Polinomio minimo
Buongiorno, vi chiedo una mano riguardo questo esercizio:
Determinare il polinomio minimo su $mathbb(Q)$ del seguente elemento:
$a=i+sqrt(3)$.
Non avendo le soluzioni chiedo soltanto conferma.
Ho scritto: $a/2=sqrt(3)/2+1/2*i$, da cui $a=2*e^(i*pi/6)$. Ho elevato alla sesta da ambo i lati: $a^6=64*e^(i*pi)$, da cui $a^6+64=0$.
Il mio polinomio minimo su $mathbb(Q)$ dovrebbe essere $P_min(T)=T^6 + 64$. Ovviamente è monico, si annulla in $a$ e dovrebbe essere irriducibile perché non ha radici razionali.
Può andare?
Determinare il polinomio minimo su $mathbb(Q)$ del seguente elemento:
$a=i+sqrt(3)$.
Non avendo le soluzioni chiedo soltanto conferma.
Ho scritto: $a/2=sqrt(3)/2+1/2*i$, da cui $a=2*e^(i*pi/6)$. Ho elevato alla sesta da ambo i lati: $a^6=64*e^(i*pi)$, da cui $a^6+64=0$.
Il mio polinomio minimo su $mathbb(Q)$ dovrebbe essere $P_min(T)=T^6 + 64$. Ovviamente è monico, si annulla in $a$ e dovrebbe essere irriducibile perché non ha radici razionali.
Può andare?
Risposte
A me non torna.
$x=i+sqrt(3)$
$x-sqrt(3)=i$
$x^2-2sqrt(3)x+3=-1$
$x^2+4=2sqrt(3)$
$x^4+8x^2+16=12x^2$
$x^4-4x^2+16=0$
Quindi se prendo $P(x)=x^4-4x^2+16$, $P(i+sqrt(3))=0$ ed è un polinomio di quarto grado.
$x=i+sqrt(3)$
$x-sqrt(3)=i$
$x^2-2sqrt(3)x+3=-1$
$x^2+4=2sqrt(3)$
$x^4+8x^2+16=12x^2$
$x^4-4x^2+16=0$
Quindi se prendo $P(x)=x^4-4x^2+16$, $P(i+sqrt(3))=0$ ed è un polinomio di quarto grado.
Hai ragione, ho trovato la stessa soluzione guardando il mio polinomio come una somma di cubi.
Grazie mille per l'aiuto
Grazie mille per l'aiuto
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