Un tentativo nel dimostrare il primo teorema di Sylow
Salve,oggi,mi sono rimesso un po' a ripetere tutto ciò che avevo studiato in questi ultimi 5 mesi(analisi 1,algebra lineare,geometria 1) e dato che nel libro di algebra lineare c'era un introduzione alla teoria dei gruppi,mi era venuto un dubbio su un esercizio di teoria,la cui generalizzazione corrisponde al primo teorema di Sylow.Allora,ho provato a pensare ad una dimostrazione per questo teorema(usando principalmente i concetti di algebra lineare dato che la teoria dei gruppi la devo ancora studiare bene),ma non so se sia corretta.Se non vi reca disturbo,potreste dirmi se ho fatto qualche errore?
La dimostrazione è questa:
Sia $V$ uno spazio vettoriale,$B$ una sua base e $f$ un'operazione.Posto $G=(B,f)$(dove $G$ è un gruppo) sia ha che $o(G)=dim(V)=n$ (dove $o$ indica l'ordine del gruppo),ora,siano $p^r$,la potenza di un numero primo che divide $n$, ed $m$ un intero tale che $n=mp^r$.Ora siano $W_(1,....,m)$ dei sottospazi vettoriali tali che la loro somma diretta dia $V$,allora $dim(W_i)=p^r$.Infine,siano $B_(1,...,m)$ delle basi dei sottospazi vettoriali e $H_(1,...,m)$ dei sottogruppi di $G$,tali che $H_i=(B_i,f)$,allora $dim(W_i)=dim(H_i)=p^r$ e quindi esistono dei sottogruppi di $G$,il cui ordine sia pari ad $p^r$.E quindi,a meno di errori,il teorema è dimostrato.
La dimostrazione è questa:
Sia $V$ uno spazio vettoriale,$B$ una sua base e $f$ un'operazione.Posto $G=(B,f)$(dove $G$ è un gruppo) sia ha che $o(G)=dim(V)=n$ (dove $o$ indica l'ordine del gruppo),ora,siano $p^r$,la potenza di un numero primo che divide $n$, ed $m$ un intero tale che $n=mp^r$.Ora siano $W_(1,....,m)$ dei sottospazi vettoriali tali che la loro somma diretta dia $V$,allora $dim(W_i)=p^r$.Infine,siano $B_(1,...,m)$ delle basi dei sottospazi vettoriali e $H_(1,...,m)$ dei sottogruppi di $G$,tali che $H_i=(B_i,f)$,allora $dim(W_i)=dim(H_i)=p^r$ e quindi esistono dei sottogruppi di $G$,il cui ordine sia pari ad $p^r$.E quindi,a meno di errori,il teorema è dimostrato.
Risposte
Penso di aver capito cosa vuoi fare a grandi linee, però hai fatto confusione.
$V$ deve essere spazio vettoriale di dimensione finita, altrimenti niente ti assicura che la base $B$ sia finita.
"Ponendo $G=(B,f)$ (dove $G$ è un gruppo)" stai dicendo che $(B,f)$ è un gruppo? Oppure prendendo un gruppo $G$ finito e arbitrario scegli $V$ e $f$ in modo tale che $G=(B,f)$? (ho indicato con $=$ come fai te, in realtà intendo isomorfo).
$W_{1,...,m}$ non ho capito cosa voglia dire, presumo tu intenda $W_i$ con $i=1,...,m$ (stessa cosa con $B_i$ e $H_i$ dopo). Però non capisco da dove ricavi che ognuno di essi abbia $dim(W_i)=p^r$, li hai presi "a caso" quindi questo è falso in generale (o forse li stai prendendo in modo che le dimensioni soddisfino quella relazione?)
$V$ deve essere spazio vettoriale di dimensione finita, altrimenti niente ti assicura che la base $B$ sia finita.
"Ponendo $G=(B,f)$ (dove $G$ è un gruppo)" stai dicendo che $(B,f)$ è un gruppo? Oppure prendendo un gruppo $G$ finito e arbitrario scegli $V$ e $f$ in modo tale che $G=(B,f)$? (ho indicato con $=$ come fai te, in realtà intendo isomorfo).
$W_{1,...,m}$ non ho capito cosa voglia dire, presumo tu intenda $W_i$ con $i=1,...,m$ (stessa cosa con $B_i$ e $H_i$ dopo). Però non capisco da dove ricavi che ognuno di essi abbia $dim(W_i)=p^r$, li hai presi "a caso" quindi questo è falso in generale (o forse li stai prendendo in modo che le dimensioni soddisfino quella relazione?)
Grazie per la risposta.
Per iniziare prendo uno spazio vettoriale(di dimensione finita),poi con $(B,f)$ intendo un gruppo con gli elementi di $B$ "sotto l'operazione f".Poi con i simboli $W_i,B_i,H_i$,intendevo proprio quello che dici tu.Poi i $W_i$ sono degli spazi vettoriali isomorfi fra loro(e le cui basi non hanno elementi in comune) ,la cui somma diretta mi da $V$.
Per iniziare prendo uno spazio vettoriale(di dimensione finita),poi con $(B,f)$ intendo un gruppo con gli elementi di $B$ "sotto l'operazione f".Poi con i simboli $W_i,B_i,H_i$,intendevo proprio quello che dici tu.Poi i $W_i$ sono degli spazi vettoriali isomorfi fra loro(e le cui basi non hanno elementi in comune) ,la cui somma diretta mi da $V$.
E come fai a sapere che esistono dei sottospazi con basi $B_i$ tali che $H_i=(B_i,f)$ sono sottogruppi di $G$?
scusa,se $B=(v_1,.....,v_n)$ è la base di $V$ e $B_1=(v_1,....,v_{p^r})$, $B_2=(v_{1+p^r},.....,v_{2p^r})$,....,$B_m=(v_{1+(m-1)*p^r},...,v_n)$ le basi dei $W_i$.Non mi basta prendere $G=({v_1,.....,v_n},f)$(non sono certo delle notazioni,ma spero che si capisca) e $H_i=({v_{1+(i-1)p^r},.....,v_{i*p^r}},f)$ ?
Per esempio $H_1=(B_1,f)$, come fai a dire che l'operazione $f$ prende due elementi di $B_1$ e li manda in $B_1$? Sicuramente li manda in $B$, ma dire che li manda in $B_1$ non è vero in generale.
Non ci avevo pensato.
Grazie di nuovo per la risposta,se non ti reca disturbo,ti dispiacerebbe dirmi secondo te,come potrei risolvere questo problema(ammesso che il metodo che ho usato vada bene per dimostrare questo teorema)?
Grazie di nuovo per la risposta,se non ti reca disturbo,ti dispiacerebbe dirmi secondo te,come potrei risolvere questo problema(ammesso che il metodo che ho usato vada bene per dimostrare questo teorema)?
L'unico progresso che hai fatto è chiamare in modo diverso gli oggetti del problema, senza una apparente motivazione. Quindi non credo si possa "aggiustare". La dimostrazione classica utilizza il concetto di azione del gruppo se non ricordo male, ma non dovrebbe essere banale.
Va bene,grazie comunque,ci ripenserò quando studierò bene l'argomento.
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