Dubbi sulle funzioni trigonometriche nel campo complesso
Ciao ragazzi sto studiando il teorema di permanenza delle proprietà analitiche e sul mio libro riporta un esempio che non riesco a capire. L'esempio è il seguente: si consideri la relazione $cos^2(z)+sen^2(z)=1, AA z in CC$. Mi fa notare che questa equazione mette in relazione un uguaglianza tra due funzioni $f(z)$ e $g(z)$ rispettivamente $f(z)=cos^2z+sen^2z$ e $g(z)=1$. Fin qui tutto ok. Poi mi dice che quell'uguaglianza è nota per $z=x, AA x in RR$ e qui il mio problema. Perchè quella è valida se $z=x$? Io ho provato ad abbozzare una soluzione e la posto qui di seguito.
SOLUZIONE: scrivo l'uguaglianza di sopra così $cos^2(x+jy)+sen^2(x+jy)$, applico le regole della somma delle funzioni trigonometriche seno e coseno e, dopo vari calcoli giungo a questa conclusione $cos^2x+sen^2x=1$ che come sappiamo è valida $AA x in RR$. Dunque da ciò dovrei dedurre che la relazione di partenza è valida per $z=x, AA x in RR$?
Grazie in anticipo a chi risponderà
SOLUZIONE: scrivo l'uguaglianza di sopra così $cos^2(x+jy)+sen^2(x+jy)$, applico le regole della somma delle funzioni trigonometriche seno e coseno e, dopo vari calcoli giungo a questa conclusione $cos^2x+sen^2x=1$ che come sappiamo è valida $AA x in RR$. Dunque da ciò dovrei dedurre che la relazione di partenza è valida per $z=x, AA x in RR$?
Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Ma scusa... L'autore del libro vuole solo far notare che è ben noto che, se $z in RR$, $cos^2(z) + sin^2(z) = 1$.
Dov'è il problema?
Dov'è il problema?
si a quest c'ero arrivato riflettendo ma il mio problema è che non riesco ad arrivarci analiticamente. E poi se è questo che vuoel fare intendere è poco chiaro perchè se quella uguaglianza è vera per $z in RR$ perchè affianco mi scrive $AA z in CC$?
P.S. in seguito poi mi scrive che può essere estesa al campo complesso mediante il secondo principio di identità. Ma il secondo principio afferma che se due funzioni, definite su un aperto connesso, che ammette un punto di accumulazione, esee sono analitiche, allora coincidono. Quindi ammesso che il mio dubbio di sopra fosse chiarito, come faccio ad applicare il secondo principio? Cioè quale insieme aperto connesso devo considerare?
P.S. in seguito poi mi scrive che può essere estesa al campo complesso mediante il secondo principio di identità. Ma il secondo principio afferma che se due funzioni, definite su un aperto connesso, che ammette un punto di accumulazione, esee sono analitiche, allora coincidono. Quindi ammesso che il mio dubbio di sopra fosse chiarito, come faccio ad applicare il secondo principio? Cioè quale insieme aperto connesso devo considerare?
Quell'identità lì, se lavori con $z in RR$, è "scontata" (non devi fare alcun ragionamento analitico) e da come hai scritto sembrava quello il problema.
Un altro paio di maniche è far vedere che l'identità continua a valere anche per $z in CC$, cioè l'estensione al campo complesso di una formula che già conosci.
Dimostrarla è piuttosto semplice, basta ricordare le espressioni del seno e coseno complessi mediante $e^z$ ed $e^(-z)$ (puoi prenderle anche come le definizioni di seno e coseno...).
"paolotesla91":
Fin qui tutto ok. Poi mi dice che quell'uguaglianza è nota per $z=x, AA x in RR$ e qui il mio problema. Perchè quella è valida se $z=x$?
Un altro paio di maniche è far vedere che l'identità continua a valere anche per $z in CC$, cioè l'estensione al campo complesso di una formula che già conosci.
Dimostrarla è piuttosto semplice, basta ricordare le espressioni del seno e coseno complessi mediante $e^z$ ed $e^(-z)$ (puoi prenderle anche come le definizioni di seno e coseno...).
ah ok grazie seneca! 
In realtà io avevo già fatto questa verifica prima di postare ma, alla fine del ragionamento, non arrivavo alla conclusione che quella relazione fosse vera per $z=x$, ma adesso ho capito che in realtà stavo cercando di dimostrare due cose diverse xD...comunque grazie ancora.
In realtà io avevo già fatto questa verifica prima di postare ma, alla fine del ragionamento, non arrivavo alla conclusione che quella relazione fosse vera per $z=x$, ma adesso ho capito che in realtà stavo cercando di dimostrare due cose diverse xD...comunque grazie ancora.
"paolotesla91":
P.S. in seguito poi mi scrive che può essere estesa al campo complesso mediante il secondo principio di identità. Ma il secondo principio afferma che se due funzioni, definite su un aperto connesso, che ammette un punto di accumulazione, esee sono analitiche, allora coincidono. Quindi ammesso che il mio dubbio di sopra fosse chiarito, come faccio ad applicare il secondo principio? Cioè quale insieme aperto connesso devo considerare?
Aahhhhh, ora ho capito cosa vuoi fare (anche se l'enunciato è scritto male).
Penso si possa dire che $sin^2(z) + cos^2(z)$ e $1$ sono funzioni trascendenti intere (analitiche su tutto il piano complesso) che coincidono sulla retta reale (per l'identità che hai visto facendo trigonometria). Allora necessariamente sono la stessa funzione su tutto $CC$.
Volevi questo?
si volevo dimostrare questo ma mi sono ingarbugliato con i ragionamenti a causa del mio difetto di voler trovare sempre una spiegazione di tipo analitico XD
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