Singolarità e residui di una funzione f(z)

[Camillo]

Propongo questo interessante esercizio d'esame -Metodi matematici -prof. Bramanti ( Polimi )
Chi vuole cimentarsi ...

Ecco il testo :

* Classificare le singolarità della seguente funzione e calcolare il residuo in ogni punto di singolarità non essenziale :
$ f(z) = ( cos(pi/2 *z)*cos ( pi/z))/( (e^(z^2-1)-1)*(z+3)^2) $

[gugo82]

Visto che nessuno si fa avanti, ci provo in memoria dei vecchi tempi.

1. Classificazione delle singolarità.

La funzione assegnata è definita in $\Omega := CC - \{ 0 , +-1, -3\}$, aperto di $CC$, ed ivi olomorfa; le singolarità si trovano nei punti di $partial \Omega uu \{ oo \}$ sui quali essa non può essere prolungata con continuità.

Visto che $f(z) = ( cos(pi/2 z))/( (e^(z^2-1)-1) (z+3)^2) * cos ( pi/z) $, il punto $z_0 = 0$ è un punto di singolarità essenziale per il fattore $cos ( pi/z)$ e per $f(z)$.
Analogamente, dato che $ f(z) = (cos ( pi/z))/( (e^(z^2-1)-1) (z+3)^2) * cos(pi/2 z) $, il punto $z_oo = oo$ è di singolarità essenziale per il fattore $cos(pi/2 z)$ ed anche per $f(z)$.

I calcoli nei rimanenti tre punti al finito possono essere svolti sfruttando cambiamenti di variabile e approssimazioni notevoli.
Cominciamo da $z_3 = -3$: poiché risulta:

$f(z) = ( cos(pi/2 z))/(z+3)^2 * (cos ( pi/z))/(e^(z^2-1)-1) $

col secondo fattore regolare in $z_3$, basta analizzare il comportamento della prima frazione; facendo $w = z+3$, di modo che $w -> 0$ quando $z -> -3$, troviamo:

$\ ( cos(pi/2 z))/(z+3)^2 \|_{w=z+3} = ( cos(pi/2 w - (3pi)/2))/w^2 = (-sin(pi/2 w))/w^2 ~~ (-pi/2 w)/w^2 = - pi/(2w)$

sicché $f(z) -> oo$ per $z -> -3$ e $z_3 = -3$ è un polo d'ordine $1$.
In maniera simile possiamo ragionare in $z_{1,2} = +- 1$: abbiamo:

$f(z) = ( cos(pi/2 z))/(e^(z^2-1)-1) * (cos ( pi/z))/(z+3)^2 $

col secondo fattore regolare in $z_{1,2}$; sostituendo \(w = z \mp 1\), di modo che $w -> 0$ per $z -> +-1$, otteniamo:

\[
\left. \frac{\cos(\frac{\pi}{2}\ z)}{e^{z^2-1} - 1} \right|_{w = z \mp 1} = \frac{ \cos(\frac{\pi}{2}\ w \pm \frac{\pi}{2})}{e^{w(w \pm 2)} - 1} = \mp \frac{\sin(\frac{\pi}{2}\ w)}{e^{w(w \pm 2)} - 1} \approx \mp \frac{\frac{\pi}{2}\ w}{w(w \pm 2)} = \mp \frac{\pi}{2(w \pm 2)}
\]

cosicché anche il secondo fattore di $f(z)$ è regolare in $z_{1,2}$ e perciò $f(z)$ si prolunga con continuità su tali punti, i quali sono singolarità eliminabili.

2. Calcolo dei residui.

L'unico punto singolare non essenziale al finito in cui bisogna calcolare il residuo è $z_3 = -3$.
Visto che la singolarità è polare di ordine $1$, il residuo coincide col valore finito di un limite, cioè:

$"Res"(f;z_3) = lim_(z -> -3) (z+3) f(z) = lim_(z -> -3) (cos(pi/2 z))/(z+3) * (cos ( pi/z))/(e^(z^2-1)-1) = - pi/(4(e^8 - 1))$.

Perdona se sono un po' arrugginito, ma sono passati anni da che ho fatto l'ultima volta conticini simili.

[Camillo]

Gugo, vedo che non hai perso la mano su questi "conticini " !