Serie alternata con radice

[francesco.gazzola.18]

Ciao,
potreste dirmi con quale metodo si risolve questa serie?
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n*sqrt(n)$

Io ho provato con Leibniz ma non funziona dato che il limite non è uguale 0.
Nel libro come soluzione c'è scritto: "non converge perchè non è soddisfatta la condizione di convergenza. Inoltre studiando la succesione della somme parziali si vede che non tende ne a +oo ne a -oo; pertanto la serie oscilla".

Algebricamente come si dimostra che la serie oscilla?

[_fabricius_1]

Prova a scrivere esplicitamente le prime somme parziali. Vedrai che per gli $N$ dispari la somma parziale \(\sum_{n=1}^N(-1)^n\sqrt{n}\) è negativa e per gli $N$ pari è positiva, cerca di capire perché.

A titolo d'esempio dimostro che per $N$ pari la somma parziale \(\sum_{n=1}^N(-1)^n\sqrt{n}\) è positiva. Infatti $N=2M$ per qualche intero $M$. Allora
\[ \sum_{n=1}^{2M}(-1)^n\sqrt{n}=(-1+\sqrt{2})+(-\sqrt{3}+\sqrt{4})+\cdots+(-\sqrt{2M-1}+\sqrt{2M}) \]
e quest'ultima somma è positiva poiché ogni addendo racchiuso tra parentesi è positivo.

[francesco.gazzola.18]

Ok capito grazie mille