Normalizzazione funzione 2 variabili al primo ordine
Buongiorno,
volevo chiedere se qualcuno sapesse indicarmi della letteratura riguardante la normalizzazione delle funzioni.
Riporto in particolare la formula della normalizzazione all'ordine 1 di una funzione f.
$f_n = \frac{f}{sqrt(f^2+norm(grad(f))^2)}$
Grazie mille
Saluti
[xdom="j18eos"]Sposto.[/xdom]
volevo chiedere se qualcuno sapesse indicarmi della letteratura riguardante la normalizzazione delle funzioni.
Riporto in particolare la formula della normalizzazione all'ordine 1 di una funzione f.
$f_n = \frac{f}{sqrt(f^2+norm(grad(f))^2)}$
Grazie mille
Saluti
[xdom="j18eos"]Sposto.[/xdom]
Risposte
Quella formula da sé è solo una formula e non significa niente. Bisogna vedere in che contesto la hai trovata. Cerca di dare contesto e di formulare una domanda precisa, alla quale si possa rispondere.
Buonasera Dissonance,
cerco di fare maggiore chiarezza se possibile.
Il contesto in cui l'ho trovata è nella soluzione di problemi di frontiera attraverso la costruzione di funzioni che automaticamente soddisfino le condizioni essenziali ( nello specifico gli spostamenti ).
In questo contesto, la funzione f viene normalizzata con la formula che ho riportato in modo tale da assumere valore unitario sul dominio ed avere anche la derivata normale alla frontiera unitaria (tutte le altre derivate in frontiera sono nulle essendo una normalizzazione al primo ordine).
Il problema è che questa tecnica è proposta come risoluzioni di alcuni problemi senza alcun contesto di derivazione. Mi ricorda la formula della normale ad una superficie in forma vettoriale e probabilmente si ricollega in qualche modo a quello. Mi è chiaro cosa fa la formula ma vorrei approfondire l'argomento per comprendere come utilizzare queste normalizzazioni. Purtroppo non trovo materiale a riguardo.
cerco di fare maggiore chiarezza se possibile.
Il contesto in cui l'ho trovata è nella soluzione di problemi di frontiera attraverso la costruzione di funzioni che automaticamente soddisfino le condizioni essenziali ( nello specifico gli spostamenti ).
In questo contesto, la funzione f viene normalizzata con la formula che ho riportato in modo tale da assumere valore unitario sul dominio ed avere anche la derivata normale alla frontiera unitaria (tutte le altre derivate in frontiera sono nulle essendo una normalizzazione al primo ordine).
Il problema è che questa tecnica è proposta come risoluzioni di alcuni problemi senza alcun contesto di derivazione. Mi ricorda la formula della normale ad una superficie in forma vettoriale e probabilmente si ricollega in qualche modo a quello. Mi è chiaro cosa fa la formula ma vorrei approfondire l'argomento per comprendere come utilizzare queste normalizzazioni. Purtroppo non trovo materiale a riguardo.
Secondo me non c'è niente di profondo. Avrebbero potuto normalizzare così:
\[
\frac{f}{\lvert f \rvert + \lvert \nabla f\rvert}, \]
e avrebbero ottenuto lo stesso \(\lvert f\rvert\le 1\), ma così ci sono dei valori assoluti. Il valore assoluto non è una funzione liscia.
Insomma io credo che questi siano più che altro mezzi tecnici, con cui fare pratica, piuttosto che matematica profonda da studiare dal punto di vista teorico.
\[
\frac{f}{\lvert f \rvert + \lvert \nabla f\rvert}, \]
e avrebbero ottenuto lo stesso \(\lvert f\rvert\le 1\), ma così ci sono dei valori assoluti. Il valore assoluto non è una funzione liscia.
Insomma io credo che questi siano più che altro mezzi tecnici, con cui fare pratica, piuttosto che matematica profonda da studiare dal punto di vista teorico.
grazie mille per la risposta.
Ha senso in effetti anche quello che proponi.
Mi chiedevo come si potessero costruire queste normalizzazioni.
In particolare se volessi una normalizzazione all'ennesimmo ordine oppurre una funzione normalizzata che sia differenziabile fino al primo o secondo ordine.
Ha senso in effetti anche quello che proponi.
Mi chiedevo come si potessero costruire queste normalizzazioni.
In particolare se volessi una normalizzazione all'ennesimmo ordine oppurre una funzione normalizzata che sia differenziabile fino al primo o secondo ordine.
Non so di cosa stai parlando, putroppo. Se scrivessi, in formule, le condizioni che queste normalizzazioni devono rispettare possiamo provare a ragionarci su. Cosí a parole non so proprio che dire.
Allora provo a fare un esempio concreto. Supponiamo di avere una funzione di questo tipo che si annulla in z = 0 su un dominio quadrato. La funzione cosi costruita è di tipo $C^1$ tranne nei vertici in z = 0;
Qua l'immagine della funzione: https://ibb.co/6mMKMhF
Oppure l'equazione: $f = 5 - X^2/10 - Y^2/10 - ((X^2/10 - 5/2)^2 + (Y^2/10 - 5/2)^2)^(1/2)$
Ora applicando la normalizzazione al primo ordine indicata nel primo messaggio, si ha:
Immagine: https://ibb.co/rbV505x
Equazione: $f_{norm} = f/(sqrt(f^2+(\frac{\partial f }{\partial X })^2+(\frac{\partial f }{\partial Y })^2)$
La funzione normalizata cosi al primo ordine non è più $C^1$ all'interno del dominio (non lo era nei vertici la funzione di partenza). Come posso realizzare una normalizzazione ad ordine superiore in modo da preservare o anche migliorare la continuità della funzione?
Mi scuso se fosse poco chiaro.
Grazie mille
Qua l'immagine della funzione: https://ibb.co/6mMKMhF
Oppure l'equazione: $f = 5 - X^2/10 - Y^2/10 - ((X^2/10 - 5/2)^2 + (Y^2/10 - 5/2)^2)^(1/2)$
Ora applicando la normalizzazione al primo ordine indicata nel primo messaggio, si ha:
Immagine: https://ibb.co/rbV505x
Equazione: $f_{norm} = f/(sqrt(f^2+(\frac{\partial f }{\partial X })^2+(\frac{\partial f }{\partial Y })^2)$
La funzione normalizata cosi al primo ordine non è più $C^1$ all'interno del dominio (non lo era nei vertici la funzione di partenza). Come posso realizzare una normalizzazione ad ordine superiore in modo da preservare o anche migliorare la continuità della funzione?
Mi scuso se fosse poco chiaro.
Grazie mille
Ma quali sono le condizioni che \(f_{\mathrm{norm}}\) deve rispettare?
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