Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buongiorno.
In Probabilità , come spiegazione della Sigma Algebra, ad un certo punto si parla di unioni numerabili di insiemi e unioni finite di insiemi.
Questo perchè, si dice, che le unioni numerabili di insiemi sono tutte contenute nella Sigma-Algebra.
Per dimostrare che anche le unioni finite appartengono alla Sigma-Algebra, si prende l'ultimo elemento (che è un insieme) dell'unione e lo ripeto per un infinità numerabile di volte.
L'unione non cambia poichè ho ripetuto sempre lo stesso ...
Ciao!
il prof di geometria 3 durante un esempio nel quale ha mostrato che $y^3-x^2=0$ è una curva irriducibile in $CC[x,y]$ passando per un campo di quozienti.
Non basta la seguente osservazione?
$CC[x,y]=(CC[x])[y]$ ed essendo $y^3-x^2 in ( CC[x])[y]$ di grado $3$ esso sarebbe riducibile solo se per qualche polinomio $p(x) in CC[x]$, $p(x)^3-x^2=0 => p(x)^3=x^2 => 3partialp(x)=2$ da cui l'assurdo
Quali sono gli intercampi corrispondenti ai relativi gruppi di Galois dei polinomi $x^3-1$ ed $x^5-1$?
Buongiorno,
non riesco a risolvere questa equazione diofantea attraverso la divisione euclidea:
$ 56x-27y=175 $; $ x,yin Z $
Risolvo l'equazione associata:
$ 56x'-27y'=1 $
Divisone euclidea:
$ 56 = 2*27+2 $
$ 27 = 13*2+1 $
$ 2 = 2 *1 $
$ 1 = 27 - 13 * 2 $
$ 2 = 56-2*27 $
$ 1 = 27*27-13*56 $
Però, arrivato a questo punto ho i segni dei coefficienti "invertiti", e quindi non riesco a continuare.
Sia $K$ sottogruppo normale di $H$ sottogruppo normale di $G$
$K=<(12),(34)>$
$H=<Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)>$
$G=sym(4)$
Dimostrare che $K$ non è normale in $G$.
Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua e non riesco a dimostrare la tesi.
L'ordine dei gruppi è:
$|K|=2$, $|H|=4$ e $|G|=24$
Dovrei infatti dimostrare uno dei seguenti fatti:
$gK!=Kg$ per qualche ...
Ciao a tutti,
sto studiando i gruppi e sto trovando delle difficoltà nel verificare se le mie affermazioni siano correttamente impostate. Vi allego sotto il mio problema:
Nel gruppo simmetrico \(\displaystyle S_5 \) è assegnato un 3-ciclo \(\displaystyle \sigma \) e una trasposizione \(\displaystyle \pi \) disgiunti. Determinare il sottoinsieme H di \(\displaystyle S_5 \) costituito da tutti i prodotti finito di \(\displaystyle \sigma \) e di \(\displaystyle \pi \) e verificare che ...
Siano $f(x)$ e $g(x)$ due elementi di $QQ[x]$ il cui prodotto $p(x)=f(x)g(x)$ appartiene a $ZZ[x]$. Dimostrare che il prodotto di uno qualsiasi dei coefficienti di $f(x)$ e di uno qualsiasi dei coefficienti di $g(x)$ da un numero intero.
Ho cercato di utilizzare la relazione che c'è tra la fattorizzazione in $QQ[x]$ e quella in $ZZ[x]$: esistono due elementi $r_1,r_2 in QQ$ tali ...
Su Wikipedia trovo scritto che tutti i numeri che possono essere scritti usando un numero finito di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, ed estrazioni di radice ennesima con indice intero positivo, sono anch' essi algebrica, allora ad esempio $sqrt(1-sqrt(2))$, è algebrico
Sono confuso, potete darmi qualche chiarimento a riguardo, grazie!
Buonasera,
sto leggendo gli appunti della professoressa di algebra inerenti alla proprietà di compatibilità della relazione di equivalenza.
Al lezione ci fece osservare che da questa definizione è possibile costruire operazioni e strutture algebriche.
Non mi è molto chiara questa osservazione, cioè dalla definizione:
Una relazione di equivalenza $R$ in $S$ dicesi compatibile con una operazione binaria $beta$ in $S$, se l'essere ...
Buonasera,
Devo risolvere un esercizio che dice: siano A e B anelli neotheriani (Anelli in cui ogni catena di ideali è finita)
Provare che AxB è un anello neotheriano.
Secondo voi come posso provarlo?
Buonasera sto leggendo la dimostrazione del teorema di Bézout, vi riporto l'enunciato e la dimostrazione
Siano $a_1,...,a_n$ interi non tutti nulli. Posto $d=M.C.D.(a_1,...,a_n)$ risulta
d è il minimo numero naturale del tipo $a_1x_1+....a_nx_n$ con ogni $x_i in ZZ$
Prima di iniziare la lettura, quello che è in corsivo l'ho aggiunto io "dimostra l'affermazione precedente".
Dimostrazione:
Sia $S={a_1x_1+....a_nx_n\:\ x_i in ZZ\,\ a_1x_1+....a_nx_n ge 1}$.
Risulta $S ne emptyset$ infatti esistono necessariamente ...
Salve, ho un esercizio che dice:
Sia $A$ l'insieme dei numeri interi di $ZZ$. Si definisca sull'insieme $A$ la relazione $R$ definita nel modo segunte:
$a R b$ se e solo se $a^2 - b^2 $ è multiplo di 4 $AA a,b in A$
Calcola la classe di equivalenza di 3.
Mi chiede anche di verificare che $R$ sia una relazione di equivalenza ma ci sono già riuscito.
Grazie in anticipo
Esercizi su polinomi e serie di potenza formali:
1) Sia $R$ un anello commutativo e sia $p(x)$ un elemento di $R[x]$. Dimostradre che $p(x)$ è nilpotente se e solo se tutti i suoi coefficienti $a_0, a_1, ... , a_n$ sono elementi nilpotenti di $R$.
2) Sia $R$ un anello commutativo unitario e sia $R[[x]]$ l'anello delle serie di potenze formali a coefficienti in $R$. Un elemento $p(x)$ di ...
1) If $≤$ is a partial order on a set $A$, show that there is a total order $ <=^(**) $ on $A$ such that $a ≤ b => a <=^(**) b$. (Hint: Use Zorn’s lemma.)
2) If $L$ is a lattice we say that an element $a in L$ is join irreducible if $ a=b vv c $ implies $a = b$ or $a = c$. If $L$ is a finite lattice show that every element is of the form $a_1 vv ··· vv a_n$, where each ...
L'esercizio è diviso in tre punti:
1) Dimostrare che $2ZZ$ e $3ZZ$ non sono isomorfi.
2) Dimostrare che $QQ[x]$ e $ZZ[x]$ non sono isomorfi.
3) Trovare tutte le immagini degli omomorfismi di $ZZ$.
Il punto (3) immagino chieda di trovare tutti gli ideali di $ZZ$ (che quozientando danno i rappresentanti delle classi di isomorfismo delle immagini degli omomorfismi di $ZZ$). E questo l'ho risolto, tutti gli ideali ...
Se Galois non fosse stato a conoscenza delle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, avrebbe potuto ugualmente formulare la sua teoria?
Salve a tutti. Stavo dando un'occhiata alla formula di Faulhaber riguardante la somma delle potenze p-esime dei primi n interi \(S_p(n)=\sum_{k=1}^n k^p\). Così ho cercato in rete una dimostrazione della nullità dei numeri di Bernoulli dispari maggiori uguali a tre che non coinvolgesse argomenti di analisi. Mi sono imbattuto qui: https://www.maa.org/sites/default/files/images/images/upload_library/22/2975368.pdf.bannered.pdf. L'idea dell'articolo è che in base alla formula di faulhaber:
\[ S_p(n)= \frac{1}{p+1}\sum_{k=0}^n k^p\binom{p+1}{k}B_k n^{p+1-k} \]
è osservare ...
Consideriamo quello che il libro di testo che sto seguendo chiama "the ring of integers in the quadratic field" $ ZZ(w) $ con $w$:
$ w={ ( (1+ sqrt(D)) /2 \ \ \ \ \ se \ D-=1(mod4) ),( sqrt(D) \ \ \ \ \ al trimenti ):} $
Sia $ f in NN $ un intero positivo, consideriamo il sottoanello $ ZZ(fw) $.
1) Dimostrare che l'indice di $ ZZ(fw) $ in $ ZZ(w) $ visti come gruppi con l'addizione è uguale a $f$, in simboli $ [ZZ(w) : ZZ(fw)]=f $ .
2) Dimostrare viceversa che $ ZZ(fw) $ è l'unico sottoanello ...
Salve ragazzi, avrei un dubbio in merito ad un argomento, che proprio non riesco a risolvere.
Sia A campo e B sottocampo di A. Sia c appartenente ad A.
Si definisce B[c] come il sottoanello generato da B U {c}.
Allo stesso modo si definisce B(c) come il sottocampo generato da B U {c}.
Il primo è il sottoanello delle espressioni razionali intere di un campo. Il secondo: il sottocampo delle espressioni razionali fratte.
Risulta poi provato che se c è algebrico su B, allora B[c] = B(c).
Cercavo ...
Ad esempio se z ( appartenente al campo C ) è radice di un polinomio irriducibile in R ,anche il coniugato di z è radice. Tale proprietà vale per tutti i campi ? Esempio in Q il polinomio irriducibile $ x^2 -3 $ ha come radici in R la coppia +/-$ sqrt (3) $
Cioè le radici del sopracampo del sottocampo sono sempre in coppia (le altre eventuali radici appartengono al sottocampo).
Grazie
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