Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Salve, il quesito è il seguente: Determinare la classe [998^6^9^4] in Z999 e la sua opposta. Dire se la classe [998^649] è invertibile in Z999. In caso di risposta affermativa, calcolare la classe inversa. (scusate se non ho formattato per bene in testo ) Adesso, io ho sempre fatto esercizi dove la base risulta maggiore. Ma in questo esercizio, essendo 998 < 999 non posso ridurre la base, perciò non ho idea di come si possa procedere. Ho provato a googlare, ma non ho trovato nulla. Spero mi ...

Riporto quanto trovo scritto nel libro Algebra di Pietro Di Martino. Sia $f(x)$ irriducibile di grado $n$ in $\mathbb{K}[x]$ e sia $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\alpha_1,...,\alpha_n)$ il campo di spezzamento di $f(x)$. Possiamo costruirci il campo $\mathbb{E}$ con una serie di estensioni semplici consecutive, ovvere aggiungendo una radice alla volta: $\mathbb{K}\subset\mathbb{\mathbb{K}(\alpha_1)\subset \mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2)\subset ... \subset \mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2...,\alpha_n)=\mathbb{E}$ infatti essendo $f(x)$ irriducubile in $\mathbb{K}[x]$, allora ...

Salve Sono in cerca di aiuto per il seguente esercizio: Sia $I\sube K[x_1,...,x_n]$ ideale monomiale. Dimostrare che $I$ è irriducibile se e solo se è m-irriducibile. Di seguito le nozioni che tenevo presenti nel tentativo di risolvere l'esercizio: Definizione (ideale irriducibile): $I$ irriducibile sse $I=I_1\nn I_2\rArr I=I_1 \vv I=I_2$. Definizione (ideale monomiale): $I$ monomiale sse $\EE M\sube{monomi \in K[x_1,...,x_n]}$ tale che $ I=(M)$. Definizione (ideale m-irriducibile): ...

Salve a tutti, premettendo di sapere come utilizzare il complemento a due nell'algebra binaria, mi è sorta la necessità di sapere come funziona davvero la matematica dietro di esso (probabilmente ho un basso QI per chiedere certe cosa ahah). Comunque, presupponendo di voler fare una semplice somma +1[size=50]10[/size] + (-1[size=50]10[/size]) in binario: /0001+ /1111= 10000 Come tutti spiegano, quell, 1 "più a sinistra" chiamato overflow non viene considerato perchè "si scarta". Quel "si ...

Sono alle prime armi con i fondamenti della matematica. Sto cercando di saperne di più del metalinguaggio ed in particolar modo dell'aritmetica finitaria come linguaggio, per l'appunto, utilizzato per dimostrare i metateoremi di coerenza, completezza ecc. Allora, ho assodato che la sintassi del linguaggio col quale viene espressa una teoria matematica è costituito da: a)un alfabeto: segni (senza significato) , b)un insieme di formule ben formate (frasi del linguaggio) date ricorsivamente, fra ...

Salve a tutti! Spero sia la sezione giusta; nel caso non lo fosse mi scuso in anticipo. Devo analizzare questo ragionamento, e capire se è corretto: Se Tizio mente allora è l'assassino oppure il delitto è avvenuto dopo la mezzanotte. Se il delitto è avvenuto prima di mezzanotte allora Tizio mente. Allora tizio è l'assassino. Individuo le proposizioni $p$: Tizio mente; $a$: Tizio è l'assassino; $b$: il delitto è avvenuto dopo la mezzanotte. Ora, ...

Salve ho questo esercizio: a) verificare che $G={((a,b),(0,1)) : a,b \inZZ_5, a!=0}$ è un sottogruppo di ordine 20 di $GL_2(ZZ_5)$ rispetto al prodotto righe per colonne e determinarne il centro. b) provare che M ha un unico sottogruppo normale di N di ordine 5 e determinarlo. c) provare che $G/N~=(ZZ_5^*, .) $ e determinare tale isomorfismo esplicitamente Ho difficoltà per quanto riguarda calcolare i sottogruppi di ordine 20. come posso fare? che teorema posso applicare?

"Se il mandorlo è in fiore, la rosa marcisce. Se la begonia marcisce il papavero sboccia. Inoltre o il mandorlo è in fiore o la begonia marcisce". In base alle precedenti affermazioni è sicuramente vero che: A) la rosa marcisce o il papavero sboccia B) il papavero sboccia C) il mandorlo è in fiore e il papavero sboccia D) la rosa marcisce e il papavero sboccia E) la rosa e la begonia marciscono La risposta corretta è A. OK. Ho una perplessità sulla formulazione del testo. Cosa significa "In ...

Ciao ho provato con wolframalpha a risolvere questa solve $[(Q-1)^2/4-sqrt(Q^2-77)/2] mod [(Q-1)/2]=(p-1)/2$ , $p^2+2*p*sqrt(Q^2-77)=77$ e mi da due soluzioni $p=1$ , $Q=39$ $p=7$ , $Q=9$ oppure questa solve $[(((77/p+p)/2)-1)^2/4-sqrt(((77/p+p)/2)^2-77)/2] mod [(((77/p+p)/2)-1)/2]=(p-1)/2$ soluzioni $p=1$ $p=7$ però non mi da il procedimento Qualcuno mi potrebbe spiegare il procedimento? grazie

Ciao. Sia \( f\colon S\to T \) una funzione biiettiva, e siano \( \mathscr{F}_1 \) e \( \mathscr{F}_2 \) due famiglie di sottoinsiemi rispettivamente di \( S \) e di \( T \). Con \( f_{*} \) intendo la funzione \( \mathcal{P}(S)\to\mathcal{P}(T) \) che manda un sottoinsieme \( X\subset S \) nella sua immagine \( f(S) \). Vorrei provare che \( f_{*}\left(\mathscr{F}_1\right)=\mathscr{F}_2 \) se e solo se preso un sottoinsieme \( U \) del dominio \( S \), esso appartiene a \( \mathscr{F}_1 \) se ...

Mi riferisco alla differenza elemento per elemento (non al complemento o alla differenza simmetrica insiemistica). Ad esempio : N è insieme dei naturali con lo zero Se faccio N+N riottengo N ( quindi N+N= N ) Se faccio N-N ? Secondo me fa ancora N. Grazie

Sia $P$ il prodotto cartesiano di una famiglia finita di monoidi , indicizzata con $j$; la proiezione $pi_j$ agisce così $pi_j : P -> M_j $, estraendo da $\{ x_i \}$ la componente di indice $j$ ( e questo è facile da capire) esistono anche le funzioni $sigma_j$ che operano all'opposto, così $sigma_j : M_j -> P $ con $sigma_j(x_j) = \{ x_i \}$ dove la componente i-esima di $\{ x_i \}$ è uguale a $x_j$ se ...

Ho difficolta a capire un passaggio di questa dimostrazione Sia \( G \) un gruppo e \( H \subset G \) un sottogruppo distinto, \( G' \) un altro gruppo. Esiste una biezione tra gli insiemi seguenti 1) L'insieme dei morfismi \( \phi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \) 2) L'insieme dei morfismi \( \phi_H : G/H \rightarrow G' \) Questa biezione è data da \( \Psi : \phi_H \rightarrow \phi := \phi_H \circ \operatorname{red}_H \) Dimostrazione: Sia \( \phi_H \in ...

Riguardando le soluzioni di un vecchio esercizio (sto rifacendo tutte le serie di esercizi), la mia soluzione differisce da quella del prof, e secondo me la sua è sbagliata. Sia \( G \) un gruppo e \( X,Y \) due \( G\)-insiemi (a sinsitra), sia \( \varphi : (X,\odot) \rightarrow (Y,\otimes) \) un morfismo di \(G\) insiemi. Dimostra che se \( \varphi \) è biietiva allora l'applicazione inversa \( \varphi^{-1} : Y \rightarrow X \) è un morfismo di \(G\)-insiemi. La mia versione: Visto che \( ...

Sia \( G \) un gruppo finito di ordine \( n \), \( p \) un numero primo che divide \( n \) e \( v_p(n) \) la \(p\)-evaluazione di \(n\), \( v_p(n) \geq 1 \) è l'esponente della più grande potenza di \( p \) che divide \(n \), i.e. \( p^{v_p(n)} \mid n \) e \( p^{v_p(n)+1} \not\mid n \). Allora \( G \) possiede un sotto gruppo \( P \) di ordine esattamente \( p^{v_p(n)} \). Non ho veramente idea da dove partire per dimostrare il primo Teorema di Sylow. Avreste dei ...

Ciao Sto facendo un po' di teoria delle categorie, e non riesco a comprender il ruolo di una parte nella definizione di funtore. I miei riferimenti per ora è Leinster. Riporto la definizione di funtore con la parte che mi interessa (la definizione completa è a pagina 17 del pdf): "Tom Leinster": Let \(\mathcal A\) and \(\mathcal B\) categories. A functor \(F \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B\) consists of [taglio un po di cose per arrivare dritto al punto] satisfying ...

Ciao. Sia \( G \) un gruppo e siano \( H \) e \( K \) due sottogruppi di \( G \) tali che \( H\supset K \). Mi chiedevo se il numero di classi laterali (sinistre) di \( K \) in \( H \) coincidesse con il numero di classi laterali (sinistre) di \( K \) in una classe laterale di \( H \). In particolare, non sono sicuro che la funzione \( hK\mapsto (ah)K \) che mappa una classe laterale di \( K \) in \( H \) con la sua corrispondente in una classe laterale \( aH \) di \( H \) (in \( G \)), sia ...

Salve, Prendiamo $K$ campo, $\phi:K->K$ omomorfismo di anelli (con omomorfismo di anelli intendo anche $\phi(1)=1$). Vorrei dire che $\phi$ è automorfismo ma non mi riesce mostrare la surgettività. Il fatto che sia iniettivo segue dal fatto che gli unici ideali di un campo sono quelli banali e quindi deve essere che $Ker(\phi)={0}$. Nel caso in cui il campo si possa vedere come spazio vettoriale di dimensione finita su $\mathbb{Q}$ o su ...

Ciao! Il teorema in questione è il seguente. Siano \(\mathcal A\) e \(\mathcal B\) due gruppi. Per ogni omomorfismo \(f \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B\) esiste uno e un solo omomorfismo \(\phi : \frac{\mathcal A}{\ker f} \mapsto \mathcal B\) per cui \[f=\phi \circ \lambda_f\,,\] dove \(\lambda_f \colon \mathcal A \mapsto \frac{\mathcal A}{\ker f},\, x \mapsto x\ker f\). [tex]\xymatrix{ \mathcal A \ar@/^/[rr]^{\forall f} \ar[dr]_{\lambda_f} & & \mathcal B \\ & ...

Salve a tutti. Sono alle prese con un esercizio di classificazione. Ho un gruppo $G$ tale che $|G|=2^n$ con la proprietà che $\forall x \in G, x^2=e$. So che se vale l'ultima proprietà detta $G$ è per forza abeliano. La tesi afferma che $G\cong (\mathbb{Z}_2)^n$. La dimostrazione è una semplice induzione e nei casi base è davvero bamale. Il problema è nel passo induttivo. L'idea è dimostrare che $G\cong G\\K \times K$, con $K$ sottogruppo di $G$ di ...