Prodotto tensoriale: dove sto sbagliando?

[Overflow94]

Provando a fare qualche esercizio sul prodotto tensoriale mi sono accorto che sto sbagliando di grosso, nella seguente dimostrazione ci deve essere un errore veramente stupido.

Consideriamo $ RRox _RR RR $ che sappiamo essere non banale (es. la mappa bilineare $(x,y)\rightarrow xy$ non è banale).

Cosa c'è di sbagliato nella seguente dimostrazione di $ RRox _RR RR = {0}$:

Dalla definizione di prodotto tensoriale si ha che $xa \otimes b = a \otimes xb$ quindi

$0 = (xa \otimes b) - (a \otimes xb) = (xa \otimes b) + (-a \otimes xb) = xa -a \otimes b +xb = (x-1)a \otimes (x+1)b$

Scegliendo $x=2$ otteniamo la seguente uguaglianza $a \otimes 3b = 0$.

Questa uguaglianza ci permette di dimostrare che tutti i tensori semplici sono nulli poiché con $b'=b/3$ abbiamo:

$a \otimes b = a \otimes 3b' = 0$

[hydro1]

L'errore sta nello scrivere che $(xa\otimes b)+(-a\otimes xb)=(xa-a)\otimes(b+xb)$. Infatti nessuno ti dice che $u\otimes v+x\otimes t=(u+x)\otimes(v+t)$; semmai $u\otimes v+ x\otimes v=(u+x)\otimes v$.

[Overflow94]

Grazie mille