singolarità sul cammino di integrazione pertanto dobbiamo ricorrere a un cammino indentato ossia a un contorno di integrazione che eviti la singolarità (oppure la inglobi) e dobbiamo fare l'integrale nel senso del valore principale (PV) perché altrimenti l'integrale non converge in senso improprio. In particolare io ho deciso di passare al di sopra della singolarità $z=1$ e la formula dei residui dovrebbe essere:
$PV \int_{-\infty}^{\infty} (\sin(x))/((x-1)(x^2+4)) dx = 2\pi i Res_{z=2i} f(z) + \pi i Res_{z=1}f(z)$
Considero solamente il residuo relativo alla singolarità $z=2i$ perché $z=-2i$ non si trova all'interno del mio contorno di integrazione. Nella formula da me riportata ho dunque $2pi i$ moltiplicato per i residui all'interno del contorno, sommato a $\pi i$ per la singolarità indentata.
Calcolandomi i residui con la formula dei poli semplici trovo che:
$Res[f(z), z=1] = \frac{\sin(1)}{5}$
$Res[f(z), z=2i] = (-\frac{1}{20}-\frac{i}{10}) \sinh(2)$
Alla fine il risultato che trovo è diverso da quello indicato, che dovrebbe essere:
$\frac{\pi}{5}(\cos(1) - \frac{1}{e^2})$
Spero di non aver scritto castronerie, grazie dell'aiuto.
Sono partita complessificando la funzione:
$f(z) =\int_{-\infty}^{\infty} (\sin(z))/((z-1)(z^2+4)) dz$
Ho calcolato le singolarità:
$(z-1)(z^2+4) = 0$ ossia quando $z=1$ oppure quando $z=\pm 2i$
Ho riscritto dunque la funzione come segue:
$f(z) = \frac{\sin(z)}{(z-1)(z-2i)(z+2i)} dz$
Tutti e tre i poli sono dei poli semplici e in particolare $z=1$ è una singolarità sul cammino di integrazione pertanto dobbiamo ricorrere a un cammino indentato ossia a un contorno di integrazione che eviti la singolarità (oppure la inglobi) e dobbiamo fare l'integrale nel senso del valore principale (PV) perché altrimenti l'integrale non converge in senso improprio. In particolare io ho deciso di passare al di sopra della singolarità $z=1$ e la formula dei residui dovrebbe essere:
$PV \int_{-\infty}^{\infty} (\sin(x))/((x-1)(x^2+4)) dx = 2\pi i Res_{z=2i} f(z) + \pi i Res_{z=1}f(z)$
Considero solamente il residuo relativo alla singolarità $z=2i$ perché $z=-2i$ non si trova all'interno del mio contorno di integrazione. Nella formula da me riportata ho dunque $2pi i$ moltiplicato per i residui all'interno del contorno, sommato a $\pi i$ per la singolarità indentata.
Calcolandomi i residui con la formula dei poli semplici trovo che:
$Res[f(z), z=1] = \frac{\sin(1)}{5}$
$Res[f(z), z=2i] = (-\frac{1}{20}-\frac{i}{10}) \sinh(2)$
Alla fine il risultato che trovo è diverso da quello indicato, che dovrebbe essere:
$\frac{\pi}{5}(\cos(1) - \frac{1}{e^2})$
Spero di non aver scritto castronerie, grazie dell'aiuto.
Risposte
Ciao francyiato,
Per l'integrale proposto $I$ si ha $I = \text{Im}I_1 $ ove
$I_1 = PV \int_{-\infty}^{+\infty} (\sin(x))/((x-1)(x^2+4)) \text{d}x $
Per calcolare $I_1 $ considererei la funzione ausiliaria
$f(z) = (e^{i z})/((z - 1)(z^2+4)) $
Quindi considerando il percorso che hai citato si ha:
$I_1 = 2\pi i \text{Res}[f(z); 2 i] + \pi i \text{Res}[f(z); 1] $
$ \text{Res}[f(z); 2 i] = - \frac{1/10 - i/20}{e^2}$
$ \text{Res}[f(z); 1] = e^i/5 = (cos(1) + i sin(1))/5 $
Pertanto si ha:
$I_1 = - 2 \pi i \frac{1/10 - i/20}{e^2} + \pi i (cos(1) + i sin(1))/5 = - \pi/(10 e^2) - \pi/(5 e^2) i + (\pi i)/5 cos(1) - \pi/5 sin(1) $
In definitiva si ha:
$ I = \text{Im}I_1 = \pi/5[cos(1) - 1/e^2] $
Per l'integrale proposto $I$ si ha $I = \text{Im}I_1 $ ove
$I_1 = PV \int_{-\infty}^{+\infty} (\sin(x))/((x-1)(x^2+4)) \text{d}x $
Per calcolare $I_1 $ considererei la funzione ausiliaria
$f(z) = (e^{i z})/((z - 1)(z^2+4)) $
Quindi considerando il percorso che hai citato si ha:
$I_1 = 2\pi i \text{Res}[f(z); 2 i] + \pi i \text{Res}[f(z); 1] $
$ \text{Res}[f(z); 2 i] = - \frac{1/10 - i/20}{e^2}$
$ \text{Res}[f(z); 1] = e^i/5 = (cos(1) + i sin(1))/5 $
Pertanto si ha:
$I_1 = - 2 \pi i \frac{1/10 - i/20}{e^2} + \pi i (cos(1) + i sin(1))/5 = - \pi/(10 e^2) - \pi/(5 e^2) i + (\pi i)/5 cos(1) - \pi/5 sin(1) $
In definitiva si ha:
$ I = \text{Im}I_1 = \pi/5[cos(1) - 1/e^2] $
Mi ritrovo con i conti, ma non sono sicura di aver capito il perché ha preso solo la parte immaginaria dell'integrale. È possibile farlo sempre?
"francyiato":
non sono sicura di aver capito il perché ha preso solo la parte immaginaria dell'integrale.
Beh, perché nell'integrale proposto compare solo $ sin(x) $ e notoriamente si ha:
$e^{i x} = cos(x) + i sin(x) $
Quindi $\text{Im}[e^{i x}] = sin(x) $
"francyiato":
È possibile farlo sempre?
Beh, sì. Se avessimo avuto solo $cos(x) $ avremmo preso solo la parte reale dell'integrale.
"pilloeffe":
Beh, sì. Se avessimo avuto solo $ cos(x) $ avremmo preso solo la parte reale dell'integrale.
Quindi ad esempio in questo integrale:
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(3x)}{(x^2+1)^2} dx = Re \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(3x)}{(x^2+1)^2} dx\right]$$
Abbiamo quindi $f(z) = \frac{\cos(3z)}{(z^2+1)^2} = \frac{e^(3iz)}{(z^2+1)^2} $
e pertanto l'integrale sarà: $=2 \pi i Res_{z=i} \frac{e^{3iz}}{(z+i)^2(z-i)^2} = 2pi i \left[ \lim_{z to i} \frac{d}{dz} \frac{e^{3iz}}{(z+i)^2} \right] = 2pi i \left( \frac{3ie^{-3}}{4} + \frac{2e^{-3}}{4i} \right) = \frac{2\pi}{e^3}$
Tecnicamente però mi dovrebbe venire anche senza prendere solo la parte reale, giusto?
Inizialmente infatti mi sono calcolato il residuo mediante la formula dei poli di ordine $m$ e poi ho fatto il limite. Il residuo che mi trovo per $z=i$ è:
$$Res[f(z), z=i] = -\frac{1}{4}i [\cosh(3) - 3\sinh(3)]$$
Ho provato anche a controllare con Wolfram Alpha e mi sembra essere giusto.
Se provo però a moltiplicarlo per $2pi i$ non trovo il risultato corretto, dove sto sbagliando?
"francyiato":
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(3x)}{(x^2+1)^2} dx = Re [\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(3x)}{(x^2+1)^2} dx] $
Beh, questa è vera solo perché sai già che il risultato è reale, ma non ha senso in generale...
Casomai scriverei
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(3x)}{(x^2+1)^2} \text{d}x = \text{Re}[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i 3x}}{(x^2+1)^2} \text{d}x] $
In questo caso particolare infatti $ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(3x)}{(x^2+1)^2} \text{d}x = 0 $ (funzione dispari su intervallo simmetrico), quindi si ha:
$\text{Im}[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i 3x}}{(x^2+1)^2} \text{d}x] = 0 $
"francyiato":
Abbiamo quindi $f(z)=cos(3z)/(z^2+1)^2=e^{3 i z}/(z^2+1)^2 $
Questa invece è proprio falsa.
"pilloeffe":
Beh, questa è vera solo perché sai già che il risultato è reale, ma non ha senso in generale...
Quando decido di prendere solo la parte reale dell'integrale, non lo faccio proprio perché so che la parte immaginaria è $=0$? Però forse quello che mi sta dicendo è che non ha molto senso che io prenda la parte reale di un qualcosa che è già reale. Infatti nell'esempio che mi ha portato la prima volta
"pilloeffe":lei è andato a "selezionare" solo la parte immaginaria di $e^{ix} $ che era appunto il $\sin(x)$. Quindi in questo caso avrei dovuto fare la stessa cosa, ed è proprio quello che mi ha indicato qui:
$ e^{i x} = cos(x) + i sin(x) $ quindi $ \text{Im}[e^{i x}] = sin(x)$
"pilloeffe":
Casomai scriverei
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(3x)}{(x^2+1)^2} \text{d}x = \text{Re}[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i 3x}}{(x^2+1)^2} \text{d}x] $
Mi conferma?
"pilloeffe":
In questo caso particolare infatti $ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(3x)}{(x^2+1)^2} \text{d}x = 0 $ (funzione dispari su intervallo simmetrico), quindi si ha:
$\text{Im}[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i 3x}}{(x^2+1)^2} \text{d}x] = 0 $
In generale sappiamo che un integrale di una funzione dispari su intervallo simmetrico dà risultato $0$, e se non fosse stato simmetrico? Non avremmo potuto fare la sostituzione di prima?
"francyiato":
Abbiamo quindi $f(z)=cos(3z)/(z^2+1)^2=e^{3 i z}/(z^2+1)^2 $
Questa invece è proprio falsa.
Grazie mille di avermelo fatto notare.
Mi scuso per le domande banali, ma sto preparando l'esame da sola. L'unico modo ho trovato per controllare la correttezza dei miei risultati è risolverli con Wolfram Alpha, ma rimane comunque limitativo perché ad esempio nel caso di prima a me il residuo sembra tornare, ma il risultato no.
La ringrazio moltissimo per l'aiuto.
"francyiato":
Quando decido di prendere solo la parte reale dell'integrale, non lo faccio proprio perché so che la parte immaginaria è $=0$?
No, seleziono la parte che mi interessa a seconda dell'integrale proposto: se l'integrale di cui al titolo del post fosse stato
$ \int_{-\infty}^{\infty} (\cos(x))/((x-1)(x^2+4)) \text{d}x $
avrei scelto la parte reale, ma non per questo quella immaginaria è nulla (come abbiamo visto).
"francyiato":
Però forse quello che mi sta dicendo è che non ha molto senso che io prenda la parte reale di un qualcosa che è già reale.
Brava, proprio così: non è che sia sbagliato, ma non ha molto senso.
"francyiato":
Mi conferma?
Sì.
"francyiato":
Mi scuso per le domande banali, ma sto preparando l'esame da sola.
E questo già di per sè è ammirevole.
"francyiato":
L'unico modo ho trovato per controllare la correttezza dei miei risultati è risolverli con Wolfram Alpha, ma rimane comunque limitativo perché ad esempio nel caso di prima a me il residuo sembra tornare, ma il risultato no.
Pur essendo senz'altro un valido strumento (lo uso spesso anch'io), non ti fidare acriticamente dei risultati che ti fornisce, perché lavora nei complessi e ha qualche pecca, soprattutto nei limiti di funzioni di più variabili.
"francyiato":
La ringrazio moltissimo per l'aiuto.
Prego. Però non mi dare del lei, che sul forum non si usa e mi fai anche sentire più vecchio di quanto già non sia...
"pilloeffe":
se l'integrale di cui al titolo del post fosse stato
$ \int_{-\infty}^{\infty} (\cos(x))/((x-1)(x^2+4)) \text{d}x $
avrei scelto la parte reale, ma non per questo quella immaginaria è nulla (come abbiamo visto).
Capito, grazie mille!
"pilloeffe":
Prego. Però non mi dare del lei, che sul forum non si usa e mi fai anche sentire più vecchio di quanto già non sia...
Va bene darò del tu
Grazie ancora
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