Varietà algebrica finita
Sia $K$ campo algebricamente chiuso.
$A=k[x_1,...,x_n]$ anello.
$I\subsetA$ ideale.
Supponiamo che la varietà associata $\mathbb{V}(I)$ sia finita.
Voglio dimostrare che allora \(A/I\) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.
Per un risultato precedente so che \(A/I\) come $K$-spazio vettoriale ha dimensione finita.
La mia domanda è: basta questo per concludere che è isomorfo a una somma diretta di campi come anello?
Io pensavo di no ma il mio libro di testo non spende molte parole in proposito...
Qualcuno può darmi una mano?
$A=k[x_1,...,x_n]$ anello.
$I\subsetA$ ideale.
Supponiamo che la varietà associata $\mathbb{V}(I)$ sia finita.
Voglio dimostrare che allora \(A/I\) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.
Per un risultato precedente so che \(A/I\) come $K$-spazio vettoriale ha dimensione finita.
La mia domanda è: basta questo per concludere che è isomorfo a una somma diretta di campi come anello?
Io pensavo di no ma il mio libro di testo non spende molte parole in proposito...
Qualcuno può darmi una mano?
Risposte
"Finita" significa "fatta da un numero finito di punti"? Se sì, stai dicendo che $V(I)$ è \(\bigcup V(P_i)\), cioè è un'unione di punti chiusi che corrispondono a massimali di $A$; adesso, \(A/I\) è un prodotto di campi perché ciascun $I(P_i)$ è massimale, e per il teorema cinese dei resti.
Ciao caulacau, intanto grazie per la risposta.
Sì.
Però non mi torna quanto dici dopo.
Cioè il tuo discorso mi tornerebbe se, partendo da $V=P_1\uu...\uuP_s$ (i $P_i$ sono punti), stessi studiando l'anello \(A/\mathbb{I}(V)\).
Allora \(\mathbb{I}(V)=\mathbb{I}(\bigcup P_i)=\bigcap \mathbb{I}(P_i)\) dove ogni \(\mathbb{I}(P_i)\) è massimale.
Quindi in questo caso \(A/\mathbb{I}(V)=A/\bigcap \mathbb{I}(P_i)\) e per t.c.r. è quindi isomorfo a \(\bigoplus A/\mathbb{I}(P_i)\) che per come sono fatti questi massimali sarà proprio isomorfo a $K^s$.
Tuttavia la mia situazione è diversa.
Io parto da $I\subsetA$ ideale, da cui costruisco $mathbb{V}(I)$ che suppongo finita, e voglio determinare la struttura di anello di \(A/I\) (non di \(A/\mathbb{I}(\mathbb{V}(I))=A/\sqrt{I}\) che è il problema sopra).
Faccio un esempio per chiarire il mio problema:
$A=\mathbb{C}[x,y]$
$I=(x^2,y)$
Ottengo che $mathbb{V}(I)={(0,0)}$, ma $I$ non è massimale né scrivibile come intersezione finita di massimali, quindi non vale il ragionamento di sopra.
Si vede abbastanza facilmente che \(A/I \simeq \mathbb{C}^2 \) come C-spazio vettoriale
(Ad esempio con base \({\overline{1},\overline{x}}\))
Ma che struttura ha questo quoziente come anello?
"caulacau":
"Finita" significa "fatta da un numero finito di punti"?
Sì.
Però non mi torna quanto dici dopo.
Cioè il tuo discorso mi tornerebbe se, partendo da $V=P_1\uu...\uuP_s$ (i $P_i$ sono punti), stessi studiando l'anello \(A/\mathbb{I}(V)\).
Allora \(\mathbb{I}(V)=\mathbb{I}(\bigcup P_i)=\bigcap \mathbb{I}(P_i)\) dove ogni \(\mathbb{I}(P_i)\) è massimale.
Quindi in questo caso \(A/\mathbb{I}(V)=A/\bigcap \mathbb{I}(P_i)\) e per t.c.r. è quindi isomorfo a \(\bigoplus A/\mathbb{I}(P_i)\) che per come sono fatti questi massimali sarà proprio isomorfo a $K^s$.
Tuttavia la mia situazione è diversa.
Io parto da $I\subsetA$ ideale, da cui costruisco $mathbb{V}(I)$ che suppongo finita, e voglio determinare la struttura di anello di \(A/I\) (non di \(A/\mathbb{I}(\mathbb{V}(I))=A/\sqrt{I}\) che è il problema sopra).
Faccio un esempio per chiarire il mio problema:
$A=\mathbb{C}[x,y]$
$I=(x^2,y)$
Ottengo che $mathbb{V}(I)={(0,0)}$, ma $I$ non è massimale né scrivibile come intersezione finita di massimali, quindi non vale il ragionamento di sopra.
Si vede abbastanza facilmente che \(A/I \simeq \mathbb{C}^2 \) come C-spazio vettoriale
(Ad esempio con base \({\overline{1},\overline{x}}\))
Ma che struttura ha questo quoziente come anello?
"jinsang":
Faccio un esempio per chiarire il mio problema:
$A=C[x,y]$
$I=(x^2,y)$
Ottengo che $V(I)={(0,0)}$, ma I non è massimale né scrivibile come intersezione finita di massimali, quindi non vale il ragionamento di sopra.
Si vede abbastanza facilmente che \(A/I≃\mathbb{C}^2\) come C-spazio vettoriale
(Ad esempio con base $overline{1}, overline{x}$)
Ma che struttura ha questo quoziente come anello?
In effetti \(A/I\) come anello non può essere somma diretta di campi, perché ha un nilpotente non banale, $overline{x}$.
Quindi evidentemente questo:
"jinsang":è falso.
Voglio dimostrare che allora \(A/I\) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.
Ci sarà un errore nel testo.
Attenzione: normalmente per varietà si intende uno schema ridotto \(\displaystyle+\) "altro"; quindi, limitandoci alle varietà affini, l'ideale \(\displaystyle I\) associato a una varietà \(\displaystyle V\) sarà privo di elementi nilpotenti, per cui (memoria mia non mi tradire) \(\displaystyle\sqrt{I}=I\). Applicando il teorema Cinese del Resto si conclude.
Credo che un problema sia fare confusione tra costruzioni universali in categorie diverse:
nei gruppi abeliani, ci sono biprodotti (perché una categoria di moduli è sempre abeliana).
la categoria degli anelli però non lo è (per esempio perché non è bilanciata: ci sono epi-mono che non sono iso, ad esempio l'inclusione di un anello integro nel suo campo delle frazioni); e non ha nemmeno biprodotti, perché il prodotto di due anelli è l'anello che ha come carrier $R\times S$, e dove il prodotto è definito sulle componenti; ma il coprodotto è il prodotto tensore di \(\mathbb Z\)-moduli (gli anelli sono esattamente le \(\mathbb Z\)-algebre unitarie interne a \(\text{Mod}(\mathbb Z)\)). E' ora piuttosto facile dimostrare che il prodotto di anelli non è isomorfo al coprodotto: per esempio fissa due numeri primi diversi $p,q$; allora
\[
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\not\cong
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}
\]
(LHS ha $pq$ elementi, ma RHS ne ha... uno!).
Bisogna che ci intendiamo bene su cosa vorresti dimostrare, perciò, perché la domanda
non è chiara.
nei gruppi abeliani, ci sono biprodotti (perché una categoria di moduli è sempre abeliana).
la categoria degli anelli però non lo è (per esempio perché non è bilanciata: ci sono epi-mono che non sono iso, ad esempio l'inclusione di un anello integro nel suo campo delle frazioni); e non ha nemmeno biprodotti, perché il prodotto di due anelli è l'anello che ha come carrier $R\times S$, e dove il prodotto è definito sulle componenti; ma il coprodotto è il prodotto tensore di \(\mathbb Z\)-moduli (gli anelli sono esattamente le \(\mathbb Z\)-algebre unitarie interne a \(\text{Mod}(\mathbb Z)\)). E' ora piuttosto facile dimostrare che il prodotto di anelli non è isomorfo al coprodotto: per esempio fissa due numeri primi diversi $p,q$; allora
\[
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\not\cong
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}
\]
(LHS ha $pq$ elementi, ma RHS ne ha... uno!).
Bisogna che ci intendiamo bene su cosa vorresti dimostrare, perciò, perché la domanda
basta questo per concludere che è isomorfo a una somma diretta di campi come anello?
non è chiara.
"j18eos":
Attenzione: normalmente per varietà si intende uno schema ridotto \( \displaystyle+ \) "altro".
Non conosco la definizione di schema, il corso che ho seguito è un corso di algebra, non di geometria algebrica.
Abbiamo solo toccato alcuni risultati basilari legati alla geometria algebrica (credo).
Cioè partendo da \(A=K[x_1,...,x_n]\) e \(S \subset A\) sottoinsieme abbiamo definito $mathbb{V}(S)={\alpha \in K^n | f(\alpha)=0 \ \ \forall f \in S }$
Poi abbiamo visto che $mathbb{V}(S)=mathbb{V}((S))$ e che quindi potevamo costruire le nostre varietà a partire da ideali.
Dunque ci siamo chiesti se fosse possibile invece partendo da una varietà associarvi un ideale.
Allora abbiamo definito $mathbb{I}(V)={f \in A | f(\alpha)=0 \ \ \forall \alpha \in V}$.
Abbiamo lavorato un po' con queste definizioni, deducendo varie proprietà che non sto a elencare.
Poi abbiamo enunciato e dimostrato il Nullstellensatz nelle due forme, la forma forte è in effetti quella che richiami qui:
"j18eos":
limitandoci alle varietà affini, l'ideale \( \displaystyle I \) associato a una varietà \( \displaystyle V \) sarà privo di elementi nilpotenti, per (memoria mia non mi tradire) \( \displaystyle\sqrt{I}=I \).
Cioè, con le mie notazioni, stai dicendo $mathbb{I}(mathbb{V}(I))=sqrt(I)$ (cosa che vale per $K$ alg. chiuso).
Dunque con le definizioni di sopra, vorrei risolvere il seguente esercizio:
"jinsang":
Sia $ K $ campo algebricamente chiuso.
$ A=k[x_1,...,x_n] $ anello.
$ I\subsetA $ ideale.
Supponiamo che la varietà associata $ \mathbb{V}(I) $ sia finita.
Voglio dimostrare che allora \( A/I \) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.
Ci tengo a precisare: nell'esercizio sto considerando \( A/I \) e NON \( A/\mathbb{I}(\mathbb{V}(I))=A/\sqrt{I} \), come già ho detto nel mio primo messaggio di risposta a caulacau.
"jinsang":
Ciao caulacau, intanto grazie per la risposta.
[quote="caulacau"]"Finita" significa "fatta da un numero finito di punti"?
Sì.
Però non mi torna quanto dici dopo.
Cioè il tuo discorso mi tornerebbe se, partendo da $ V=P_1\uu...\uuP_s $ (i $ P_i $ sono punti), stessi studiando l'anello \( A/\mathbb{I}(V) \).
Allora \( \mathbb{I}(V)=\mathbb{I}(\bigcup P_i)=\bigcap \mathbb{I}(P_i) \) dove ogni \( \mathbb{I}(P_i) \) è massimale.
Quindi in questo caso \( A/\mathbb{I}(V)=A/\bigcap \mathbb{I}(P_i) \) e per t.c.r. è quindi isomorfo a \( \bigoplus A/\mathbb{I}(P_i) \) che per come sono fatti questi massimali sarà proprio isomorfo a $ K^s $.
Tuttavia la mia situazione è diversa.
Io parto da $ I\subsetA $ ideale, da cui costruisco $ mathbb{V}(I) $ che suppongo finita, e voglio determinare la struttura di anello di \( A/I \) (non di \( A/\mathbb{I}(\mathbb{V}(I))=A/\sqrt{I} \) che è il problema sopra).
Faccio un esempio per chiarire il mio problema:
$ A=\mathbb{C}[x,y] $
$ I=(x^2,y) $
Ottengo che $ mathbb{V}(I)={(0,0)} $, ma $ I $ non è massimale né scrivibile come intersezione finita di massimali, quindi non vale il ragionamento di sopra.
Si vede abbastanza facilmente che \( A/I \simeq \mathbb{C}^2 \) come C-spazio vettoriale
(Ad esempio con base \( {\overline{1},\overline{x}} \))
Ma che struttura ha questo quoziente come anello?[/quote]
E infine ho concluso che, in generale, non è vero che \(A/I\) è somma diretta di campi.
Scusate la mia ignoranza, io spero che questo esercizio si possa risolvere con strumenti che conosco, e spero di non aver detto un sacco di stupidaggini.
Vi ringrazio per l'aiuto.
Un esempio ancora più facile: $I=(X^2)$ ideale di $k[X]$. Ovviamente $V(I)={0}$ è finito. Ma $k[X]//I$ non è somma diretta di campi (non è ridotto).
Quando dici che il libro non spende molte parole in proposito, a che libro ti riferisci? Che parole spende esattamente?
Quando dici che il libro non spende molte parole in proposito, a che libro ti riferisci? Che parole spende esattamente?
"Martino":
Un esempio ancora più facile: $ I=(X^2) $ ideale di $ k[X] $. Ovviamente $ V(I)={0} $ è finito. Ma $ k[X]//I $ non è somma diretta di campi (non è ridotto).
Quando dici che il libro non spende molte parole in proposito, a che libro ti riferisci? Che parole spende esattamente?
Il libro a cui mi riferisco lo ha scritto il professore titolare del corso, per ora lo ha reso disponibile in pdf a noi studenti perché deve ancora uscire in versione cartacea, e ci ha avvertiti che non è la stesura finale e potevano essere presenti degli errori.
Relativamente a questo esercizio, lui fa solo il caso in cui I è radicale (con Nullstellensatz+TCR), a questo punto io credo si sia semplicemente dimenticato di mettere quest'ipotesi.
Dice poi altre cose sull'anello \(A/I\) che non richiedono che $I$ sia radicale, ad esempio che è un $K$-sp. vett. di dimensione finita, e che ha dimensione di Krull 0.
"jinsang":Cioè, con le mie notazioni, stai dicendo $mathbb{I}(mathbb{V}(I))=sqrt(I)$ (cosa che vale per $K$ alg. chiuso)[...][/quote]No, stavo proprio affermando l'ipotesi seguente:
[...][quote="j18eos"]limitandoci alle varietà affini, l'ideale \( \displaystyle I \) associato a una varietà \( \displaystyle V \) sarà privo di elementi nilpotenti, per (memoria mia non mi tradire) \( \displaystyle\sqrt{I}=I \).
\[
x\in I,\exists n\in\mathbb{N}_{\geq1}\mid x^n=0\Rightarrow x=0
\]
(l'ideale \(\displaystyle I\) sia privo di elementi nilpotenti).
L'essere \(\displaystyle I=\sqrt{I}\) non è equivalente all'assenza di elementi nilpotenti in \(\displaystyle I\); ma è equivalente all'assenza di elementi nilpotenti nell'anello delle funzioni regolari di \(\displaystyle V(I)\), che è una delle proprietà caratterizzanti le varietà (algebriche) affini.
"j18eos":Cioè, con le mie notazioni, stai dicendo $ mathbb{I}(mathbb{V}(I))=sqrt(I) $ (cosa che vale per $ K $ alg. chiuso)[...][/quote]No, stavo proprio affermando l'ipotesi seguente:
[quote="jinsang"][...][quote="j18eos"]limitandoci alle varietà affini, l'ideale \( \displaystyle I \) associato a una varietà \( \displaystyle V \) sarà privo di elementi nilpotenti, per (memoria mia non mi tradire) \( \displaystyle\sqrt{I}=I \).
\[ x\in I,\exists n\in\mathbb{N}_{\geq1}\mid x^n=0\Rightarrow x=0 \]
(l'ideale \( \displaystyle I \) sia privo di elementi nilpotenti).
L'essere \( \displaystyle I=\sqrt{I} \) non è equivalente all'assenza di elementi nilpotenti in \( \displaystyle I \); ma è equivalente all'assenza di elementi nilpotenti nell'anello delle funzioni regolari di \( \displaystyle V(I) \), che è una delle proprietà caratterizzanti le varietà (algebriche) affini.[/quote]
Sì scusa hai ragione, avevo letto male.
Comunque non ci siamo addentrati molto nella geometria algebrica, quindi potrei aver travisato altre cose che mi avete detto perché non conosco l'argomento.
Tranquill*;
comunque sia, poiché il testo parla di varietà algebrica e non di insieme degli zeri di un ideale \(\displaystyle I\): devi assumere che \(\displaystyle\sqrt{I}=I\) (ideale ridotto).
Come tu hai affermato, ci saranno degli errori nella bozza non ancòra corretti;
prova a chiedere al docente qualche dettaglio, oppure a fargli presente quanto hai chiesto a noi.
[ot]Se avrai a che fare con la geometria algebrica: sappi che gli schemi con finiti punti non sono per nulla banali.
E i giochetti in cui "l'ideale associato a un sottoschema chiuso" non è ridotto, sono di fondamentale importanza. 
[/ot]
comunque sia, poiché il testo parla di varietà algebrica e non di insieme degli zeri di un ideale \(\displaystyle I\): devi assumere che \(\displaystyle\sqrt{I}=I\) (ideale ridotto).
Come tu hai affermato, ci saranno degli errori nella bozza non ancòra corretti;
prova a chiedere al docente qualche dettaglio, oppure a fargli presente quanto hai chiesto a noi.
[ot]Se avrai a che fare con la geometria algebrica: sappi che gli schemi con finiti punti non sono per nulla banali.
E i giochetti in cui "l'ideale associato a un sottoschema chiuso" non è ridotto, sono di fondamentale importanza. [/ot]
Forse arrivo tardi a questa festa, ma ti rendo noto nel caso ti interessasse che dato un campo $k$ non necessariamente algebricamente chiuso e data una $k$-algebra $A$ di tipo finito (cioè quoziente di un anello di polinomi per un ideale) , sono equivalenti:
- il modulo dei differenziali di Kahler $\Omega_(A|k)$ è zero
-$A$ è un prodotto finito di estensioni separabili di $k$
- Spec $A$ $\rightarrow$ Spec $k$ è un morfismo étale
- il modulo dei differenziali di Kahler $\Omega_(A|k)$ è zero
-$A$ è un prodotto finito di estensioni separabili di $k$
- Spec $A$ $\rightarrow$ Spec $k$ è un morfismo étale
Vero, ma non stavamo parlando nel linguaggio degli schemi.
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