Gruppi di galois e domande sull'esercizio.

[Studente Anonimo]

Un esercizio di preparazione dell'esame e avrei un paio di domande su alcuni punti

a) Dimostra che \(f(t) = t^4 -4t^2+2 \) è irriducibile in \( \mathbb{Q}[t] \).
b) Dimostra che \( \alpha = \sqrt{2+\sqrt{2}} \) è una radice di \(f(t) \) e trova tutte le radici di \(f(t)\).
c) Identifica \( \mathbb{Q}[\alpha] \) con un quoziente di \( \mathbb{Q}[t] \) e spiega rigorosamente perché è un campo
d) Dimostra che \( \mathbb{Q}[\alpha] \) è un estensione algebrica di \( \mathbb{Q} \).
e) Calcola il grado dell'estensione \( [ \mathbb{Q}[\alpha]: \mathbb{Q} ] \)
f) Calcola l'inverso di \( \alpha \) e deduci che il sotto-campo \( \mathbb{Q}[\alpha] \subset \mathbb{R} \) è un campo di decomposizione di \(f(t) \).
g) Identifica il gruppo di Galois \( \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\alpha]/\mathbb{Q}) \)
h) Stabilire la lista completa dei sottocampi \( \mathbb{Q} \subset F \subset \mathbb{Q}[\alpha] \).

a) Nessuna domanda

Abbiamo che \(f \) è irriducibile in \( \mathbb{Q}[t] \) se e solo se è irriducibile in \( \mathbb{Z}[t] \) grazie al teorema di Gauss, inoltre per il criterio di Eisenstein, con \( 2 \in \mathbb{Z} \) abbiamo che \(f\) è irriducibile in \( \mathbb{Z}[t] \).

b) Nessuna domanda

Effettuando la sostituzione \( x=t^2 \) otteniamo quattro radici \( \alpha \) definita come sopra, \( \beta= - \sqrt{2+\sqrt{2}} \), \( \gamma = \sqrt{2-\sqrt{2}} \) e \( \delta = - \sqrt{2-\sqrt{2}} \).

c) Alcune domande

Alternativa 1:
Poiché \( \mathbb{Q}[t] \) è un anello principale, e \( (f) \subset \ker ev_{\alpha} \) allora risulta che \( \ker ev_{\alpha} = (f) \) dunque deduciamo grazie al teorema d'isomorfismo che \[ \mathbb{Q}[t]/(f) \cong \mathbb{Q}[\alpha] \]
Inoltre abbiamo che siccome \(f\) è irriducibile abbiamo che l'ideale principale \( (f) \) è massimale e dunque abbiamo che siccome il quoziente di un anello per un ideale massimale risulta che è un campo.

Alternativa 2:
Abbiamo che \( \alpha \) è algebrico su \( \mathbb{Q} \), inoltre \(f\) è il polinomio minimale annullatore di \( \alpha \), pertanto
\[ \mathbb{Q}[t]/(f) \cong \mathbb{Q}[\alpha] \cong \mathbb{Q}(\alpha) \]
e siccome \( \mathbb{Q}[\alpha] \) è isomorfo ad un campo (il suo campo delle frazioni) risulta essere un campo

Domanda 1: Vanno bene entrambe le alternative?
Domanda 2:
Nel libro c'è una proposizione appunto che dice quanto segue
Sia \( \alpha \in L \) un elemento algebrico su \(K\) allora
1) \( K[t]/(m_{\alpha}) \cong K[\alpha] \)
2 ) \(K[\alpha] \cong K(\alpha) \)
3) \( m_{\alpha} \) è irridutibile
4) \( [K(\alpha) : K] = \deg m_{\alpha} \)

La mia domanda è questa. Siccome \( K(\alpha) \) è il campo delle frazioni di \( K[\alpha] \) ed è a lui isomorfo non possiamo dedurre che \(K[\alpha]=K(\alpha) \)? E dedurre pertanto che è un campo. Oppure sono isomorfi come anelli ma non come campi?
Se \(K[t] \) è un anello principale però è sempre vero che \(K[\alpha] \) è un campo?
Inoltre c'è una nota che dice:
Alcune volte \( K[\alpha]=K(\alpha) \), quando il nucleo di \( ev_{\alpha} \) è un ideale massimale di \(K[t] \). Per questo è sufficiente trovare un polinomio \(K[t] \) irriducibile che annulla \( \alpha\) (il polinomio minimale).

Peranto mi chiedo, è vero che se ho un elemento algebrico \( \alpha \in L \) su \(K\) allora \( K[\alpha] =K(\alpha) \) ed è un campo ?
Infatti so che esiste un polinomio minimale \( m_{\alpha} \) che è irriducibile per definizione di polinomio minimale. Inoltre il nucleo della funzione "valutazione" in \( \alpha \) è \((m_{\alpha}) \) che è un ideale massimale, pertanto \( K[\alpha]=K(\alpha) \), inoltre poiché \( m_{\alpha} \) è irriducibile \( K[t]/(m_{\alpha}) \) è un campo e siccome \( \alpha \) è algebrico abbiamo che è isomorfo a \( K[\alpha] \).

Qui sorgono altre domande pensando che ho sbagliato:
D3: È sempre vero che \( K[t]/(f) \cong K[a]\), dove \(f\) è un polinomio qualsiasi in \(K[t] \), non necessariamente irriducibile, ed \(a \) è una sua radice?
D4: È sempre vero che \( K[t]/(f) \) è un campo quando \(f \) è irriducibile?

e+d) Domandina

Alternativa 1)
Abbiamo che, essendo \(f\) il polinomio minimale di \( \alpha \), ed essendo \(f\) di grado \(4\) risulta che
\[ [\mathbb{Q}[\alpha]:\mathbb{Q}]= [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 4 \]
Pertanto \( \mathbb{Q}[\alpha] \) è algebrico su \( \mathbb{Q} \) poiché è di grado finito.

Mi domandavo se l'alternativa 2) andasse bene:
Abbiamo, siccome \( \alpha \) è algebrico su \( \mathbb{Q} \), che \( \mathbb{Q}[\alpha] =\mathbb{Q}(\alpha) \), inoltre abbiamo che che \( \mathbb{Q}(\alpha) \) è algebrico su \( \mathbb{Q} \).

- Mi domandavo inoltre, in questo caso abbiamo che \( \mathbb{Q}[\alpha] =\mathbb{Q}(\alpha) \). Ma in un caso generale \( K[\alpha] \cong K(\alpha) \), posso concludere che essendo \(K(\alpha) \) algebrico su \(K\) (con \( \alpha \) algebrico) allora essendo \(K[\alpha] \) isomorfo anch'esso è un'estensione algebrica?

f) Una domandina:

Domanda: Quando si parla di campo di rottura o campo di decomposizione qual'è la differenza, se ve ne sono?

\( \alpha^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} \in \mathbb{Q}[\alpha] \)
Inoltre \( \alpha^2 = \sqrt{2} \in \mathbb{Q}[\alpha] \), pertanto \( \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{Q} \) e tutte e quattro le radici di \(f\) sono in \( \mathbb{Q}[\alpha] \) dunque \(f\) scinde in \[ f(t)=(t-\alpha)(t-\beta)(t-\gamma)(t-\delta) \in \mathbb{Q}[\alpha][t] \]

Per g) ed h) non ho troppa idea onestamente, qualcuno avrebbe qualche hint?
Edit:
Cioé qualche idea ce l'ho nel senso per g) so che il gruppo di Galois è un sotto gruppo di \(S_4 \) il cui ordine del gruppo divide il grado dell'estensione (mi pare valga sempre). Ma qui non saprei bene come fare a trovare qual'è il gruppo di Galois corrispondente.
Per h) userei il teorema di corrispondenza ma ho bisogno di risolvere g) prima, so che i sotto gruppi del gruppo di Galois sono in corrispondenza biunivoca con le estensioni \( \mathbb{Q} \subset F \subset \mathbb{Q}[\alpha] \), dove \( S_4 <-> \mathbb{Q} \) e \( \mathbb{Q}[\alpha] <-> \{id\} < S_4\), ma per gli altri ho bisogno del gruppo di Galois.

[hydro1]

g) si fa così: siccome $f$ è irriducibile e \(\mathbb Q[\alpha]\) ha grado 4, allora \(\mathbb Q[\alpha]/\mathbb Q\) è un'estensione di Galois. Quindi il gruppo di Galois ha ordine 4, e ci sono solo 2 gruppi di ordine 4: $C_2\times C_2$ e $C_4$. Adesso devi decidere quale dei due sia. Questo è semplice perchè nel primo gruppo tutti gli elementi non banali hanno ordine 2, mentre nell'altro ci sono 2 elementi di ordine 4. Le radici di $f$ sono \(\alpha,-\alpha,\alpha-2/\alpha,-\alpha+2/\alpha\) e un elemento del gruppo di Galois è determinato univocamente dall'immagine di $\alpha$. Ora, l'elemento che manda $\alpha\mapsto -\alpha$ ha chiaramente ordine 2. Quindi per concludere ti basta sapere qual è l'ordine dell'elemento $\sigma$ che manda \(\alpha\mapsto \alpha-2/\alpha\). Nota che \(\sigma^2(\alpha)=\sigma(\alpha-2/\alpha)\), adesso usa il fatto che $\sigma$ è un automorfismo e fai i conti.

[Studente Anonimo]

g)

Abbiamo che \( \mathbb{Q}[\alpha] \) è un splitting field, in particolare un rupture field, di grado finito e dunque è un estensione di \( \mathbb{Q} \) di Galois, pertanto sappiamo che \( \left| \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\alpha]/\mathbb{Q}) \right| = [ \mathbb{Q}[\alpha] : \mathbb{Q}] = 4 \).
Sia \( \sigma \in \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\alpha]/\mathbb{Q}) \) tale che \( \sigma \left( \sqrt{2+\sqrt 2} \right) = \sqrt{2-\sqrt2} \). Abbiamo allora che
\[ \sigma^2\left(\sqrt{2 + \sqrt2}\right) = \sigma \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+ \sqrt{2}}} \right) = \frac{\sigma(\sqrt{2})}{\sqrt{2-\sqrt2}} \]
Cerchiamo l'immagine di \( \sqrt{2} \) per \( \sigma \). Abbiamo che
\[ \sigma( 2 + \sqrt{2})= (\sigma(\alpha))^2 = 2 - \sqrt{2} \]
Inoltre poiché l'estensione è Galoisiana deduciamo che \( \mathbb{Q} = \mathbb{Q}^{\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\alpha]/\mathbb{Q})} \) e pertanto \( 2 \) è un punto fisso di tutti gli elementi del gruppo di Galois. Pertanto \( \sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2} \).
E abbiamo che
\[ \sigma^2(\alpha) = - \alpha \]
e dunque \( \sigma^2 \) è di ordine 2 e \( \sigma \) è di ordine 4, quindi il gruppo di Galois è ciclico, siccome di ordine 4 in cui c'è un elemento di ordine 4, pertanto deduciamo che
\[ \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\alpha]/\mathbb{Q}) ) \cong \mathbb{Z}/4 \]

h)

Siccome l'estensione è di Galois, possiamo applicare il teorema di corrispondenza Galoisiana. Abbiamo che i sottogruppi di \( \mathbb{Z}/4 \) sono in corrispondenza biunivoca con le estensioni \( \mathbb{Q} \subset F \subset \mathbb{Q}[\alpha] \). Inoltre l'applicazione che prende un sottogruppo \( H \leq \mathbb{Z}/4 \mapsto \phi(H)= \mathbb{Q}[\alpha]^{H} \) e l'applicazione \( \mathbb{Q} \subset K \subset \mathbb{Q}[\alpha] \mapsto \psi(K) = \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\alpha]/K) \) sono una l'inversa dell'altra, pertanto abbiamo che \( \phi( \mathbb{Z}/4 )= \mathbb{Q} \), e \( \phi(\{1\})=\mathbb{Q}[\alpha] \).
Dunque siccome c'è solo un'altro sottogruppo di \( \mathbb{Z}/4 \), di ordine due, \( \left< \{2 \} \right> = \{ 0, 2 \} \) (con la notazione additiva), abbiamo che
\[ \phi( \left< 2 \right>) = \mathbb{Q}[\alpha]^{\left< 2 \right>} \]

Ora dato un qualunque \(G \) sottogruppo di \( \mathbb{Q}\)-automorfismi risulta che \( \mathbb{Q}[\alpha]^G \) è un sottocampo di \( \mathbb{Q}[\alpha] \) inoltre
\[ [\mathbb{Q}[\alpha] : \mathbb{Q}[\alpha]^G ] = \left| G \right| \]

Pertanto siccome \( \left| \left< 2 \right> \right| = 2 \) abbiamo che il grado di estensione è \(2\), ed è dunque un estensione di grado finita, e poiché \( \operatorname{car}(\mathbb{Q}[\alpha]^{\left< 2 \right>})=0 \) abbiamo che è un estensione semplice (monogène), pertanto esiste \( \delta \in \mathbb{Q}[\alpha]^{\left< 2 \right>} \) tale che \( \delta \not\in \mathbb{Q} \) e \( \mathbb{Q}[\delta] = \mathbb{Q}[\alpha]^{\left< 2 \right>} \).

Cerchiamo \( \delta\).
Abbiamo che il sottogruppo è generato da un elemento di ordine \(2\), pertanto \( \sigma^2 \in \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\alpha]/\mathbb{Q}[\delta]) \).
Abbiamo inoltre per il calcolo del punto g) che \( \sigma( \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \) e pertanto \( \sigma^2(\sqrt{2} ) = \sqrt{2} \) deduciamo quindi che \( \sqrt{2} \in \mathbb{Q}[\delta] \) per definizione dell'applicazione \( \phi \). Abbiamo che \( \sqrt{2} \not\in \mathbb{Q} \) e nessuna radice di \( f \) vive in \( \mathbb{Q}[\sqrt 2] \), infatti non sono fissati da \( \sigma^2 \).
Abbiamo inoltre che il polinomio minimale di \( \sqrt{2+ \sqrt{2}} \in \mathbb{Q}[\sqrt 2] [t] \) è \( t^2 - (2 + \sqrt 2) \)
E il polinomio minimale di \( \sqrt 2 \) in \( \mathbb{Q}[t] \) è \(t^2 -2 \)
E dunque abbiamo appunto che \( [ \mathbb{Q}[\alpha] : \mathbb{Q}[\sqrt 2]] = 2 \) e \( [\mathbb{Q}[\sqrt2] : \mathbb{Q} ] = 2\).

Non vi sono altri sottogruppi di \( C_4 \) e dunque non vi sono altre estensioni di campo richieste.