Polinomio ciclotomico
Mi stavo chiedendo se è vero quanto segue:
Sia \(n\) un intero positivo dispari e \( \Phi_k\) è il \(k\)-esimo polinomio ciclotomico. È vero che \( \Phi_{4n} \) possiede termini solo di grado pari e \( \Phi_{2n} \) possiede almeno un termine di grado pari ed almeno un termine di grado dispari?
Sia \(n\) un intero positivo dispari e \( \Phi_k\) è il \(k\)-esimo polinomio ciclotomico. È vero che \( \Phi_{4n} \) possiede termini solo di grado pari e \( \Phi_{2n} \) possiede almeno un termine di grado pari ed almeno un termine di grado dispari?
Risposte
se ho capito bene la domanda , posto $n=4$
si ha $Phi_8=x^4+1 $ che non contiene termini di grado dispari
si ha $Phi_8=x^4+1 $ che non contiene termini di grado dispari
Ma $n=4$ non è
"3m0o":
Sia \( n \) un intero positivo dispari ...
ah, scusa non avevo letto dispari
beh, penso che 3m0 abbia consultato la stessa tabella che ho visto io perchè da essa sembrerebbe vera la sua ipotesi ; sicuramente ha già letto anche che per $n$ primo la sua domanda ha risposta affermativa
ma dimostrare che vale per ogni n dispari non saprei
beh, penso che 3m0 abbia consultato la stessa tabella che ho visto io perchè da essa sembrerebbe vera la sua ipotesi ; sicuramente ha già letto anche che per $n$ primo la sua domanda ha risposta affermativa
ma dimostrare che vale per ogni n dispari non saprei
Effettivamente basterebbe dimostrare che \( \Phi_N (x)\) possiede almeno un termine di grado pari ed almeno uno di grado dispari poiché, siccome \(N\) è dispari, allora \( \Phi_N(-x)=\Phi_{2N}(x) \). Se in più \(2N>2\) è un intero privo di quadrati allora \( \Phi_N(-x^2) = \Phi_{4N}(x) \).
Per dimostrare che \( \Phi_N (x)\), con \(N\) dispari, possiede almeno un termine di grado pari ed almeno uno di grado dispari procederei in questo modo.
Abbiamo che il coefficiente del termine grado \( \varphi(N)\) è sembre \(1\) poiché, dati \( \xi_k \) con \( 1 \leq k \leq \varphi \) le radici di \( \Phi_{N}\) allora abbiamo
\[ \prod_{k=1}^{\varphi(N)} \xi_{k} = \prod_{k=1}^{\varphi(N)} e^{(2 \pi i k)/N} = e^{ (2 \pi i A(N))/N } = \star \]
Dove
\[ A(N) = \sum_{ 1 \leq k \leq N, gcd(k,N)=1} k = \frac{\varphi(N)}{2} N\]
dunque
\[\star = e^{ \frac{N \pi i \varphi(N) }{N} } = e^{ \pi i \varphi(N) }=1 \]
Ed almeno un termine di grado pari esiste.
Per il grado dispari abbiamo grazie alle formule di Viete che il coefficiente \(a_{\varphi(N)-1} \) del termine \( x^{\varphi(N)-1} \).
\[ \sum_{k=1}^{\varphi(N)} \xi_{k} = a_{\varphi(N)-1} \]
Abbiamo inoltre che, se \(N>1 \)
\[ f(N)=\sum_{k=1}^{N} e^{2 \pi i k / N } = 0 \]
Mentre \(f(1)=1\). Poniamo inoltre \( g(\frac{k}{N}) = e^{2 \pi i k / N }\), poniamo inoltre
\[ \tilde{f}(N)= \sum_{1 \leq k \leq N, gcd(k,N)=1} g\left(\frac{k}{N}\right) \]
Abbiamo dunque
\[ f(N)= \sum_{d \mid N} \tilde{f}(d) \]
da cui segue per la formula d'inversione di Moebius che
\[ \tilde{f}(N)= \sum_{d \mid N} \mu(d) f\left(\frac{N}{d} \right)\]
e deduciamo dunque che
\[a_{\varphi(N)-1}= \tilde{f}(N)=\sum_{1 \leq k \leq N, gcd(k,N)=1} g\left(\frac{k}{N}\right)=\mu(N) \]
dove \( \mu \) la funzione di Moebius.
Pertanto per ogni \(N\) dispari e privo di quadrati abbiamo che la mia ipotesi è vera. Per quanto detto sopra.
Resterebbe a dimostrare che è vero anche per "gli altri" \(N\). Ma non saprei come fare.
Per dimostrare che \( \Phi_N (x)\), con \(N\) dispari, possiede almeno un termine di grado pari ed almeno uno di grado dispari procederei in questo modo.
Abbiamo che il coefficiente del termine grado \( \varphi(N)\) è sembre \(1\) poiché, dati \( \xi_k \) con \( 1 \leq k \leq \varphi \) le radici di \( \Phi_{N}\) allora abbiamo
\[ \prod_{k=1}^{\varphi(N)} \xi_{k} = \prod_{k=1}^{\varphi(N)} e^{(2 \pi i k)/N} = e^{ (2 \pi i A(N))/N } = \star \]
Dove
\[ A(N) = \sum_{ 1 \leq k \leq N, gcd(k,N)=1} k = \frac{\varphi(N)}{2} N\]
dunque
\[\star = e^{ \frac{N \pi i \varphi(N) }{N} } = e^{ \pi i \varphi(N) }=1 \]
Ed almeno un termine di grado pari esiste.
Per il grado dispari abbiamo grazie alle formule di Viete che il coefficiente \(a_{\varphi(N)-1} \) del termine \( x^{\varphi(N)-1} \).
\[ \sum_{k=1}^{\varphi(N)} \xi_{k} = a_{\varphi(N)-1} \]
Abbiamo inoltre che, se \(N>1 \)
\[ f(N)=\sum_{k=1}^{N} e^{2 \pi i k / N } = 0 \]
Mentre \(f(1)=1\). Poniamo inoltre \( g(\frac{k}{N}) = e^{2 \pi i k / N }\), poniamo inoltre
\[ \tilde{f}(N)= \sum_{1 \leq k \leq N, gcd(k,N)=1} g\left(\frac{k}{N}\right) \]
Abbiamo dunque
\[ f(N)= \sum_{d \mid N} \tilde{f}(d) \]
da cui segue per la formula d'inversione di Moebius che
\[ \tilde{f}(N)= \sum_{d \mid N} \mu(d) f\left(\frac{N}{d} \right)\]
e deduciamo dunque che
\[a_{\varphi(N)-1}= \tilde{f}(N)=\sum_{1 \leq k \leq N, gcd(k,N)=1} g\left(\frac{k}{N}\right)=\mu(N) \]
dove \( \mu \) la funzione di Moebius.
Pertanto per ogni \(N\) dispari e privo di quadrati abbiamo che la mia ipotesi è vera. Per quanto detto sopra.
Resterebbe a dimostrare che è vero anche per "gli altri" \(N\). Ma non saprei come fare.
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