Dimostrazione binomio di Newton, appartenenza ai Naturali

[pit1306]

Ciao ragazzi, spero di aver azzeccato la sezione giusta, sto seguendo un corso di calcolo combinatorio e matematica discreta quindi mi è sembrata la più adatta!

Sono molto arruginito quindi perdonate eventuali obbrobri, veniamo al dunque:

Dimostrare che, presi comunque $a, b, n in NN$, si ha:
$(a + sqrt(b))^n + (a - sqrt(b))^n in NN$

Ho scritto i due binomi come:

$\sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^(n-k) (sqrt(b))^k + \sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^(n-k) (-sqrt(b))^k$

Per induzione su $n$:

Per $n=0 \Rightarrow 1 + 1 = 2$, ok!

Lo suppongo vero per $0 ... n$ e lo dimostro per $t=n+1$:

$\sum_{k=0}^t ((t),(k)) a^(t-k) (sqrt(b))^k + \sum_{k=0}^t ((t),(k)) a^(t-k) (-sqrt(b))^k =$

$((n+1),(n+1)) a^(n+1-n-1) (sqrt(b))^(n+1) + \sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^(n-k) (sqrt(b))^k+$
$((n+1),(n+1)) a^(n+1-n-1) (-sqrt(b))^(n+1) + \sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^(n-k) (-sqrt(b))^k$

sia adesso tale equazione $A + B + C + D$, si ha che $B, D in NN$ per ipotesi induttiva.

Ora, sia $q = n+1$:
- Se $q$ è pari allora $(sqrt(b))^q = (-sqrt(b))^q in NN \Rightarrow A + B + C + D in NN$
- Se $q$ è dispari allora $A + C = 0 \Rightarrow A + B + C + D in NN$

Volevo sapere se per voi sta in piedi e vi convince, grazie per l'attenzione!

[Ernesto011]

Purtroppo sono al telefono e alcune formule le vedo male, ti scrivo una dimostrazione più immediata nel caso ti interessasse.
Partendo dal tuo sviluppo iniziale col binomio di Newton, se dividi le 2 sommatorie in $k$ pari e $k$ dispari ottieni 4 sommatorie, hai che le sommatorie per $k$ pari sono sommatorie di interi e quindi non creano problemi, mentre le sommatorie per $k$ dispari si elidono.

[pit1306]

"Ernesto01":Purtroppo sono al telefono e alcune formule le vedo male, ti scrivo una dimostrazione più immediata nel caso ti interessasse.
Partendo dal tuo sviluppo iniziale col binomio di Newton, se dividi le 2 sommatorie in $k$ pari e $k$ dispari ottieni 4 sommatorie, hai che le sommatorie per $k$ pari sono sommatorie di interi e quindi non creano problemi, mentre le sommatorie per $k$ dispari si elidono.

Interessante e più immediato, grazie!

Se magari riuscissi a dare anche un'occhiata alla mia prima o poi, giusto per soddisfazione personale, mi farebbe piacere!

[otta96]

"squeeze":Se magari riuscissi a dare anche un'occhiata alla mia prima o poi, giusto per soddisfazione personale, mi farebbe piacere!

A questo posso rispoderti anche, la tua dimostrazione è essenzialmente giusta, solo che volevo fare alcuni commenti:
-quando arrivi a $ \sum_{k=0}^t ((t),(k)) a^(t-k) (sqrt(b))^k + \sum_{k=0}^t ((t),(k)) a^(t-k) (-sqrt(b))^k = $$ ((n+1),(n+1)) a^(n+1-n-1) (sqrt(b))^(n+1) + \sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^(n-k) (sqrt(b))^k+$
$+ ((n+1),(n+1)) a^(n+1-n-1) (-sqrt(b))^(n+1) + \sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^(n-k) (-sqrt(b))^k $ io farei un passaggio in più per rendere tutto più chiaro, cioè $=(sqrt(b))^(n+1)+(a+sqrtb)^n+(-sqrt(b))^(n+1)+(a-sqrtb)^n$;
-quella che te chiami $ A + B + C + D $ più che essere un'equazione è un'espressione (non c'è l'$=$);
quando fai il caso $q$ pari, io avrei fatto più passaggi in questo modo: se $q$ è pari vuol dire che $EEk\inNN:q=2k$ e allora $(+-sqrtb)^q=(+-sqrtb)^(2k)=((+-sqrtb)^2)^k=b^k\inNN$.
ATTENZIONE!!! Il fatto che io avrei fatto più passaggi non vuole dire che come hai fatto te è sbagliato, è semplicemente una questione di gusti.

[pit1306]

"otta96":-quella che te chiami $ A + B + C + D $ più che essere un'equazione è un'espressione (non c'è l'$=$);

Intendevo equazione rispetto alle sommatorie in t, ma forse è più corretto espressione.

Effettivamente sul q pari sono stato un po' svogliato. Comunque grazie per il tempo speso e per i consigli!