Periodo di un elemento

[sofisofi3]

Buonasera, non so come risolvere il seguente esercizio:

Sia $circ$ l’operazione su $ZZ$ definita da:

$ a circ b = { ( a+b , text(, se ) a text( è pari)),( a-b , text(, se ) a text( è dispari)):} $.

Mostrare che $ (ZZ, circ) $ è un gruppo e osservare che esistono elementi di periodo finito il cui prodotto ha periodo infinito.

Sono riuscita a fare la prima parte, ovvero dimostrare che $ (ZZ, circ) $ è gruppo, facendo vedere che l'operazione è associativa, che ogni elemento è simmetrizzabile e che esiste l'elemento neutro ( $ u=0 $ ).
Non riesco a capire come fare la seconda parte però...
Riuscite a darmi un consiglio?
Grazie!!

[l'abatefarina]

beh, se ho capito bene la legge, ogni elemento dispari ha periodo 2 mentre ogni elemento pari ha periodo infinito
il prodotto di due elementi dispari è pari

[milos144]

Quindi per come é definito

$(Z,•)=⟨1,2∣1^(∙2)=(1∙2)^(∙2)=0⟩$

Cioé, (Z,∙) é il gruppo diedrale infinito