Convergenza debole di funzioni in L^p
Sia $(X,mu)$ uno spazio di misura $sigma$ finito e sia ${f_n} sube L(mu)^p$ con $1f_0$ puntualmente $mu$ quasi ovunque.
Dimostrare che $f_n->f_0$ debolmente in $L(mu)^p$
la tesi da dimostrare sarebbe che $ -> $ o equivalentemente $ ->0$
su suggerimento del docente ho dimostrato i seguenti punti che dovrebbero portarmi immediatamente alla tesi:
i) ogni successione fortemente limitata $f_n$ in $L^p$ ammette una sottosuccessione $f_(nk)$ che converge debolmente a una certa $f_0$ in $L^p$
ii) se $f_n$ converge debolmente a $f_0$ in $L^p$ esiste $f_(nj)$ t.c $1/k\sum_{j=1}^k f_(nj)$ converge fortemente a $f_0$ in $L^p$
iii) se $f_n ->f_0$ fortemente in $L^p$ $1<=p<=infty$ allora esiste $f_(nj)$ t.c $f_(nj)->f_0$ puntualmente $mu$ q.o.
iv) $alpha_n sube K$ converge ad $alpha$ se e solo se per ogni $alpha_(nj)$ esiste $alpha_(njl)$ che converge ad $alpha$, dove $K=RR$ oppure $K=CC$
v) se $alpha_k sube K$ converge ad $alpha$, allora $1/n\sum_{k=1}^n alpha_k$ converge ad $alpha$
ma non riesco a concludere nulla:
posto qui il mio tentativo:
$f_n->f_0$ debolmente se e solo $ -> $: pongo $alpha_n = $ e $alpha=$ e per il punto iv) $alpha_n sube K$ converge ad $alpha$ se e solo se per ogni $$ esiste $$ t.c $ -> $ sse $ ->0$.
Ma ora con le ipotesi date non riesco a concludere.
Qualcuno potrebbe aiutarmi e indirizzarmi sulla strada corretta?
grazie
Dimostrare che $f_n->f_0$ debolmente in $L(mu)^p$
la tesi da dimostrare sarebbe che $
su suggerimento del docente ho dimostrato i seguenti punti che dovrebbero portarmi immediatamente alla tesi:
i) ogni successione fortemente limitata $f_n$ in $L^p$ ammette una sottosuccessione $f_(nk)$ che converge debolmente a una certa $f_0$ in $L^p$
ii) se $f_n$ converge debolmente a $f_0$ in $L^p$ esiste $f_(nj)$ t.c $1/k\sum_{j=1}^k f_(nj)$ converge fortemente a $f_0$ in $L^p$
iii) se $f_n ->f_0$ fortemente in $L^p$ $1<=p<=infty$ allora esiste $f_(nj)$ t.c $f_(nj)->f_0$ puntualmente $mu$ q.o.
iv) $alpha_n sube K$ converge ad $alpha$ se e solo se per ogni $alpha_(nj)$ esiste $alpha_(njl)$ che converge ad $alpha$, dove $K=RR$ oppure $K=CC$
v) se $alpha_k sube K$ converge ad $alpha$, allora $1/n\sum_{k=1}^n alpha_k$ converge ad $alpha$
ma non riesco a concludere nulla:
posto qui il mio tentativo:
$f_n->f_0$ debolmente se e solo $
Ma ora con le ipotesi date non riesco a concludere.
Qualcuno potrebbe aiutarmi e indirizzarmi sulla strada corretta?
grazie
Risposte
Nessuno riesce a darmi qualche suggerimento?
Grazie
Grazie
Sostanzialmente i punti 1), 2) e 3) sono una scaletta: seguili in ordine e dovresti riuscire a concludere la dimostrazione, sennò sii più specifico nel dire dove ti blocchi.
"otta96":
Sostanzialmente i punti 1), 2) e 3) sono una scaletta: seguili in ordine e dovresti riuscire a concludere la dimostrazione, sennò sii più specifico nel dire dove ti blocchi.
Il mio tentativo di dove mi blocco l'ho scritto nel post sopra però provo a riscrivere anche qui con maggiori dettagli e nel caso specifico:
Dal pinto i) trovo una sottosuccessione $f_(nj)->f_0$ debolmente.
Il punto ii) mi permette di dire che esiste ${f_(njl) sube {f_(nj)}$ tale che $1/k\sum_{l=1}^k f_(njl)$ converge fortemente a $f_0$
Il punto iii) mi dice che se $1/k\sum_{l=1}^k f_(njl)$ converge fortemente allora esiste una $g_(nj)$ sottosuccessione di $1/k\sum_{l=1}^k f_(njl)$ tale che $g_(nj)->f_0$ puntualmente $mu$ quasi ovunque.
Il punto iv) mi dice che $
Il punto v) mi dice che se $
Io ho capito questo applicando i suggerimenti alla mia successione $f_n$ (si non è stata un grande idea usare $f_n$ anche per i suggerimenti)
Ma ora non riesco a concludere perché $f_n->f_0$ debolmente.
Questa è la mia difficoltà.
Grazie
Allora, tu parti prendendo una sottosuccessione e vuoi trovare una sottosottosuccessioneche converge debolmente a $f_0$, la sottosuccessione è limitata, quindi da 1) ricavi una sottosuccessione che converge ad una QUALCHE funzione $g$, da 2) hai una sottosuccessione le cui ridotte convergono fortemente a $g$, a questo punto dovresti avere per 3) una sottosuccessione le cui ridotte convergono puntualmente a $g$ q.o., ma anche a $f_0$ per ipotesi iniziali, quindi $f_0=g$ e hai la tesi.
Il problema in realtà è che il punto 3) si applica male perchè bisognerebbe fare una sottosuccessione delle ridotte
Il problema in realtà è che il punto 3) si applica male perchè bisognerebbe fare una sottosuccessione delle ridotte
dal tuo suggerimento ho provato a scrivere la soluzione che riporto qui anche se ho dei dubbi.
considero la sottosuccessione ${f_(nk)}$ di ${f_n}$: allora ${f_(nk)}$ è limitata perchè lo è $f_n$ e per il punto i) posso estrarre una sottosuccessione di ${f_(nk)}$ , ovvero ${f_(nks)}$ tale che $f_(nks)->g$ debolmente.
per ii) ho che esiste $f_(nkst)$ sottosuccessione di ${f_(nks)}$ tale che $1/n\sum_{t=1}^n f_(nkst) ->g$ fortemente.
per il punto iii) esiste una sottosuccessione(che chiamo $z_n$) di $1/n\sum_{t=1}^n f_(nkst)$ che converge puntualmente a $g$ $mu$ q.o.
per ipotesi però poichè $f_n ->f_0$ puntualmente, allora per il punto v) $z_n -> f_0$ puntualmente e quindi necessariamente $f_0=g$ perchè abbiamo una sottosuccessione che converge fortemente a $g$ e puntualmente a $f_0$.
dunque essendo partiti da $f_n$, abbiamo dimostrato che da qualsiasi sottosuccessione esiste una sottosottosuccessione che converge a $f_0$ e per il punto iv) allora anche $f_n$ lo farà.
Ora tuttavia non mi è però chiaro perchè cosi facendo abbiamo dimostrato che $f_n -> f_0$ debolmente.
Quale proprietà abbiamo utilizzato?
grazie
considero la sottosuccessione ${f_(nk)}$ di ${f_n}$: allora ${f_(nk)}$ è limitata perchè lo è $f_n$ e per il punto i) posso estrarre una sottosuccessione di ${f_(nk)}$ , ovvero ${f_(nks)}$ tale che $f_(nks)->g$ debolmente.
per ii) ho che esiste $f_(nkst)$ sottosuccessione di ${f_(nks)}$ tale che $1/n\sum_{t=1}^n f_(nkst) ->g$ fortemente.
per il punto iii) esiste una sottosuccessione(che chiamo $z_n$) di $1/n\sum_{t=1}^n f_(nkst)$ che converge puntualmente a $g$ $mu$ q.o.
per ipotesi però poichè $f_n ->f_0$ puntualmente, allora per il punto v) $z_n -> f_0$ puntualmente e quindi necessariamente $f_0=g$ perchè abbiamo una sottosuccessione che converge fortemente a $g$ e puntualmente a $f_0$.
dunque essendo partiti da $f_n$, abbiamo dimostrato che da qualsiasi sottosuccessione esiste una sottosottosuccessione che converge a $f_0$ e per il punto iv) allora anche $f_n$ lo farà.
Ora tuttavia non mi è però chiaro perchè cosi facendo abbiamo dimostrato che $f_n -> f_0$ debolmente.
Quale proprietà abbiamo utilizzato?
grazie
Perfetto, hai risolto il problema che non mi riusciva, comunque a noi interessa non che converge fortemente a $g$, ma puntualmente q.o., così dato che converge puntualmente anche a $f_0$, si conclude che $f_0=g$.
Quello che abbiamo dimostrato è che la successione converge anche debolmente (punto 1), gli altri punti (2 e 3 e 5) servivano per dire che la funzione a cui converge ($g$) è proprio $f_0$.
Abbiamo applicato il punto 4) con $K=L^p(\mu)$ con la topologia debole; so che li dice solo $RR$ o $CC$, ma vale per qualsiasi spazio topologico. Hai 2 possibilità o lo dimostri per un generico spazio topologico oppure ti riconduci al campo degli scalari ripercorrendo tutta la dimostrazione considerando $\langle f_n,x\rangle$ invece di $f_n$. A me piacerebbe di più generalizzare il risultato ma fai te
Quello che abbiamo dimostrato è che la successione converge anche debolmente (punto 1), gli altri punti (2 e 3 e 5) servivano per dire che la funzione a cui converge ($g$) è proprio $f_0$.
Abbiamo applicato il punto 4) con $K=L^p(\mu)$ con la topologia debole; so che li dice solo $RR$ o $CC$, ma vale per qualsiasi spazio topologico. Hai 2 possibilità o lo dimostri per un generico spazio topologico oppure ti riconduci al campo degli scalari ripercorrendo tutta la dimostrazione considerando $\langle f_n,x\rangle$ invece di $f_n$. A me piacerebbe di più generalizzare il risultato ma fai te
Grazie mille.
Sostanzialmente il trucco di questo procedimento è mostrare che da ogni sottosuccessione di $fn$ esiste una sottosottosuccessione che converge debolmente a $f0$ e posso applicare anche al caso di un generico spazio topologico come $L^p$
Ho capito bene?
Sostanzialmente il trucco di questo procedimento è mostrare che da ogni sottosuccessione di $fn$ esiste una sottosottosuccessione che converge debolmente a $f0$ e posso applicare anche al caso di un generico spazio topologico come $L^p$
Ho capito bene?
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