Un passaggio al limite
Ciao,
ho da rispondere al seguente quesito:
"Data $f_n(x) = \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4)$ dire se
$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_n(x) dx = \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$"
Come ho pensato di risponedere.
Valuto dapprima la convergenza puntuale della successione di funzioni: risulta
$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4) = 0, \forall x \in (0, \infty)$
Pensando di applicare il Teorema della convergenza dominata, trovo una maggiorante sommabile in x $\in (1, \infty)$. Ragiono così:
$|\frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4)| < |\frac(n^{3/2}x)\(x^4n^4)| <\frac(1)\(x^3n^{5/2}) < \frac(1)\(x^3) \in L^1(1, \infty)$
Non riesco a ricavare una maggiorante sommabile nell'intervallo $(0, 1)$. Qualche suggerimento? Se tale maggiorante esistesse, allora sarebbe valido il passaggio al limite sotto segno di integrale e il risultato sarebbe:
$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_n(x) dx = \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$
ho da rispondere al seguente quesito:
"Data $f_n(x) = \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4)$ dire se
$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_n(x) dx = \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$"
Come ho pensato di risponedere.
Valuto dapprima la convergenza puntuale della successione di funzioni: risulta
$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4) = 0, \forall x \in (0, \infty)$
Pensando di applicare il Teorema della convergenza dominata, trovo una maggiorante sommabile in x $\in (1, \infty)$. Ragiono così:
$|\frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4)| < |\frac(n^{3/2}x)\(x^4n^4)| <\frac(1)\(x^3n^{5/2}) < \frac(1)\(x^3) \in L^1(1, \infty)$
Non riesco a ricavare una maggiorante sommabile nell'intervallo $(0, 1)$. Qualche suggerimento? Se tale maggiorante esistesse, allora sarebbe valido il passaggio al limite sotto segno di integrale e il risultato sarebbe:
$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_n(x) dx = \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$
Risposte
Ciao AAnto,
Se non ho fatto male i conti mi risulta
$ f_n(x) = \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4) \le 1/3 x $
per $0 \le x \le 1 $
Se non ho fatto male i conti mi risulta
$ f_n(x) = \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4) \le 1/3 x $
per $0 \le x \le 1 $
Grazie pilloeffe,
ho visto solo ora.
Riusciresti a darmi un incipit dei calcoli svolti?
ho visto solo ora.
Riusciresti a darmi un incipit dei calcoli svolti?
"AAnto":
Grazie pilloeffe
Prego!
"AAnto":
Riusciresti a darmi un incipit dei calcoli svolti?
Certamente. Non escludo che si possa fare in altri modi, ma io ho fatto così come segue.
La funzione $ f_n(x) = \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4) $ è una funzione dispari che è sempre positiva per $ x > 0 $ o al più nulla (per $x = 0 $). Inoltre si ha $ \lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 0 $, pertanto la funzione deve necessariamente avere un massimo per $x > 0 $. Dallo studio del segno della derivata prima si trova che tale massimo si ha per $x_M = 1/n $ e dunque esso si trova proprio nell'intervallo $(0,1] $, perché $n $ parte da $1$ e poi all'aumentare di $n$ il termine $1/n$ si avvicina sempre di più a $0$. Per $0 < x \le 1 \iff x^2 \le 1 $ si può scrivere la stima seguente:
$f_n(x) = \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4) \le \frac(n^{3/2}x)\(3 + n^4) \le \frac(n^{3/2}x)\(3n^{3/2}) = 1/3 x $
Ti ringrazio.
Perché l'intervallo (0,1)? L'integrale è su (0, \infty). Invece di invocare teoremi astratti, conviene fare il cambio di variabile \(x=y/n.\)
Ciao dissonance,
Perché era l'unico intervallo rimasto: AAnto aveva già trovato una maggiorante sommabile per $x \in (1, +\infty) $, restava da trattare solo l'intervallo $(0, 1)$, infatti
"dissonance":
Perché l'intervallo (0,1)?
Perché era l'unico intervallo rimasto: AAnto aveva già trovato una maggiorante sommabile per $x \in (1, +\infty) $, restava da trattare solo l'intervallo $(0, 1)$, infatti
"AAnto":
Non riesco a ricavare una maggiorante sommabile nell'intervallo $(0,1)$.
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