Irriducibilita dei polinomi in due indeterminate
Salve. È la mia prima volta, quindi chiedo scusa a tutti se non so scrivere bene le formule. Desidero una sorta d'aiuto.
Devo dire se i due polinomi assegnati $F$ e $G$ sono irriducibili rispettivamente in $ZZ[X,Y]$ e in $CC[X,Y]$ dimostrandolo e giustificando ogni risposta.
I polinomi sono $F(X,Y) = 4X^3 - 2Y$ e $G(X,Y) = X^3 - (Y^2 + 1)$
Con ^ ho denotato l'elevamento a potenza, con MCD il massimo comune divisore.
Io ho proceduto così.
$F$ me lo sono scritto come $2(2X^3 - Y)$ e ho cercato il $text(MCD)\{2X^3,Y\} =1$ visto che $2$ è un polinomio di grado zero.
Quindi è irriducibile. Ma dove?
G me lo sono scritto come $X^3 - Y^2 - 1$ e ho cercato il $text(MCD)\{X^3,Y^2+1 \} =1$ ma non so stabilire se è irriducibile in $ZZ[X,Y]$ e in $CC[X,Y]$.
Sapreste aiutarmi dopo il mio procedimento?
Saluti.
Devo dire se i due polinomi assegnati $F$ e $G$ sono irriducibili rispettivamente in $ZZ[X,Y]$ e in $CC[X,Y]$ dimostrandolo e giustificando ogni risposta.
I polinomi sono $F(X,Y) = 4X^3 - 2Y$ e $G(X,Y) = X^3 - (Y^2 + 1)$
Con ^ ho denotato l'elevamento a potenza, con MCD il massimo comune divisore.
Io ho proceduto così.
$F$ me lo sono scritto come $2(2X^3 - Y)$ e ho cercato il $text(MCD)\{2X^3,Y\} =1$ visto che $2$ è un polinomio di grado zero.
Quindi è irriducibile. Ma dove?
G me lo sono scritto come $X^3 - Y^2 - 1$ e ho cercato il $text(MCD)\{X^3,Y^2+1 \} =1$ ma non so stabilire se è irriducibile in $ZZ[X,Y]$ e in $CC[X,Y]$.
Sapreste aiutarmi dopo il mio procedimento?
Saluti.
Risposte
Il primo dovrebbe essere irriducibile su \(\mathbb Z[Y]\) per Eisenstein, e su \(\mathbb Z[X]\) perché è lineare in $Y$. Per il secondo, su \(\mathbb Z[Y]\) è della forma \(X^3 + q\), dove nessuna delle radici terze di $q$ sta nell'anello dei coefficienti, e su \(\mathbb Z[X]\) basta calcolare il discriminante vedere che non è un quadrato perfetto.
Ma il discriminante del polinomio G: X^3 - Y^2 - 1?
Il polinomio, allora, me lo dovrò scrivere - Y^2 + X^3 - 1 ordinandolo rispetto a Y.
E il discriminante su quale variabile X o Y?
Rispetto alla variabile Y viene 4*(X^3 - 1). Risolvendo ottengo le radici x = 1, x = - 1/2 - i*sqrt(3)/2,[/-1/2+i*sqrt(3)/2] dove i è l'unità immaginaria.
Rispetto alla variabile X è un'equazione di grado tre e non so come calcolare il discriminante...
* sta ad indicare il simbolo di moltiplicazione.
Che cosa devo fare?
Quindi il polinomio F è irriducibile sia in Z[X,Y] che in C[X,Y]? Ma per Eisenstein perché è irriducibile?
Help!
Saluti.
Il polinomio, allora, me lo dovrò scrivere - Y^2 + X^3 - 1 ordinandolo rispetto a Y.
E il discriminante su quale variabile X o Y?
Rispetto alla variabile Y viene 4*(X^3 - 1). Risolvendo ottengo le radici x = 1, x = - 1/2 - i*sqrt(3)/2,[/-1/2+i*sqrt(3)/2] dove i è l'unità immaginaria.
Rispetto alla variabile X è un'equazione di grado tre e non so come calcolare il discriminante...
* sta ad indicare il simbolo di moltiplicazione.
Che cosa devo fare?
Quindi il polinomio F è irriducibile sia in Z[X,Y] che in C[X,Y]? Ma per Eisenstein perché è irriducibile?
Help!
Saluti.
\(Y^2 + X^3 - 1\) è un polinomio di secondo grado in $Y$, tra l'altro senza termine lineare, quindi è sufficiente vedere che \(1-X^3\) non è un quadrato in \(\mathbb Z[X]\) (come potrebbe?).
Per entrambi puoi usare il criterio di Eisenstein "esteso", che dice che se $A$ è UFD e $f(X) in A[X]$ verifica le condizioni di Eisenstein (dove sostituisci "numero primo" con "elemento irriducibile di $A$") allora $f(X)$ è irriducibile.
Nel tuo caso $A=ZZ[Y]$ (e $A=CC[Y]$ nell'altro caso). Eisenstein si applica facilmente a $X^3-(Y^2+1)$ in $ZZ[Y][X]$ perché $Y^2+1$ è irriducibile in $ZZ[Y]$, mentre in $CC[Y][X]$ devi sistemare un dettaglio.
Nel tuo caso $A=ZZ[Y]$ (e $A=CC[Y]$ nell'altro caso). Eisenstein si applica facilmente a $X^3-(Y^2+1)$ in $ZZ[Y][X]$ perché $Y^2+1$ è irriducibile in $ZZ[Y]$, mentre in $CC[Y][X]$ devi sistemare un dettaglio.
Cioè quale dettaglio se non sono indiscreto?
E poi F e G sono entrambi irriducibili in Z[X,Y] oppure in C[X,Y]? Ma LCD{X^3,Y^2 + 1} =1 non mi garantisce che il polinomio G sia irriducibile in C[[X,Y] e LCD{2X^3,Y}=1 non mi garantisce e che il polinomio F sia irriducibile in C[X,Y]?
Per il polinomio G già capito per il polinomio F è poco chiaro.
4X^3 - 2Y = 2*(2X^3 - Y) e allora?
Come lo utilizo il criterio di Einsensten per dire che è irriducibile in Z[X,Y]?
Scusate l'insistenza.
Vi prego aiutatemi.
E poi F e G sono entrambi irriducibili in Z[X,Y] oppure in C[X,Y]? Ma LCD{X^3,Y^2 + 1} =1 non mi garantisce che il polinomio G sia irriducibile in C[[X,Y] e LCD{2X^3,Y}=1 non mi garantisce e che il polinomio F sia irriducibile in C[X,Y]?
Per il polinomio G già capito per il polinomio F è poco chiaro.
4X^3 - 2Y = 2*(2X^3 - Y) e allora?
Come lo utilizo il criterio di Einsensten per dire che è irriducibile in Z[X,Y]?
Scusate l'insistenza.
Vi prego aiutatemi.
X^3 - 1 = (X - 1)(X - 1/2- i* sqrt(3)/2)(X - 1/2 + i*sqrt(3)/2)).
Ma Il dettaglio da sistemare in che cosa consiste?
Ma Il dettaglio da sistemare in che cosa consiste?
Il dettaglio è che $Y^2+1$ non è irriducibile in $CC[Y]$.
E quindi tutto il polinomio X^3 - (Y^2 + 1) è IRRIDUCIBILE in C[X,Y] oppure è RIDUCIBILE?
Me lo potrebbe spiegare meglio al fine di arrivare al dunque?
Me lo potrebbe spiegare meglio al fine di arrivare al dunque?
È irriducibile.
Come faccio a calcolare il discriminante dell'equazione di terzo grado X^3 - (Y^2 + 1) per vedere che è irriducibile?
Oppure devo calcolare il discriminante dell'equazione di secondo grado in y cioè l'equazione -Y^2 + X^3 - 1 = 0 il cui discriminante è 4*(X^3 - 1). Le radici sono - sqrt(X^3 - 1) e + sqrt(X^3 - 1). Ma che me ne faccio di esse?
Non ho capito dopo che devo fare per stabilire l'irriducibilità del polinomio considerato.
Oppure devo calcolare il discriminante dell'equazione di secondo grado in y cioè l'equazione -Y^2 + X^3 - 1 = 0 il cui discriminante è 4*(X^3 - 1). Le radici sono - sqrt(X^3 - 1) e + sqrt(X^3 - 1). Ma che me ne faccio di esse?
Non ho capito dopo che devo fare per stabilire l'irriducibilità del polinomio considerato.
X^3 - Y^2 - 1 su Z[Y] è della forma X^3 - 1. Le radici terze di -1 sono -1 in Z, (1- i*sqrt(3))/2 in C,(1 + i*sqrt(3))/2 in C.
Ma come faccio a stabilire se è irriducibile in Z[X,Y] e in C[X,Y]?
X^3 - Y^2 - 1 su Z[X] è della forma - Y^2 - 1. Il discriminante è -4. Le radici quadrate di -4 sono -2i,2i.
Con i ho indicato l'unità immaginaria.
-4 è un quadrato in C, ma -4 non è un quadrato in Z, e quindi, che cosa posso concludere?
Spero in qualche risposta perché non è ancora chiaro.
Ma come faccio a stabilire se è irriducibile in Z[X,Y] e in C[X,Y]?
X^3 - Y^2 - 1 su Z[X] è della forma - Y^2 - 1. Il discriminante è -4. Le radici quadrate di -4 sono -2i,2i.
Con i ho indicato l'unità immaginaria.
-4 è un quadrato in C, ma -4 non è un quadrato in Z, e quindi, che cosa posso concludere?
Spero in qualche risposta perché non è ancora chiaro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo