Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buongiorno, mi sono imbattuto in un esercizio sul Principio di induzione con un fattoriale:
DIMOSTRARE CHE: $$\sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1 \hspace{1cm} \forall n \ge 1$$
Base induttiva calcolata e ok.
Sono andato avanti e devo dimostrare che $\sum_{k=1}^{n+1} k(k!)=((n+1)+1)!-1$
allora sono riuscito a calcolare $\sum_{k=1}^{n+1} k(k!)=(\sum_{k=1}^n k(k!))+(n+1)(n+1)!$ [....]
Ora quindi devo dimostrare che l'ip. ind. $((n+1)+1)!-1$ sia uguale al risultato che ho trovato: $(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!$
Come posso semplificare in modo ...
scusate c'è un esercizio nell'herstein di algebra che dice così:
Utilizzando il risultato del problema precedente, dimostrare che gli interi mod p diversi da 0 formano un gruppo rispetto alla motliplicazione modulo p
...
ma che significa? Non riesco proprio a capire l`operazione che intende fare. Se gli interi mod p sono \(\displaystyle a \equiv b \pmod{p} \) , quindi le coppie di numeri tali che sia soddisfatto il modulo p , cosa intende con moltiplicazione modulo p?
Ogni ideale primo è primario.
Dimostrazione: Sia $H$ è un ideale primo di un anello commutativo $A$. Per ogni coppia $(a,b)$ di elementi di $A$ si ha che se $ab \in H$ allora o $a\in H$ oppure $b \in H$ . Se $a \notin H$ segue necessariamente che $b=b^1 \in H$ , così $ H$ é primario.
Non sempre vale il viceversa, infatti:
Sia $p$ numero primo e $n\geq 2$ un intero, ...
Stavo seguendo sul libro la dimostrazione del seguente fatto e ho un dubbio
Sia $K$ un campo isomorfo a $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{Z}_{p}$ per qualche $p$ primo. Se $n$ è un intero non diviso da $p$ e $F$ è un campo di spezzamento di $x^{n}-1$ su $K$, allora $G_{n}(K)=\{x\in F : x^{n}=1\}$ è un sottogruppo ciclico di odine $n$ del gruppo moltiplicativo di ...
Salve a tutti. Ci sono delle formule tipo quelle per le terne pitagoriche, per determinare tutte le coppie di numeri triangolari che sommati danno come risultato un numero triangolare?
Grazie
Dati gli assiomi della teoria dei gruppi espressi senza costanti
$forall x forall y forall z (x + (y + z) = (x + y) + z)$
$exists e (forall x (x + e = e + x = x) ^^ forall y exists z (y + z = z + y = e))$
mi chiedevo quante strutture algebriche diverse si possono conteggiare $(S, +)$ che soddisfano questi assiomi
con $S = {0,1,2,3}$ e $+$ funzione binaria $f:S^2 -> S$.
Se $S$ fosse uguale a ${0,1}$ se ne conteggerebbero $2$.
Se $S$ fosse uguale a ${0,1,2}$ se ne conteggerebbero $3$.
Con ...
Così, per pura curiosità, qualcuno di voi è appassionato o interessato o ha mai dedicato qualche ora/giorno allo studio della scomposizione in fattori (primi) di un semiprimo?
Siete giunti a risultati interessanti, avete mai elaborato un vostro sistema? Una ipotesi?
Sono curioso.
Ciao.
Postereste aiutarmi con il punto i e ii?
Sia $ f = x3 + ̄2x2 − ̄2 ∈ Z7[x]$. Dopo aver calcolato $f( ̄1) e f( ̄2) $si scriva f come prodotto di polinomi monici irriducibili in Z7[x].
(i) A quali tra$ ̄3x3 +x2 − ̄1$ e$ ̄3x3 −x2 + ̄1$ `e associato f in Z7[x]?
(ii) Quanti sono i polinomi monici di grado 4 in Z7[x] che hanno sia ̄1 che ̄2 come radici?
Salve, come potrei dimostrare che se un primo divide un divisore dello zero allora questo primo divide un nilpotente? Grazie mille
Ciao, vado al punto, ho un campo (K,+,.) ed ingenuamente credevo che questo bastasse per usare la consueta algebra su elementi di K e magari anche usando la divisione esistendo l'inverso di ogni elemento di K*.
Forte di questo pensavo di poter scrivere ad esempio questi passaggi
$1/a + 1/b = (a+b)/{ab}$
Sbagliato vero?
Ok per somma ed il prodotto ma non è così immediato per la divisione, no?
Allora come ci si arriva?
Scusate la confusione, sono molto arrugginito, stavo riguardando i campi e .. Mi sono ...
Buon pomeriggio a tutti, mi trovo a dover risolvere alcuni esercizi che trattano la distribuzione dei primi. In particolare mi sono bloccata nella risoluzione di questo esercizio:
\[
\frac{n}{2}\le \log {\binom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}}
\]
Come testo sto usando questo di ELLIA:
http://dm.unife.it/philippe.ellia/Docs/ ... OnLine.pdf
Inizio partendo dal binomiale e usando il Lemma 2.38 del libro. Dopo una serie di passaggi non riesco però a concludere la dimostrazione. Qualche idea?
All'esame di stamattina hanno posto questo problema e non sono riuscito a fare gli ultimi tre punti, e mi è rimasto lì, non lo vedo proprio, qualcuno avrebbe un idea?
Sia \( G \) un gruppo di cardinalità \( p \geq 2 \), con \( p \) un numero primo, e sia \( e_G \) il suo elemento neutro.
Sia inoltre \( \mathcal{F}(G,\mathcal{A} ) = \{ f : G \rightarrow \mathcal{A} \} \)
Sia \( h \in G \) e \( f \in \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \) definiamo \( (h \star f)(g) =f(gh) \)
1. Dimostrare che \( (h ...
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Studente Anonimo
21 gen 2019, 21:01
Buonasera,
ho un esercizio in cui devo trovare il gruppo delle unita'. Tramite Il teorema dell'unita' di Dedekind ho trovato che la sua cardinalita' e' due. Ora devo trovare gli elementi.
Il mio professore ha detto che se troviamo due ideali principali che hanno stessa fattorizzazione tramite ideali primi allora facendo la divisione tra i due otteniamo l'unita', ma io non capisco come si fa la divisione. Posto un esempio da lui svolto.
$u_1 = (1 − α)^2/(1 + α) = 7 − 6α + α^2 − α^3$
In cui le fattorizzazioni dei due ideali ...
Mi aiutate a risolvere questo esercizio:
$AA x,y in NN,\ x mathcal(R) y <=> y text( è multiplo di ) x $
Devo verificare che $mathcal(R)$ è riflessiva, simmetrica e transitiva
Siano $I$ e $J$ ideali di una nello commutativo $A$ e si ponga
$[J]={x \in A | ax \in I \ per \ ogni\ a \in J}$
Si provi che tale insieme è un ideale di $A$ che contiene $I$
siano $h,k \in [J] $ allora $ah \in I$ e $ak \in I$ per ogni $a \in J$
si ha : $a(h-k)=ah-ak \in I $ ciò implica che $h-k \in [J]$
sia $ h \in [J]$ allora $ah \in I $ per ogni $a\in J$
per ogni $b \in A$ si ha : ...
Salve, devo riuscire a implementare un algoritmo (in Java, ma questo non è rilevante nel mio problema) che calcoli una sequenza di numeri interi (https://oeis.org/A036569) generata dalla seguente formula:
a(0)=1, poi a(s) = a(s-r)*b(r) per r tale che C(r, 2) < s
Buonasera,
posto quì, non so se è la sezione più adatta per risolvere il mio problema, comunque vi riporto il mio problema:
ho il seguente sottoinsieme \(\displaystyle P= \{ p(x) \in \mathbb{R}_4[x] : p(x)\text{ è divisibile per } x^2-x-2 \} \) devo determinare i polinomi $p(x)$.
Vi mostro il mio procedimento:
sia $p(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0$ e $q(x)=x^2-x-2$, effettuando la divisione mi ritrovo il seguente resto $R(x)=(a_4+a_3)x^3+(2a_4+a_2)x^2+a_1x+a_0$.
Impongo $R(x)=0$, affinche il resto sia ...
Salve, ho un dubbio riguardo gli insiemi e il concetto di insieme universo.
Secondo la definizione di insieme $ X $ è determinato dalla lista dei suoi elementi a due a due distinti, ovvero vuol dire che in un insieme non possono esistere due elementi uguali, e che devono essere tutti distinti.
Secondo la definizione di insieme universo, è quel insieme che contiene tutti gli elementi e tutti gli insiemi esistenti, ma qua mi sorge un dubbio. Quando per esempio nella rappresentazione ...
Buongiorno a tutti! Ho trovato il seguente esercizio:
Quanti sono i modi di distribuire $d$ palle nere in $n$ scatole diverse, ciascuna delle quali può contenere al massimo $m$ palle?
Non sono ancora riuscito a trovare una formula per esprimere il risultato, ma per il momento ho fatto questo: chiamo le scatole $S_1,... ,S_n$ e le disegno una di fianco all'altra come colonne con $m$ posti ciascuna. Così ho un rettangolo con ...
Salve a tutti. Mi sto barcamenando nella preparazione di un esame di algebra superiore, che riguarda annelli commutativi, noetheriani, moduli ecc.. Il problema però è che ho davvero delle difficoltà a comprenderli, per cui mi risulta difficile assimilarli. Ho bisogno di capire in che modo io possa capire queste "strutture". Qualche consiglio?? Grazie a chi risponderà
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