Ancora un'equazione differenziale lineare del secondo ordine
Un problema all'apparenza banale che mi ha messo in crisi (di brutto) 
Problema - Parte I (SISSA). Siano $a,b : \RR \to \RR$ continue. Si consideri
\[
y''+a(t)y'+b(t)y=0.
\]
Domanda: è possibile che, per qualche scelta dei coefficienti $a(\cdot)$ e $b(\cdot)$, l’equazione in questione abbia $y_1(t) = t$ e $y_2(t) = \sin(2t)$ entrambe come soluzioni globali?
Mi (e vi) chiedo: che cosa "vuole" il problema? Quale nozione teorica c'è sotto? Esistenza e unicità? (Visto che il problema è lineare sono entrambe garantite in grande). O devo guardare la dipendenza lineare delle due funzioni (passando dal wronskiano)?
Di getto, la prima cosa che farei è questa. Pensando all'equazione come sistema del primo ordine, mi chiedo: ci sono degli istanti in cui $y_1(t)=y_2(t)$ e contemporaneamente $\dot{y}_1(t)=\dot{y}_2(t)$? Se sì, allora - per esistenza e unicità - le due funzioni dovrebbero coincidere, il che è assurdo e quindi non possono essere soluzioni. E' corretto come ragionamento? Vedete delle strade migliori?
Più tardi la seconda parte del problema. Intanto, grazie per l'aiuto.
Problema - Parte I (SISSA). Siano $a,b : \RR \to \RR$ continue. Si consideri
\[
y''+a(t)y'+b(t)y=0.
\]
Domanda: è possibile che, per qualche scelta dei coefficienti $a(\cdot)$ e $b(\cdot)$, l’equazione in questione abbia $y_1(t) = t$ e $y_2(t) = \sin(2t)$ entrambe come soluzioni globali?
Mi (e vi) chiedo: che cosa "vuole" il problema? Quale nozione teorica c'è sotto? Esistenza e unicità? (Visto che il problema è lineare sono entrambe garantite in grande). O devo guardare la dipendenza lineare delle due funzioni (passando dal wronskiano)?
Di getto, la prima cosa che farei è questa. Pensando all'equazione come sistema del primo ordine, mi chiedo: ci sono degli istanti in cui $y_1(t)=y_2(t)$ e contemporaneamente $\dot{y}_1(t)=\dot{y}_2(t)$? Se sì, allora - per esistenza e unicità - le due funzioni dovrebbero coincidere, il che è assurdo e quindi non possono essere soluzioni. E' corretto come ragionamento? Vedete delle strade migliori?
Più tardi la seconda parte del problema. Intanto, grazie per l'aiuto.
Risposte
Ciao. Rischio di dire un'amenità ma ci provo lo stesso: se uno sostituisce separatamente le due soluzioni $y_(1,2)(t)$ nell'equazione, ottiene un sistema da cui si possono ricavare $a(t)$ e $b(t)$; il problema a questo punto è che le due funzioni che mi risultano non sono continue in $RR$.
L'ho detta ?
L'ho detta ?
Ciao e grazie per la risposta.
Ci avevo provato anche io, ma non sono stato in grado di risolvere il sistema. Trovo
\[
\begin{cases}
a(t)+b(t)t=0\\
-4\sin{(2t)}+2a(t)\cos{(2t)}+b(t)\sin{(2t)}=0
\end{cases}
\]
da cui
\[
\begin{cases}
a(t)=-b(t)t\\
[b(t)-4]\sin{(2t)}-2b(t)t\cos{(2t)}=0
\end{cases}
\]
Ma adesso? Come pensavi di concludere?
Grazie mille per l'aiuto.
Ci avevo provato anche io, ma non sono stato in grado di risolvere il sistema. Trovo
\[
\begin{cases}
a(t)+b(t)t=0\\
-4\sin{(2t)}+2a(t)\cos{(2t)}+b(t)\sin{(2t)}=0
\end{cases}
\]
da cui
\[
\begin{cases}
a(t)=-b(t)t\\
[b(t)-4]\sin{(2t)}-2b(t)t\cos{(2t)}=0
\end{cases}
\]
Ma adesso? Come pensavi di concludere?
Grazie mille per l'aiuto.
Hint: ricordarsi la definizione e la caratterizzazione di soluzioni indipendenti.
Rigel, grazie mille per il tuo intervento.
Dunque, due soluzioni sono l.i. se $c_1y_1(t)+c_2y_2(t)=0,\quad \forall t \in \RR \Rightarrow c_1=c_2=0$. In realtà, per equazioni lineari, per controllare la lineare indipendenza basta controllarla in un punto $t_0$, sfruttando un noto risultato legato al determinante wronskiano (Liouville).
Nel caso in esame, un conto mostra che il wronskiano di $y_1$ e $y_2$ è $W=2t\cos t-\sin2t$. Siccome esiste $t_0=0$ tale che $W(t_0)=0$ concludo che il wronskiano è necessariamente sempre nullo e quindi le due soluzioni non sono l.i. Ne segue che non possono essere entrambe soluzioni. (?)
Domanda (teorica): perché tiriamo in ballo l'indipendenza delle soluzioni? Voglio dire, perché di fronte alla domanda: "Possono essere soluzioni" ci facciamo venire in mente la lineare indipendenza? Non ho capito
Grazie.
Dunque, due soluzioni sono l.i. se $c_1y_1(t)+c_2y_2(t)=0,\quad \forall t \in \RR \Rightarrow c_1=c_2=0$. In realtà, per equazioni lineari, per controllare la lineare indipendenza basta controllarla in un punto $t_0$, sfruttando un noto risultato legato al determinante wronskiano (Liouville).
Nel caso in esame, un conto mostra che il wronskiano di $y_1$ e $y_2$ è $W=2t\cos t-\sin2t$. Siccome esiste $t_0=0$ tale che $W(t_0)=0$ concludo che il wronskiano è necessariamente sempre nullo e quindi le due soluzioni non sono l.i. Ne segue che non possono essere entrambe soluzioni. (?)
Domanda (teorica): perché tiriamo in ballo l'indipendenza delle soluzioni? Voglio dire, perché di fronte alla domanda: "Possono essere soluzioni" ci facciamo venire in mente la lineare indipendenza? Non ho capito
Grazie.
Le soluzioni di un'equazione lineare omogenea del secondo ordine non possono essere funzioni qualsiasi.
La più nota (e forse più utile) proprietà è proprio quella che ti dice che il wronskiano è identicamente nullo oppure non si annulla mai.
Nel tuo caso \(W(0) = 0\), ma chiaramente non è identicamente nullo, dunque le due funzioni non possono essere entrambe soluzioni.
La più nota (e forse più utile) proprietà è proprio quella che ti dice che il wronskiano è identicamente nullo oppure non si annulla mai.
Nel tuo caso \(W(0) = 0\), ma chiaramente non è identicamente nullo, dunque le due funzioni non possono essere entrambe soluzioni.
Sì, ho capito. Grazie, Rigel, per le spiegazioni sempre limpide e chiare.
Esercizio abbastanza singolare, comunque. Al primo punto, segue la stessa domanda per le funzioni
\[
w_1(t) = \sin{t}, \qquad w_2(t) = \sin{(7t)} \Rightarrow W(w_1, w_2) = 7\sin{t}\cos{(7t)} - \sin{(7t)}\cos{t}
\]
e dunque anche la conclusione è la medesima.
Stessa domanda ancora per
\[
u_1(t) = \sin{(2t+3)}, \qquad u_2(t) = \cos{(2t-4)} \Rightarrow W(u_1, u_2) = -2\cos{7}
\]
e qui concludo che sono linearmente indipendenti e possono quindi essere soluzioni.
Ora l'ultima domanda dell'esercizio.
Da un lato, visto che c'è esistenza globale, mi basterebbe provare che $\lim_{t \to +\infty} y(t)$ è finito. Però così non trovo informazioni sulla costante. Ho provato ad attaccare direttamente il problema (con i soliti trucchetti: monotonia, convessità) ma con esito insoddisfacente. Che ci sia sotto qualche altra proprietà del wronskiano che ignoro (in effetti, non ho tutta questa dimestichezza...)?
Grazie per tutto.
Esercizio abbastanza singolare, comunque. Al primo punto, segue la stessa domanda per le funzioni
\[
w_1(t) = \sin{t}, \qquad w_2(t) = \sin{(7t)} \Rightarrow W(w_1, w_2) = 7\sin{t}\cos{(7t)} - \sin{(7t)}\cos{t}
\]
e dunque anche la conclusione è la medesima.
Stessa domanda ancora per
\[
u_1(t) = \sin{(2t+3)}, \qquad u_2(t) = \cos{(2t-4)} \Rightarrow W(u_1, u_2) = -2\cos{7}
\]
e qui concludo che sono linearmente indipendenti e possono quindi essere soluzioni.
Ora l'ultima domanda dell'esercizio.
Supponiamo ora che $a(t)>0$ per ogni $t\ge 0$ e sia $b(t) \equiv b > 0$ una costante. Dimostrare che esiste una costante $M = M(b) > 0$ tale che la soluzione $y(\cdot)$ dell'equazione con $y(0) = y'(0) = 1$, verifica alla condizione \( \vert y(t) \vert \le M \), per ogni $t \ge 0$. Trovare una stima (possibilmente ottimale) per M che sia valida per ogni possibile funzione positiva $a(\cdot)$.
Da un lato, visto che c'è esistenza globale, mi basterebbe provare che $\lim_{t \to +\infty} y(t)$ è finito. Però così non trovo informazioni sulla costante. Ho provato ad attaccare direttamente il problema (con i soliti trucchetti: monotonia, convessità) ma con esito insoddisfacente. Che ci sia sotto qualche altra proprietà del wronskiano che ignoro (in effetti, non ho tutta questa dimestichezza...)?
Grazie per tutto.
"Paolo90":
Di getto, la prima cosa che farei è questa. Pensando all'equazione come sistema del primo ordine, mi chiedo: ci sono degli istanti in cui $y_1(t)=y_2(t)$ e contemporaneamente $\dot{y}_1(t)=\dot{y}_2(t)$? Se sì, allora - per esistenza e unicità - le due funzioni dovrebbero coincidere, il che è assurdo e quindi non possono essere soluzioni. E' corretto come ragionamento? Vedete delle strade migliori?
Bella questa idea. E' giusto: nel piano delle fasi \((y, \dot{y})\) la prima soluzione è una retta parallela all'asse delle \(x\) mentre la seconda è una ellisse, e si intersecano in ben due punti in barba al teorema di unicità. In effetti c'è il problema che il sistema potrebbe non essere autonomo, e dunque occorre controllare anche che l'intersezione avvenga a tempi uguali. Questo ammonta a fare esattamente gli stessi conti che suggerisce Rigel.
Per il punto a) del problema ho ragionato così. Supponiamo per assurdo che $y_1(t)=t, y_2(t)=sen(2t)$ siano entrambe soluzioni. Allora $2 y_1$ e $y_2$ sono entrambe soluzioni di uno stesso problema di Cauchy (quello che si ottiene imponendo $y(0)=0, y'(0)=2$) pur essendo distinte, impossibile. Analogamente si può risolvere il punto b).
Per il punto c) si vede che entrambe le funzioni sono soluzioni dell'equazione differenziale
\[ y''+4y=0.\]
Per il punto d)
sono davvero a corto d'idee.
Per il punto c) si vede che entrambe le funzioni sono soluzioni dell'equazione differenziale
\[ y''+4y=0.\]
Per il punto d)
Supponiamo ora che $ a(t)>0 $ per ogni $ t\ge 0 $ e sia $ b(t) \equiv b > 0 $ una costante. Dimostrare che esiste una costante $ M = M(b) > 0 $ tale che la soluzione $ y(\cdot) $ dell'equazione con $ y(0) = y'(0) = 1 $, verifica alla condizione \( \vert y(t) \vert \le M \), per ogni $ t \ge 0 $. Trovare una stima (possibilmente ottimale) per M che sia valida per ogni possibile funzione positiva $ a(\cdot) $.
sono davvero a corto d'idee.
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