Dimostrazioncine
Ciao a tutti, studiando algebra lineare trovo queste proposizioni sui campi da dimostrare. Se qualcuno potesse buttarci un occhio e dare un po' di feedback mi farebbe un gran favore, visto che inizio ora con lo studio serio dell'algebra! 
Innanzitutto, devo mostrare che l'insieme dei numeri della forma \(\displaystyle a+b\sqrt 2 \) con \(\displaystyle a,b\in \mathbb{Q} \) forma un campo.
Il mio tentativo:
i) Scegliendo \(\displaystyle (a,b)=(0,0) \) si ha l'elemento \(\displaystyle 0 \), \(\displaystyle (a,b)=(1,0) \) si ha l'elemento \(\displaystyle 1 \).
ii) E' chiuso per somma e prodotto: \(\displaystyle (a+b\sqrt 2)+(c+d\sqrt 2)=(a+c)+(b+d)\sqrt 2 \) è ancora della forma iniziale, così come \(\displaystyle (a+b\sqrt 2)(c+d\sqrt 2)=ac+ad\sqrt 2+cb\sqrt 2+2bd=(ac+2bd)+(ad+cd)\sqrt 2\).
iii) Se \(\displaystyle (a,b)\ne (0,0) \), allora si ha \(\displaystyle \frac{1}{a+b\sqrt 2}=\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt 2 \).
iv) Infine, \(\displaystyle -a-b\sqrt 2 \) è ancora nella forma iniziale.
Questo dovrebbe mostrare che l'insieme è un campo. E' corretto? Se sì magari posto l'altra, è molto simile comunque! Grazie in anticipo!
Innanzitutto, devo mostrare che l'insieme dei numeri della forma \(\displaystyle a+b\sqrt 2 \) con \(\displaystyle a,b\in \mathbb{Q} \) forma un campo.
Il mio tentativo:
i) Scegliendo \(\displaystyle (a,b)=(0,0) \) si ha l'elemento \(\displaystyle 0 \), \(\displaystyle (a,b)=(1,0) \) si ha l'elemento \(\displaystyle 1 \).
ii) E' chiuso per somma e prodotto: \(\displaystyle (a+b\sqrt 2)+(c+d\sqrt 2)=(a+c)+(b+d)\sqrt 2 \) è ancora della forma iniziale, così come \(\displaystyle (a+b\sqrt 2)(c+d\sqrt 2)=ac+ad\sqrt 2+cb\sqrt 2+2bd=(ac+2bd)+(ad+cd)\sqrt 2\).
iii) Se \(\displaystyle (a,b)\ne (0,0) \), allora si ha \(\displaystyle \frac{1}{a+b\sqrt 2}=\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt 2 \).
iv) Infine, \(\displaystyle -a-b\sqrt 2 \) è ancora nella forma iniziale.
Questo dovrebbe mostrare che l'insieme è un campo. E' corretto? Se sì magari posto l'altra, è molto simile comunque! Grazie in anticipo!
Risposte
Si è corretto.
Ciao, grazie per la risposta! L'altro esercizio è mostrare che i numeri della forma \(\displaystyle a+b\gamma \) con \(\displaystyle \gamma^2=c \) per qualche \(\displaystyle c\in \mathbb{Q} \) positivo e \(\displaystyle a,b\in \mathbb{Q} \) formano un campo. Inoltre mi si chiede anche cosa succede se \(\displaystyle \gamma=i\in \mathbb{C} \). Tuttavia sono praticamente identici quindi evito di riportali. Cambio il titolo in "Dimostrazioncina"
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