Applicazioni

[faby99s]

Buonasera vorrei chiedervi se questo esercizio l'ho fatto bene, allego la traccia:
\( f: X \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \mapsto \{ x + 2 \mid x \in X \} \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \)
i) Calcolare \( f \left( \{ -2,2,4\} \right), f \left( \mathbb{Z} \right) , f^{-1} \left( \{ \{ -2,3,5\} \} \right)\)
ii) Verificare che \(f\) è biettiva e calcolare \(f^{-1} \)
iii) Siano \( h: x \in \mathbb{Q} \mapsto 2x+1 \in \mathbb{Q} \) e \(g: y \in \mathbb{Z} \mapsto y/3 \in \mathbb{Q} \), descrivere \(k:= h \circ g \) e decidere se \(k\) è suriettiva.

Io l'ho risolto in questo modo:

[list=1][*:4pqnw0fn] $f({−2,2,4}) = {-2+2, 2+2, 4+2} = {0,4,6}$,

$f(ZZ) = ZZ + 2 = ZZ$,

$f^(-1)({{−2,3,5}}) = {-4,1,3}$.

[/*:m:4pqnw0fn]
[*:4pqnw0fn] La $f$ è:

[*:4pqnw0fn]iniettiva perché:

$ AA X,Y in mathcal(P) (ZZ),\quad f(X) = f(Y) => X=Y$

cioè:

$X+2=Y+2 => X=Y$

[/*:m:4pqnw0fn]
[*:4pqnw0fn] suriettiva perché:

$ AA N in mathcal(P)(ZZ), EE A in mathcal(P)(ZZ):\quad f(A)= N $

cioè:
$A+2=N => A=N-2 in mathcal(P)(ZZ)$;[/*:m:4pqnw0fn][/list:u:4pqnw0fn]

quindi $f$ è biiettiva.

iii)
$ k:y\inZ\to\frac{(2y+1)}{3}\inP(Z)$

1)k è suriettiva perchè:
$ AA N in mathcal(P)(ZZ), EE A in mathcal(P)(ZZ):\quad f(A)= N $
cioè
$ \frac{(2y+1)}{3} = n \to a = \frac{3n}{2}-\frac{1}{2} \in Q$[/*:m:4pqnw0fn][/list:o:4pqnw0fn]

Grazie in anticipo

[Studente Anonimo]

Ciao Sara09, anche volendo rispondere alla tua domanda non capisco nulla perché è troppo confuso, riscrivi bene la domanda in LaTeX magari ci capisco qualcosa.
Se non sai come fare un simbolo in LaTeX se vuoi qui ci sono molti simboli, ci clicchi sopra, e ti dice sia il codice in LaTeX ed inoltre ti da un immagine istantanea su come viene. Oppure credo esista anche nel forum una cosa del genera
https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

[faby99s]

"3m0o":Ciao Sara09, anche volendo rispondere alla tua domanda non capisco nulla perché è troppo confuso, riscrivi bene la domanda in LaTeX magari ci capisco qualcosa.
Se non sai come fare un simbolo in LaTeX se vuoi qui ci sono molti simboli, ci clicchi sopra, e ti dice sia il codice in LaTeX ed inoltre ti da un immagine istantanea su come viene. Oppure credo esista anche nel forum una cosa del genera
https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

ho aggiustato spero che ora va meglio

[Studente Anonimo]

Allora facciamo così, per questa volta, prima di rispondere alla domanda, ti faccio vede come scrivere la domanda, poi tu copi il mio messaggio e poni la domanda in modo "pulito". Le prossime volte le scrivi bene da sola però, d'accordo?
Perché dico questo, perché come puoi notare se uno non scrive in LaTeX, ma fa come te inizialmente non si capisce nulla. Per capirci ci sono due possibilità o scrivere in LaTeX oppure mettere immagini. La seconda però ha un grosso problema, i siti che permettono di inserire immagini le cancellano improvvisamente, pertanto in realtà le soluzioni da due diventano una, imparare a scrivere in LaTeX
E ti dico questo non per "riprenderti" ma perché non voglio che ti chiudono la domanda, se posti una domanda probabilmente hai bisogno, ma se non rispetti il regolamento poi ti chiudono la domanda. Il risultato? Tu non sciogli i tuoi dubbi. Io non voglio questo, ma voglio che i tuoi dubbi siano risolti, per fare ciò inizia a imparare a scrivere le domande bene!
Perfetto: Io scriverei il quesito così:


Si consideri l'applicazione

 \( f: X \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \mapsto \{ x + 2 \mid x \in X \} \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \)
i) Calcolare \( f \left( \{ -2,2,4\} \right), f \left( \mathbb{Z} \right) , f^{-1} \left( \{ \{ -2,3,5\} \} \right)\)
ii) Verificare che \(f\) è biettiva e calcolare \(f^{-1} \)
iii) Siano \( h: x \in \mathbb{Q} \mapsto 2x+1 \in \mathbb{Q} \) e \(g: y \in \mathbb{Z} \mapsto y/3 \in \mathbb{Q} \), descrivere \(k:= h \circ g \) e decidere se \(k\) è suriettiva.

Se scrivi queste cose vedrai che il messaggio che esce è questo:
\( f: X \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \mapsto \{ x + 2 \mid x \in X \} \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \)

Io l'ho risolto così:
i)

 
\( f \left( \{ -2,2,4\} \right) = \{ 0,4,6\} \)
\( f \left( \mathbb{Z} \right) = \mathbb{Z} \)
\( f^{-1} \left( \{ \{ -2,3,5\} \} \right) = \{ 0,1,3\} \)

ii) Iniettiva sì perché:

 
\( \forall x,y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) risulta che \( f(x) = f(y) \Rightarrow x=y \)

cioé

 
\( x+2=y+2 \Rightarrow x=y \)

Suriettiva sì perché:

 
\( \forall x,y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) risulta che \( \exists a \in \mathcal{P}( \mathbb{Z} ) \) tale che \( f(a) = n \)

cioé

 
\( a+2=n \Rightarrow a=n-2 \)

Prova tu a riscrivere l'ultimo punto così come ho fatto io.



Detto ciò ora rispondo alle tue domande

i) Giusto tranne l'ultimo punto. Come hai fatto a trovare la pre-immagine? Hai fatto ad esempio \(5-2=3\), poi \(3-2=1\)... ma lo \(0\) da dove salta fuori? :- )

Allora è iniettiva, ma la tua giustificazione non è corretta. Stai dicendo che \( \forall x,y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) ma poi mi tratti \(x,y \) come se fossero numeri interi. Cosa falsa.
Devi verificare che per ogni insieme \(X,Y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) tale che \( f(X) = f(Y) \) allora risulta che \(X=Y\), ovvero che sono il medesimo insieme. Prova a riscriverlo più correttamente.

Anche se, a parer mio, sarebbe più facile verificare che se \(X\neq Y\), ovvero sono insiemi differenti, cioé esiste almeno un elemento in \(x \in X \) tale che \(x \not\in Y\), allora verifichi facilmente che \(x+2 \in f(X)\) ma \( x+2 \not\in f(Y)\) e dunque \(f(X) \neq f(Y)\).

Per la suriettività stesso problema che con l'iniettività. Tratti \(x,y\) come insiemi e come numeri interi a piacimento.

Per il punto iii) aspetto che tu l'abbia scritto bene in LaTeX

[gugo82]

@ sara09: Ho corretto la formattazione e gli errori grammaticali/ortografici del tuo post (di nuovo!)... Ma fino ad un certo punto.
Termina tu di correggere e segui le indicazioni che ti sono state date dagli altri sulla correttezza dei tuoi ragionamenti.

[faby99s]

"3m0o":Allora facciamo così, per questa volta, prima di rispondere alla domanda, ti faccio vede come scrivere la domanda, poi tu copi il mio messaggio e poni la domanda in modo "pulito". Le prossime volte le scrivi bene da sola però, d'accordo?
Perché dico questo, perché come puoi notare se uno non scrive in LaTeX, ma fa come te inizialmente non si capisce nulla. Per capirci ci sono due possibilità o scrivere in LaTeX oppure mettere immagini. La seconda però ha un grosso problema, i siti che permettono di inserire immagini le cancellano improvvisamente, pertanto in realtà le soluzioni da due diventano una, imparare a scrivere in LaTeX
E ti dico questo non per "riprenderti" ma perché non voglio che ti chiudono la domanda, se posti una domanda probabilmente hai bisogno, ma se non rispetti il regolamento poi ti chiudono la domanda. Il risultato? Tu non sciogli i tuoi dubbi. Io non voglio questo, ma voglio che i tuoi dubbi siano risolti, per fare ciò inizia a imparare a scrivere le domande bene!
Perfetto: Io scriverei il quesito così:


Si consideri l'applicazione

 \( f: X \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \mapsto \{ x + 2 \mid x \in X \} \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \)
i) Calcolare \( f \left( \{ -2,2,4\} \right), f \left( \mathbb{Z} \right) , f^{-1} \left( \{ \{ -2,3,5\} \} \right)\)
ii) Verificare che \(f\) è biettiva e calcolare \(f^{-1} \)
iii) Siano \( h: x \in \mathbb{Q} \mapsto 2x+1 \in \mathbb{Q} \) e \(g: y \in \mathbb{Z} \mapsto y/3 \in \mathbb{Q} \), descrivere \(k:= h \circ g \) e decidere se \(k\) è suriettiva.

Se scrivi queste cose vedrai che il messaggio che esce è questo:
\( f: X \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \mapsto \{ x + 2 \mid x \in X \} \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \)

Io l'ho risolto così:
i)

 
\( f \left( \{ -2,2,4\} \right) = \{ 0,4,6\} \)
\( f \left( \mathbb{Z} \right) = \mathbb{Z} \)
\( f^{-1} \left( \{ \{ -2,3,5\} \} \right) = \{ 0,1,3\} \)

ii) Iniettiva sì perché:

 
\( \forall x,y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) risulta che \( f(x) = f(y) \Rightarrow x=y \)

cioé

 
\( x+2=y+2 \Rightarrow x=y \)

Suriettiva sì perché:

 
\( \forall x,y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) risulta che \( \exists a \in \mathcal{P}( \mathbb{Z} ) \) tale che \( f(a) = n \)

cioé

 
\( a+2=n \Rightarrow a=n-2 \)

Prova tu a riscrivere l'ultimo punto così come ho fatto io.



Detto ciò ora rispondo alle tue domande

i) Giusto tranne l'ultimo punto. Come hai fatto a trovare la pre-immagine? Hai fatto ad esempio \(5-2=3\), poi \(3-2=1\)... ma lo \(0\) da dove salta fuori? :- )

Allora è iniettiva, ma la tua giustificazione non è corretta. Stai dicendo che \( \forall x,y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) ma poi mi tratti \(x,y \) come se fossero numeri interi. Cosa falsa.
Devi verificare che per ogni insieme \(X,Y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) tale che \( f(X) = f(Y) \) allora risulta che \(X=Y\), ovvero che sono il medesimo insieme. Prova a riscriverlo più correttamente.

Anche se, a parer mio, sarebbe più facile verificare che se \(X\neq Y\), ovvero sono insiemi differenti, cioé esiste almeno un elemento in \(x \in X \) tale che \(x \not\in Y\), allora verifichi facilmente che \(x+2 \in f(X)\) ma \( x+2 \not\in f(Y)\) e dunque \(f(X) \neq f(Y)\).

Per la suriettività stesso problema che con l'iniettività. Tratti \(x,y\) come insiemi e come numeri interi a piacimento.

Per il punto iii) aspetto che tu l'abbia scritto bene inLaTeX

Ah ok pensavo che bastava anche solo utilizzare l'inserisci formula ora aggiusto. Si ha ragione nell'anti-immagine non è 0 ma è -4. Iniettività posso scrivere verificarla cosi:

$ \exists X,Y \in P(Z)\X\neY\wedge\f(X) = f(Y)$
da ciò:
\(x+2 \in f(X)\) ma \( x+2 \not\in f(Y)\) e dunque \(f(X) \neq f(Y)\)
per la surriettività:
$ \exists N\in P(Z)\AA\A\in\P(Z)\N\ne f(A)$
Cioè:
$A= N-2\ in P(Z)$

[Studente Anonimo]

"sara09":
$ \exists X,Y \in P(Z)\X\neq Y\wedge\f(X) = f(Y)$

ii) Iniettività:
\( \exists X,Y \in P(Z) X \neq Y\wedge f(X) = f(Y) \) con questa proposizione non verifichi che la tua funzione è iniettiva. Infatti una funzione \(g : A \to B \) è iniettiva
\( \forall a,b \in A \) tale che \( a \neq b \) allora risulta che \( f(a) \neq f(b) \). Oppure in modo equivalente
\( \forall a,b \in A \) tale che \( f(a) = f(b) \) allora risulta che \( a=b \).

"sara09":
\(x+2 \in f(X)\) ma \( x+2 \not\in f(Y)\) e dunque \(f(X) \neq f(Y)\)

Cos'è \(x\)? Io ho capito cosa intendi, ma sono volutamente un po' pignolo
Un argomentazione matematica è chiara se sono chiare tutte le cose. Definisci \(x\), ovvero dall'ipotesi che \(X \neq Y \) allora segue che esiste un elemento intero \( x \) tale che \(x \in X \) ma \(x \not\in Y \). Allora da qui segue direttamente che \( x+2 \in f(X)\), per definizione di \(f\), e che \(x+2 \not\in f(Y)\). Se non ti è chiaro che \(x+2 \not\in f(Y)\), puoi ragionare così. Se avessimo \(x+2 \in f(Y)\) allora \(x \in f^{-1} ( f(Y)) = Y \) cosa che contraddice la nostra ipotesi che \(X \neq Y\).

NB: con \( f^{-1} ( f(Y)) \) intendo la pre-immagine dell'insieme \(f(Y)\) e non la funzione inversa, perché non sappiamo ancora se esiste.

"sara09":
per la surriettività:
$ \exists N\in P(Z)\AA\A\in\P(Z)\N\ne f(A)$

Una funzione \( f :A \to B \) è suriettiva se \( \forall b \in B \) allora \( \exists a \in A\) tale che \(f(a)=b\).

Dunque penso tu volessi dire, \( \forall A \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \), \( \exists N \in \mathcal{P} \) tale che \( f(N)=A \).

"sara09":
$A= N-2\ in P(Z)$

Qui mi stai trattando \(A,N\) come numeri interi. Scrivi le cose bene, io ho capito cosa intendi, però scritto così non va bene. Poniamo \(A \) un insieme qualunque in \( A \in \mathcal{P}(\mathbb{Z} )\). Dimostriamo che esiste \(N\), un insieme, tale che \(f(N)=A\). Che ne dici di definire \( N := \{ a-2 \mid a \in A \} \), cosa succede se applichi ad \(N\) la funzione \(f\)? Ovvero che insieme è \(f(N)\)? E concludi con il fatto che \(A\) lo hai scelto arbitrariamente.

Vedo che ti manca la parte in cui devi calcolare la funzione inversa \( f^{-1}\) (adesso sì, con la medesima notazione, intendo la funzione inversa e non la pre-immagine).

"sara09":
iii)
$ k:y\inZ\to\frac{(2y+1)}{3}\inP(Z) $

1)k è suriettiva perchè:
$ AA N in mathcal(P)(ZZ), EE A in mathcal(P)(ZZ):\quad f(A)= N $
cioè
$ \frac{(2y+1)}{3} = n \to a = \frac{3n}{2}-\frac{1}{2} \in Q $

In primo luogo, sei sicura che \(k\) è definita in quel modo? Hai \( n \mapsto \frac{n}{3} \) composta con \( x \mapsto 2 x+ 1 \). Sicura che ti dia \( n \mapsto \frac{(2n+1)}{3} \) ?
In secondo luogo mi sembra che tu abbia mischiato un po' gli esercizi. In primo luogo per verificare la suriettività di \(k = h \circ g : \mathbb{Z} \xrightarrow{g} \mathbb{Q} \xrightarrow{h} \mathbb{Q} \)
dovresti verificare che \( \forall y \mathbb{Q} \) allora esiste \( x \in \mathbb{Z} \) tale che \( k(x)=y\).
Che mi dici di \(k(x) = 2 \)? Riesci a trovare \(x \in \mathbb{Z} \) tale che \(k(x)=2\)?

[faby99s]

"3m0o":[quote="sara09"]
$ \exists X,Y \in P(Z)\X\neq Y\wedge\f(X) = f(Y)$

ii) Iniettività:
\( \exists X,Y \in P(Z) X \neq Y\wedge f(X) = f(Y) \) con questa proposizione non verifichi che la tua funzione è iniettiva. Infatti una funzione \(g : A \to B \) è iniettiva
\( \forall a,b \in A \) tale che \( a \neq b \) allora risulta che \( f(a) \neq f(b) \). Oppure in modo equivalente
\( \forall a,b \in A \) tale che \( f(a) = f(b) \) allora risulta che \( a=b \).

"sara09":
\(x+2 \in f(X)\) ma \( x+2 \not\in f(Y)\) e dunque \(f(X) \neq f(Y)\)

Cos'è \(x\)? Io ho capito cosa intendi, ma sono volutamente un po' pignolo
Un argomentazione matematica è chiara se sono chiare tutte le cose. Definisci \(x\), ovvero dall'ipotesi che \(X \neq Y \) allora segue che esiste un elemento intero \( x \) tale che \(x \in X \) ma \(x \not\in Y \). Allora da qui segue direttamente che \( x+2 \in f(X)\), per definizione di \(f\), e che \(x+2 \not\in f(Y)\). Se non ti è chiaro che \(x+2 \not\in f(Y)\), puoi ragionare così. Se avessimo \(x+2 \in f(Y)\) allora \(x \in f^{-1} ( f(Y)) = Y \) cosa che contraddice la nostra ipotesi che \(X \neq Y\).

NB: con \( f^{-1} ( f(Y)) \) intendo la pre-immagine dell'insieme \(f(Y)\) e non la funzione inversa, perché non sappiamo ancora se esiste.

"sara09":
per la surriettività:
$ \exists N\in P(Z)\AA\A\in\P(Z)\N\ne f(A)$

Una funzione \( f :A \to B \) è suriettiva se \( \forall b \in B \) allora \( \exists a \in A\) tale che \(f(a)=b\).

Dunque penso tu volessi dire, \( \forall A \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \), \( \exists N \in \mathcal{P} \) tale che \( f(N)=A \).

"sara09":
$A= N-2\ in P(Z)$

Qui mi stai trattando \(A,N\) come numeri interi. Scrivi le cose bene, io ho capito cosa intendi, però scritto così non va bene. Poniamo \(A \) un insieme qualunque in \( A \in \mathcal{P}(\mathbb{Z} )\). Dimostriamo che esiste \(N\), un insieme, tale che \(f(N)=A\). Che ne dici di definire \( N := \{ a-2 \mid a \in A \} \), cosa succede se applichi ad \(N\) la funzione \(f\)? Ovvero che insieme è \(f(N)\)? E concludi con il fatto che \(A\) lo hai scelto arbitrariamente.

Vedo che ti manca la parte in cui devi calcolare la funzione inversa \( f^{-1}\) (adesso sì, con la medesima notazione, intendo la funzione inversa e non la pre-immagine).

"sara09":
iii)
$ k:y\inZ\to\frac{(2y+1)}{3}\inP(Z) $

1)k è suriettiva perchè:
$ AA N in mathcal(P)(ZZ), EE A in mathcal(P)(ZZ):\quad f(A)= N $
cioè
$ \frac{(2y+1)}{3} = n \to a = \frac{3n}{2}-\frac{1}{2} \in Q $

In primo luogo, sei sicura che \(k\) è definita in quel modo? Hai \( n \mapsto \frac{n}{3} \) composta con \( x \mapsto 2 x+ 1 \). Sicura che ti dia \( n \mapsto \frac{(2n+1)}{3} \) ?
In secondo luogo mi sembra che tu abbia mischiato un po' gli esercizi. In primo luogo per verificare la suriettività di \(k = h \circ g : \mathbb{Z} \xrightarrow{g} \mathbb{Q} \xrightarrow{h} \mathbb{Q} \)
dovresti verificare che \( \forall y \mathbb{Q} \) allora esiste \( x \in \mathbb{Z} \) tale che \( k(x)=y\).
Che mi dici di \(k(x) = 2 \)? Riesci a trovare \(x \in \mathbb{Z} \) tale che \(k(x)=2\)?[/quote]
Scusa ma la parte della surriettività non mi è chiara perché scegliamo un insieme N così ?
invece per (iii) ho sbagliato:
$\k:y\in\Z rarr\ frac{(2y)}{3}+1\in\Q$
Ed è surriettiva perché:
$\AAy\in\Q (EE x\in\Z (f(x)=y))$
Cioè:
$X=\frac{(3y)}{2}-1\in\Q$

[Studente Anonimo]

Per la suriettività, devi verificare, sostanzialmente, che ogni insieme non ha pre-immagine vuota.
Prendi un insieme \(X\), l'immagine di \(X \mapsto f(X) = \{ x+2 \mid x \in X\} \). Devi ragionare "al contrario" per suriettività. Se hai un insieme \( A \) prova a calcolarti l'immagine di \( X := \{ a-2 \mid a \in A \} \) ovvero prova a calcolarti \( f(X) = \{ x+2 \mid x \in X\} \). Se \(x \in X \) per definizione \(x =a-2\) per qualche \(a \in A\)... continua tu.

Mentre per iii) ripeto quanto detto. Prova a trovarmi un intero \(x\) che soddisfa \(k(x) = 2\). Con \( x \mapsto k(x) = \frac{2x}{3} +1 \).

[faby99s]

"3m0o":Per la suriettività, devi verificare, sostanzialmente, che ogni insieme non ha pre-immagine vuota.
Prendi un insieme \(X\), l'immagine di \(X \mapsto f(X) = \{ x+2 \mid x \in X\} \). Devi ragionare "al contrario" per suriettività. Se hai un insieme \( A \) prova a calcolarti l'immagine di \( X := \{ a-2 \mid a \in A \} \) ovvero prova a calcolarti \( f(X) = \{ x+2 \mid x \in X\} \). Se \(x \in X \) per definizione \(x =a-2\) per qualche \(a \in A\)... continua tu.

Mentre per iii) ripeto quanto detto. Prova a trovarmi un intero \(x\) che soddisfa \(k(x) = 2\). Con \( x \mapsto k(x) = \frac{2x}{3} +1 \).

Per la suriettivita se calcolo
$\f(x) = {a-2| a\in\A}$
ottengo:

$ a-2+2=a$
Ma non riesco a capire cosa c'entra ciò..non si può dimostrare la suriettività tramite definizione come avevo scritto sopra? Mentre per (iii) non riesco a trovare un k(x)=2,quindi non è suriettiva?

[gugo82]

@ sara09: “suriettività” (con una erre) e “c’entra” (con l’apostrofo).

[Studente Anonimo]

Per iii) esatto! Infatti la \(x\) che ottieni è \( \frac{3}{2} \not\in \mathbb{Z} \), pertanto siccome \(2 \in \mathbb{Q}\) la tua \(k\) non è suriettiva.

"sara09":
Per la surriettivita se calcolo
$ \f(x) = {a-2| a\in\A} $
ottengo:

$ a-2+2=a $

No!

Per la suriettività del punti ii). Stai applicando la definizione. Che ti ricordo essere
Sia \( f : A \to B \), diciamo che \(f \) è suriettiva se \( \forall b \in B \) esiste \(a \in A \) tale che \(f(a)=b \).


Ora se la tua funzione fosse \( f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) tale che \( x \mapsto f(x)=y=x+2\) è suriettiva poiché per ogni \( y \in \mathbb{Z} \) esiste almeno un numero intero, ovvero \( y-2 \in \mathbb{Z} (=A)\) tale che \( f(y-2) = (y-2)+2=y\).

In questo caso \( y \in \mathbb{Z} \) gioca il ruolo di \( b \in B\) nella definizione e \( y-2 \in \mathbb{Z} \) gioca il ruolo di \( a \in A \), infatti \( f(y-2)=y \) gioca il ruolo di \(f(a)=b\).

Ma la tua funzione è \( f : \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \to \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) tale che \( X \mapsto f(X)=Y=\{x+2 \mid x \in X\}\). Quindi devi verificare che per ogni insieme \(Y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) esiste almeno un insieme tale che \(f(X)=Y\).

In questo caso \( Y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) gioca il ruolo di \( b \in B\) nella definizione e \( X \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) gioca il ruolo di \( a \in A \). Ma devi "esplicitare", esattamente come nel esempio qui sopra, chi è questo \(X\) per poter affermare che è suriettiva.

Tu hai scritto \( Y-2 \) è questo insieme, il problema è cosa vuol dire un insieme meno un intero??

Se definisci l'insieme \(X = \{ y-2 \mid y \in Y \} \) allora la sua immagine tramite l'applicazione \(f\) è
\[ f(X) \overset{\text{(1)}}{=} \{ x+2 \mid x \in X \} \overset{\text{(2)}}{=} \{ (y-2) + 2 \mid y \in Y \} = \{ y \mid y \in Y \} = Y \]
Dove in (1) ho usato la definizione di \(f\). Mentre in (2) ho usato la nostra definizione di \(X\).

Facendo il legame con la definizione, se chiami \( (\mathcal{P}(\mathbb{Z}),1) = A \) e \( (\mathcal{P}(\mathbb{Z}),2) \in B\), dove ho messo degli indici solo per distinguere l'insieme di partenza da quello di arrivo, ma sono gli stessi insiemi, chiamando inoltre \( X=\{ y-2 \mid y \in Y \} = a \in A \) e \( Y = b \in B \), allora ottieni che \( \forall b \in B \) esiste \(a \in A \) tale che \(f(a)=b \) dunque è suriettiva.

Ad esempio considerando \(Y=\{ 0,2,4,6\} \) qual'è la sua pre-immagine \(X\) ? Beh \( X=\{ y-2 \mid y \in Y \} = \{-2,0,2,4\} \) e osservi che \(f(X)=\{-2+2,0+2,2+2,4+2\} = \{ 0,2,4,6\} \). Solo che per dimostrare che una funzione suriettiva non ti basta un esempio ma devi considerare tutti i possibili insiemi \(Y\) e trovarne una "pre-immagine".

Spero di essere stato più chiaro. Se hai bisogno ancora, chiedi.
Prova ora dunque a definire la funzione inversa \(f^{-1} \).

"gugo82": “c’entra” (con l’apostrofo).

Ah grazie, "c'entra" non so mai come scriverlo

[gugo82]

@ 3m0o: [ot]

"3m0o":[quote="gugo82"] “c’entra” (con l’apostrofo).

Ah grazie, "c'entra" non so mai come scriverlo [/quote]
Basta chiedere a chi ha esperienza…

[/ot]

[Studente Anonimo]

[ot] [/ot]

[faby99s]

"3m0o":Per iii) esatto! Infatti la \(x\) che ottieni è \( \frac{3}{2} \not\in \mathbb{Z} \), pertanto siccome \(2 \in \mathbb{Q}\) la tua \(k\) non è suriettiva.

[quote="sara09"]
Per la surriettivita se calcolo
$ \f(x) = {a-2| a\in\A} $
ottengo:

$ a-2+2=a $

No!

Per la suriettività del punti ii). Stai applicando la definizione. Che ti ricordo essere
Sia \( f : A \to B \), diciamo che \(f \) è suriettiva se \( \forall b \in B \) esiste \(a \in A \) tale che \(f(a)=b \).


Ora se la tua funzione fosse \( f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) tale che \( x \mapsto f(x)=y=x+2\) è suriettiva poiché per ogni \( y \in \mathbb{Z} \) esiste almeno un numero intero, ovvero \( y-2 \in \mathbb{Z} (=A)\) tale che \( f(y-2) = (y-2)+2=y\).

In questo caso \( y \in \mathbb{Z} \) gioca il ruolo di \( b \in B\) nella definizione e \( y-2 \in \mathbb{Z} \) gioca il ruolo di \( a \in A \), infatti \( f(y-2)=y \) gioca il ruolo di \(f(a)=b\).

Ma la tua funzione è \( f : \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \to \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) tale che \( X \mapsto f(X)=Y=\{x+2 \mid x \in X\}\). Quindi devi verificare che per ogni insieme \(Y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) esiste almeno un insieme tale che \(f(X)=Y\).

In questo caso \( Y \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) gioca il ruolo di \( b \in B\) nella definizione e \( X \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) gioca il ruolo di \( a \in A \). Ma devi "esplicitare", esattamente come nel esempio qui sopra, chi è questo \(X\) per poter affermare che è suriettiva.

Tu hai scritto \( Y-2 \) è questo insieme, il problema è cosa vuol dire un insieme meno un intero??

Se definisci l'insieme \(X = \{ y-2 \mid y \in Y \} \) allora la sua immagine tramite l'applicazione \(f\) è
\[ f(X) \overset{\text{(1)}}{=} \{ x+2 \mid x \in X \} \overset{\text{(2)}}{=} \{ (y-2) + 2 \mid y \in Y \} = \{ y \mid y \in Y \} = Y \]
Dove in (1) ho usato la definizione di \(f\). Mentre in (2) ho usato la nostra definizione di \(X\).

Facendo il legame con la definizione, se chiami \( (\mathcal{P}(\mathbb{Z}),1) = A \) e \( (\mathcal{P}(\mathbb{Z}),2) \in B\), dove ho messo degli indici solo per distinguere l'insieme di partenza da quello di arrivo, ma sono gli stessi insiemi, chiamando inoltre \( X=\{ y-2 \mid y \in Y \} = a \in A \) e \( Y = b \in B \), allora ottieni che \( \forall b \in B \) esiste \(a \in A \) tale che \(f(a)=b \) dunque è suriettiva.

Ad esempio considerando \(Y=\{ 0,2,4,6\} \) qual'è la sua pre-immagine \(X\) ? Beh \( X=\{ y-2 \mid y \in Y \} = \{-2,0,2,4\} \) e osservi che \(f(X)=\{-2+2,0+2,2+2,4+2\} = \{ 0,2,4,6\} \). Solo che per dimostrare che una funzione suriettiva non ti basta un esempio ma devi considerare tutti i possibili insiemi \(Y\) e trovarne una "pre-immagine".

Spero di essere stato più chiaro. Se hai bisogno ancora, chiedi.
Prova ora dunque a definire la funzione inversa \(f^{-1} \).

"gugo82": “c’entra” (con l’apostrofo).

Ah grazie, "c'entra" non so mai come scriverlo [/quote]

Si è chiaro ora grazie mille