Esercizio su anelli Locali
Buongiorno, vi vorrei sottoporre il seguente esercizio:
Dimostrare che $mathbb(Z)//(m*mathbb(Z))$ è un anello locale se e solo se $m$ è una potenza di un primo.
Su $m$ potenza di un primo implica $mathbb(Z)//m*mathbb(Z)$ anello locale non ho problemi. Posto $m=p^k$, faccio vedere che $mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$ è unione disgiunta di elementi $p*mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$ unito agli invertibili di $mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$. Così ho che se da $mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$ tolgo gli invertibili mi rimangono elementi che costituiscono un ideale.
Ho problemi invece sull'implicazione inversa, e su questa vi chiedo un aiuto, $mathbb(Z)//m*mathbb(Z)$ anello locale implica $m$ potenza di un primo.
Grazie in anticipo
Dimostrare che $mathbb(Z)//(m*mathbb(Z))$ è un anello locale se e solo se $m$ è una potenza di un primo.
Su $m$ potenza di un primo implica $mathbb(Z)//m*mathbb(Z)$ anello locale non ho problemi. Posto $m=p^k$, faccio vedere che $mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$ è unione disgiunta di elementi $p*mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$ unito agli invertibili di $mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$. Così ho che se da $mathbb(Z)//p^k*mathbb(Z)$ tolgo gli invertibili mi rimangono elementi che costituiscono un ideale.
Ho problemi invece sull'implicazione inversa, e su questa vi chiedo un aiuto, $mathbb(Z)//m*mathbb(Z)$ anello locale implica $m$ potenza di un primo.
Grazie in anticipo
Risposte
Se $p,q$ sono primi diversi che dividono $m$, ci sono due ideali distinti, entrambi massimali, in \(R=\mathbb{Z}/m\mathbb Z\): $pR$ e $qR$. Se infatti fossero uguali (terzo teorema di isomorfismo) si avrebbe \(\mathbb{Z}/q\mathbb Z \cong R/qR\cong R/pR \cong \mathbb{Z}/p\mathbb Z\), assurdo.
Grazie mille
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