Una volta per tutte: Gli zeri della funzione Zeta
Buonasera a tutti,
Sto disperatamente cercando online qualcosa sugli zeri (non banali) della funzione Zeta di Riemann.
Premessa: le mie basi sono solo un corso base di teoria dei numeri, conosco il Teorema di Riemann, ma non tanto l'analisi complessa.
La funzione $\zeta(s)$, su tutto $CC$, per l'equazione funzionale data da Riemann:
$\zeta(s)=\frac{\Phi(s)}{\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)}$ (1)
dove $\Phi(s)=1/2\int_{1}^{oo} (x^{s/2}+x^{\frac{1-s}{2}})(\theta(x)-1) \frac{dx}{x} +\frac{1}{s(s-1)}$
la funzione $\Gamma$ di Eulero: $\Gamma(s/2)= \int_{0}^{oo} e^{-x} x^{s/2-1} dx$
la funzione $\theta$ di Jacobi (aggiustata): $\theta(x)= 1 + 2 \sum_{n=1}^{oo} e^{-\pi n^{2} x}$
Ora, a partire da questo non riesco a scrivere la serie di Jacobi, e quindi ponendo la (1) =0 non trovo gli zeri facilmente.
Domanda numero 1: è possibile a partire da questa forma, ricavare uno zero non banale?
Ho trovato in giro online che qualcuno propone di usare lo sviluppo in serie di Laurent di $\zeta$, ovvero:
$\zeta(s)= \frac{1}{s-1} + \sum_{n=0}^{oo} \frac{(-1)^{n}}{n!} \gamma_n (s-1)^{n}$ (2)
dove le $\gamma_n$ sono le costanti di Stieltjes:
$\gamma_k= \frac{(-1)^{k}}{k!} \lim_{N->oo} (\sum_{m=1}^{N} \frac{ln^{k}m}{m} - \frac{ln^{k+1}N}{k+1})$
Domanda numero 2: è possibile A MANO trovare queste costanti?
Ad esempio: $\gamma_0= \lim_{N->oo} (\sum_{m=1}^{N} 1/m - ln n)$
$\sum_{m=1}^{N} 1/m = \int_{1}^{N} 1/t dt = ln N$
e quindi $\gamma_0=0$ ! E così anche tutte le altre $\gamma_n$.
Qui io penso di fare uno sbaglio a passare da somma a integrale, perchè ci sarebbe un errore nel passaggio, ed è proprio l'errore (penso) che dovrebbe darmi un qualcosa di diverso da zero.
Domanda numero 2 bis: come si fa a calcolare la serie con tanto di errore giusto, per poter quindi poi fare il limite?
Supponendo di avere le costanti (le prime dieci le ho trovate in internet), si può procedere al calcolo di $\zeta(s)=0$ partendo dalla (2).
Domanda numero 3: calcoli lunghissimi a parte, dalla (2) =0 con le opportune costanti, si trova un'approssimazione degli zeri di $\zeta$? O almeno di qualche zero? Voglio dire, se facessimo la somma fino a 10 anzichè fino a infinito (perchè abbiamo solo le prime 10 costanti), e ponessimo il polinomio che viene di grado 11 in s uguale a 0, riusciremmo a trovare una approssimazione molto molto scarsa degli zeri non banali? (ovviamente troveremmo solo i primi 11 zeri, ma la domanda è se sono davvero quelli).
Scusate la prolissità! Ho un sacco di domande e spero di ricevere altrettante gentili risposte
Ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi!
Sto disperatamente cercando online qualcosa sugli zeri (non banali) della funzione Zeta di Riemann.
Premessa: le mie basi sono solo un corso base di teoria dei numeri, conosco il Teorema di Riemann, ma non tanto l'analisi complessa.
La funzione $\zeta(s)$, su tutto $CC$, per l'equazione funzionale data da Riemann:
$\zeta(s)=\frac{\Phi(s)}{\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)}$ (1)
dove $\Phi(s)=1/2\int_{1}^{oo} (x^{s/2}+x^{\frac{1-s}{2}})(\theta(x)-1) \frac{dx}{x} +\frac{1}{s(s-1)}$
la funzione $\Gamma$ di Eulero: $\Gamma(s/2)= \int_{0}^{oo} e^{-x} x^{s/2-1} dx$
la funzione $\theta$ di Jacobi (aggiustata): $\theta(x)= 1 + 2 \sum_{n=1}^{oo} e^{-\pi n^{2} x}$
Ora, a partire da questo non riesco a scrivere la serie di Jacobi, e quindi ponendo la (1) =0 non trovo gli zeri facilmente.
Domanda numero 1: è possibile a partire da questa forma, ricavare uno zero non banale?
Ho trovato in giro online che qualcuno propone di usare lo sviluppo in serie di Laurent di $\zeta$, ovvero:
$\zeta(s)= \frac{1}{s-1} + \sum_{n=0}^{oo} \frac{(-1)^{n}}{n!} \gamma_n (s-1)^{n}$ (2)
dove le $\gamma_n$ sono le costanti di Stieltjes:
$\gamma_k= \frac{(-1)^{k}}{k!} \lim_{N->oo} (\sum_{m=1}^{N} \frac{ln^{k}m}{m} - \frac{ln^{k+1}N}{k+1})$
Domanda numero 2: è possibile A MANO trovare queste costanti?
Ad esempio: $\gamma_0= \lim_{N->oo} (\sum_{m=1}^{N} 1/m - ln n)$
$\sum_{m=1}^{N} 1/m = \int_{1}^{N} 1/t dt = ln N$
e quindi $\gamma_0=0$ ! E così anche tutte le altre $\gamma_n$.
Qui io penso di fare uno sbaglio a passare da somma a integrale, perchè ci sarebbe un errore nel passaggio, ed è proprio l'errore (penso) che dovrebbe darmi un qualcosa di diverso da zero.
Domanda numero 2 bis: come si fa a calcolare la serie con tanto di errore giusto, per poter quindi poi fare il limite?
Supponendo di avere le costanti (le prime dieci le ho trovate in internet), si può procedere al calcolo di $\zeta(s)=0$ partendo dalla (2).
Domanda numero 3: calcoli lunghissimi a parte, dalla (2) =0 con le opportune costanti, si trova un'approssimazione degli zeri di $\zeta$? O almeno di qualche zero? Voglio dire, se facessimo la somma fino a 10 anzichè fino a infinito (perchè abbiamo solo le prime 10 costanti), e ponessimo il polinomio che viene di grado 11 in s uguale a 0, riusciremmo a trovare una approssimazione molto molto scarsa degli zeri non banali? (ovviamente troveremmo solo i primi 11 zeri, ma la domanda è se sono davvero quelli).
Scusate la prolissità! Ho un sacco di domande e spero di ricevere altrettante gentili risposte
Ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi!
Risposte
"Riemann42":
conosco il Teorema di Riemann
Ipotesi vorrai dire...
Ad ogni modo anche io conoscevo quello sviluppo ma ce ne sono altri due che credo possano interessarti: la somma di Eulero-Maclaurin e la formula di Riemann-Siegel (più efficiente)
Dopo te le scrivo con calma...
Il Teorema di Riemann è quello dell'equazione funzionale che ho citato (1).
Grazie mille, aspetterò volentieri!
Grazie mille, aspetterò volentieri!
Allora...
Somma di Eulero-Maclaurin
La formula di Eulero-Maclaurin venne usata da Hutchinson e altri due matematici per verificare l'ipotesi di Riemann, in particolare egli la uso per verificarne la validità fino a $\Im(s)=300$
Prima di vedere la formula è bene dare un accenno di cosa siano i numeri di Bernoulli
Definizione I numeri di Bernoulli $B_n$ sono definiti dalla funzione generatrice:
$$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n x^n}{n!}$$
In particolare l'n-esimo numero è definito come:
$B_n=\sum_{j=0}^{n}((n),(j))B_{n-j}x^j$
Formula Eulero-Maclaurin. Sia $N \geq 1$
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n^s}+\frac{N^{1-s}}{s-1}+\frac{N^{-s}}{2}+\frac{B_2 s N^{-s-1}}{2}+ \cdots +\frac{B_{2v}s(s+1) \cdots (s+2v-2)N^{-s-2v+1}}{(2v)!}+R_{2v}$$
Dove $R_{2v}$ è piccolo se $N ~~|s|$.
Formula di Riemann-Siegel.
Questa venne usata dallo stesso Riemann, sfrutta un'approssimazione dell'equazione funzionale
Formula Riemann-Siegel. Per ogni $t \in RR$ vale
$$Z(t)=2\sum_{n=1}^{[\sqrt(\frac{t}{2\pi})]} \frac{\cos(\theta(t)-t\ln n)}{\sqrt{n}}+R_I$$
Dove $Z(t)=e^{i\theta(t)}\zeta(1/2+it)$, $R_I$ è un integrale complesso e $\theta(t)=\Im(\ln \Gamma(1/4+it/2))-t\ln \pi/2$
Somma di Eulero-Maclaurin
La formula di Eulero-Maclaurin venne usata da Hutchinson e altri due matematici per verificare l'ipotesi di Riemann, in particolare egli la uso per verificarne la validità fino a $\Im(s)=300$
Prima di vedere la formula è bene dare un accenno di cosa siano i numeri di Bernoulli
Definizione I numeri di Bernoulli $B_n$ sono definiti dalla funzione generatrice:
$$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n x^n}{n!}$$
In particolare l'n-esimo numero è definito come:
$B_n=\sum_{j=0}^{n}((n),(j))B_{n-j}x^j$
Formula Eulero-Maclaurin. Sia $N \geq 1$
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n^s}+\frac{N^{1-s}}{s-1}+\frac{N^{-s}}{2}+\frac{B_2 s N^{-s-1}}{2}+ \cdots +\frac{B_{2v}s(s+1) \cdots (s+2v-2)N^{-s-2v+1}}{(2v)!}+R_{2v}$$
Dove $R_{2v}$ è piccolo se $N ~~|s|$.
Formula di Riemann-Siegel.
Questa venne usata dallo stesso Riemann, sfrutta un'approssimazione dell'equazione funzionale
Formula Riemann-Siegel. Per ogni $t \in RR$ vale
$$Z(t)=2\sum_{n=1}^{[\sqrt(\frac{t}{2\pi})]} \frac{\cos(\theta(t)-t\ln n)}{\sqrt{n}}+R_I$$
Dove $Z(t)=e^{i\theta(t)}\zeta(1/2+it)$, $R_I$ è un integrale complesso e $\theta(t)=\Im(\ln \Gamma(1/4+it/2))-t\ln \pi/2$
Premetto due cose. La prima è che mi sono laureato più di 2 anni fa e attualmente a malapena ricordo l'analisi 1. La seconda è che ho anche la febbre alta, quindi se provo a sforzare le meningi potrei sparare scempiaggini mostruose.
Quindi mi limito a citare qualcosa.
formula-di-somma-di-eulero-e-zeta-t103848.html
viewtopic.php?p=832907#p832907
Infine, se nessuno mi insulta mi faccio un po' di pubblicità (in senso positivo, comunque).
https://www.matematicamente.it/approfond ... di-laurea/
Nel corso degli anni mi hanno segnalato una quindicina di errori di battitura (es. un paio di indici di sommatorie sbagliate, cose di questo genere) - alle prossime segnalazioni o se non ne arrivano più, chiederò di sostituirla con quella con le correzioni.
Peccato per l'analisi complessa, acquista tutto un senso se si conosce, diciamo abbastanza, l'analisi complessa. Inoltre è strano che parti da rappresentazioni piuttosto complicate della $\zeta$ o, per lo meno, non dalle prime che si incontrano.
Inserendo il messaggio ho visto l'ultima risposta di dan95 (che saluto). Credo che parlare a secco della formula di Riemann-Siegel sia qualcosa da far andare per traverso il pranzo se non si ha un po' di conoscenza ad hoc.
Quindi mi limito a citare qualcosa.
formula-di-somma-di-eulero-e-zeta-t103848.html
viewtopic.php?p=832907#p832907
Infine, se nessuno mi insulta mi faccio un po' di pubblicità (in senso positivo, comunque).
https://www.matematicamente.it/approfond ... di-laurea/
Nel corso degli anni mi hanno segnalato una quindicina di errori di battitura (es. un paio di indici di sommatorie sbagliate, cose di questo genere) - alle prossime segnalazioni o se non ne arrivano più, chiederò di sostituirla con quella con le correzioni.
"Riemann42":
Premessa: le mie basi sono solo un corso base di teoria dei numeri, conosco il Teorema di Riemann, ma non tanto l'analisi complessa.
Peccato per l'analisi complessa, acquista tutto un senso se si conosce, diciamo abbastanza, l'analisi complessa. Inoltre è strano che parti da rappresentazioni piuttosto complicate della $\zeta$ o, per lo meno, non dalle prime che si incontrano.
Inserendo il messaggio ho visto l'ultima risposta di dan95 (che saluto). Credo che parlare a secco della formula di Riemann-Siegel sia qualcosa da far andare per traverso il pranzo se non si ha un po' di conoscenza ad hoc.
"Zero87":
Infine, se nessuno mi insulta mi faccio un po' di pubblicità (in senso positivo, comunque).
La mia prima intenzione era quella di mettere questo link
"Zero87":
Credo che parlare a secco della formula di Riemann-Siegel sia qualcosa da far andare per traverso il pranzo se non si ha un po' di conoscenza ad hoc.
Si hai ragione
Innanzitutto ringrazio entrambi per avermi dedicato il vostro tempo!
@dan95: Conoscevo già i numeri di Bernulli, ma non so come usarli, so che servono per trovare i valori di $\zeta(s)$ quando s è un intero pari. (Mi pare fosse una generalizzazione del metodo usato da Eulero per trovare il valore di $\zeta(2)$, giusto?)
Non conoscevo invece le formule di Eulero-Maclaurin, e di Riemann-Siegel. Mi informerò senz'altro su entrambe. La prima mi sembra una serie di Taylor, un po' più complicata.
Ora però, come uso queste formule per trovare gli zeri? Dici che alcuni matematici sono riusciti a dimostrare con Eulero-Maclaurin che gli zeri fino ad altezza 300 stanno sulla retta critica. Ma come hanno fatto esplicitamente? Quello che vorrei fare è trovare il primo zero, proprio manualmente, come aveva fatto lo stesso Riemann che aveva dimostrato il primo zero in 1/2+14,134725i. Ecco, noi sappiamo come ha fatto Riemann? Vorrei sapere il procedimento che lui ha usato e poterlo ripetere. O qualsiasi altro procedimento va bene! Ma almeno uno che mi dia quel risultato. Vorrei riuscire a mettere le mani sul primo zero (almeno), un procedimento pratico.
@Zero87: Leggerò con molto piacere la tua tesi (se riuscirò a capirci qualcosa), dato l'argomento!
L'estensione di $\zeta$ nel semipiano $\sigma>1$ che mi hai citato nel primo link, la conosco già, come anche l'estensione su tutto $CC$ grazie all'equazione funzionale data da Riemann.
Mentre ho visto che nel secondo link consigli di leggere il Derbyshire. Parli di "Ossessione dei numeri primi"? E' un libro che ho già spesso sentito citare e se mi dici che è molto chiaro e preciso e risponde alle mie domande, non avrò più dubbi sul comprarlo.
Ah si hai ragione, sono partita subito dallo scrivere $\zeta$ in modo complicato, ma l'ho fatto perchè quello che mi interessa è conoscere gli zeri nella striscia tra 0 e 1 e scrivere la somma di Dirichlet non mi sarebbe stato d'aiuto. Quella che ho scritto è l'unica formulazione di $\zeta$ che conosco bene e che va bene nella striscia critica. E inoltre scrivendola così mi evito risposte di persone che hanno sentito parlare dell'ipotesi di Riemann e mi dicono "Gli zeri c'entrano con i numeri primi", perchè sarà pur vero, ma non c'entra con le mie domande.
Vi ringrazio ancora moltissimo e spero di leggere presto altre vostre risposte!
Ho risposto ad entrambi "separatamente", ma ovviamente la mia domanda fondamentale è sempre: Come ha fatto Riemann, senza un pc, a trovare il primo zero sulla retta critica? VOGLIO FARLO ANCHE IO!
@dan95: Conoscevo già i numeri di Bernulli, ma non so come usarli, so che servono per trovare i valori di $\zeta(s)$ quando s è un intero pari. (Mi pare fosse una generalizzazione del metodo usato da Eulero per trovare il valore di $\zeta(2)$, giusto?)
Non conoscevo invece le formule di Eulero-Maclaurin, e di Riemann-Siegel. Mi informerò senz'altro su entrambe. La prima mi sembra una serie di Taylor, un po' più complicata.
Ora però, come uso queste formule per trovare gli zeri? Dici che alcuni matematici sono riusciti a dimostrare con Eulero-Maclaurin che gli zeri fino ad altezza 300 stanno sulla retta critica. Ma come hanno fatto esplicitamente? Quello che vorrei fare è trovare il primo zero, proprio manualmente, come aveva fatto lo stesso Riemann che aveva dimostrato il primo zero in 1/2+14,134725i. Ecco, noi sappiamo come ha fatto Riemann? Vorrei sapere il procedimento che lui ha usato e poterlo ripetere. O qualsiasi altro procedimento va bene! Ma almeno uno che mi dia quel risultato. Vorrei riuscire a mettere le mani sul primo zero (almeno), un procedimento pratico.
@Zero87: Leggerò con molto piacere la tua tesi (se riuscirò a capirci qualcosa), dato l'argomento!
L'estensione di $\zeta$ nel semipiano $\sigma>1$ che mi hai citato nel primo link, la conosco già, come anche l'estensione su tutto $CC$ grazie all'equazione funzionale data da Riemann.
Mentre ho visto che nel secondo link consigli di leggere il Derbyshire. Parli di "Ossessione dei numeri primi"? E' un libro che ho già spesso sentito citare e se mi dici che è molto chiaro e preciso e risponde alle mie domande, non avrò più dubbi sul comprarlo.
Ah si hai ragione, sono partita subito dallo scrivere $\zeta$ in modo complicato, ma l'ho fatto perchè quello che mi interessa è conoscere gli zeri nella striscia tra 0 e 1 e scrivere la somma di Dirichlet non mi sarebbe stato d'aiuto. Quella che ho scritto è l'unica formulazione di $\zeta$ che conosco bene e che va bene nella striscia critica. E inoltre scrivendola così mi evito risposte di persone che hanno sentito parlare dell'ipotesi di Riemann e mi dicono "Gli zeri c'entrano con i numeri primi", perchè sarà pur vero, ma non c'entra con le mie domande.
Vi ringrazio ancora moltissimo e spero di leggere presto altre vostre risposte!
Ho risposto ad entrambi "separatamente", ma ovviamente la mia domanda fondamentale è sempre: Come ha fatto Riemann, senza un pc, a trovare il primo zero sulla retta critica? VOGLIO FARLO ANCHE IO!
"Riemann42":
Mentre ho visto che nel secondo link consigli di leggere il Derbyshire. Parli di "Ossessione dei numeri primi"? E' un libro che ho già spesso sentito citare e se mi dici che è molto chiaro e preciso e risponde alle mie domande, non avrò più dubbi sul comprarlo.
Premetto che ho avuto la fortuna di trovarlo nella biblioteca universitaria e di prenderlo in prestito.
Comunque, metto qualche puntino sulle "i". Il libro, come specifica l'autore nella prefazione, richiede come base le conoscenze di una scuola superiore e l'autore mette quello che manca per far capire la problematica.
Dà molte risposte, aiuta davvero - sottolineo davvero - a capire di cosa si parla in modo semplice rispetto a tanti altri testi con le stesse premesse (cioè divulgativi rispetto ad una platea più ampia di quella tecnica). Però non è tecnico ma per me è stato una base chiara da cui partire.
Ricordo anche con affetto il "Nenvalinna-Patero" di analisi complessa che, secondo me, è stato uno dei pochi testi di analisi complessa chiari che ho trovato (al corso di analisi complessa all'università avevo l'Ahlfors ma sembrava tutto chiacchiere e distintivo, my opinion).
Come ha fatto Riemann, senza un pc, a trovare il primo zero sulla retta critica? VOGLIO FARLO ANCHE IO!
Credo con la formula di Riemann-Siegel se non ricordo male. Comunque alle prime ferie - lunghe - dal lavoro mi rileggo qualcosa perché non è giusto che non mi ricordo un acca di quello che ho studiato...
"Riemann42":
I Ecco, noi sappiamo come ha fatto Riemann? Vorrei sapere il procedimento che lui ha usato e poterlo ripetere.
Considera che Riemann riempì fogli e fogli di calcoli solo per calcolare i primi 5 zeri in modo molto approssimato usando la formula di Riemann-Siegel[nota]Siegel la ritrovò tra i suoi appunti[/nota] quella formula è solo la punta dell'eisberg, servono approssimazioni sofisticate prima di arrivare a risolvere una semplice equazione di terzo o al massimo quarto grado.
"dan95":
Riemann riempì fogli e fogli di calcoli solo per calcolare i primi 5 zeri in modo molto approssimato usando la formula di Riemann-Siegel (Siegel la ritrovò tra i suoi appunti)
La storia è raccontata sul libro divulgativo di DuSatoy, l'enigma dei numeri primi (titolo originale, molto più bello, "the sound of primes").
quella formula è solo la punta dell'eisberg
Ho scoperto su wiki che "eisberg" è il termine tedesco. Forse che sia l'originale?
La storia è raccontata sul libro divulgativo di DuSatoy, l'enigma dei numeri primi (titolo originale, molto più bello, "the sound of primes").
Si lo so ce l'ho
Ancora una volta grazie ad entrambi!
Cercherò presto il Derbyshire allora! Ho visto che ci sono due edizioni, una abbastanza economica, anche se non ci fosse in biblioteca.
Ho avuto conferma che per trovare gli zeri bisogna partire dalla formula di Riemann-Siegel. Sarà dura, chissà se riuscirò un giorno a capirci
Già che ci sono, io dovrei laurearmi nella triennale, come argomento è troppo vasto per una laurea triennale o ci si può riuscire? C'è anche un buon insegnante che se ne occupa nella mia università, ma prima di chiedere a lui di farmi da relatore volevo sapere se è fattibile, altrimenti cerco altro.
Ho letto il Du Satoy! E' stato il libro che mi ha lanciato verso la teoria dei numeri, molto bello, soprattutto per come è scritto.
Comunque, il titolo originale in inglese mi sembra sia "Music of the primes", che è decisamente più bello de "L'enigma dei numeri primi". (Ma perchè non chiamarlo "La musica dei numeri primi"? Sarà questo l'"enigma"!
)
$Eisberg$ deriva da "$eis$"= ghiaccio in tedesco e "$berg$"= montagna, quindi direi che il termine è proprio tedesco, riadattato poi in inglese con "$ice$"
Cercherò presto il Derbyshire allora! Ho visto che ci sono due edizioni, una abbastanza economica, anche se non ci fosse in biblioteca.
Ho avuto conferma che per trovare gli zeri bisogna partire dalla formula di Riemann-Siegel. Sarà dura, chissà se riuscirò un giorno a capirci
Già che ci sono, io dovrei laurearmi nella triennale, come argomento è troppo vasto per una laurea triennale o ci si può riuscire? C'è anche un buon insegnante che se ne occupa nella mia università, ma prima di chiedere a lui di farmi da relatore volevo sapere se è fattibile, altrimenti cerco altro.
Ho letto il Du Satoy! E' stato il libro che mi ha lanciato verso la teoria dei numeri, molto bello, soprattutto per come è scritto.
Comunque, il titolo originale in inglese mi sembra sia "Music of the primes", che è decisamente più bello de "L'enigma dei numeri primi". (Ma perchè non chiamarlo "La musica dei numeri primi"? Sarà questo l'"enigma"!
)$Eisberg$ deriva da "$eis$"= ghiaccio in tedesco e "$berg$"= montagna, quindi direi che il termine è proprio tedesco, riadattato poi in inglese con "$ice$"
Proviamo a calcolare il primo zero con la formula di Riemann-Siegel usando l'approssimazione:
$Z(t)~2\sum_{n=1}^{[\sqrt{\frac{t}{2\pi}}]} \frac{\cos(\theta(t)-t\ln(n))}{\sqrt(n)}$
Notiamo che per $t < 25$, $\sqrt(\frac{t}{2\pi})<2$ basta un solo termine per avere una buona approssimazione di $Z(t)$. Inoltre usando la seguente approssimazione per $\theta(t)~\frac{t}{2}\ln(\frac{t}{2\pi})-\frac{t}{2}-\pi/8+\frac{1}{48t}$, è chiaro che affinché il termine $\cos(\theta(t))=0$ bisogna porre $\theta(t)=(2k-1)\pi/2, k\in ZZ$, in particolare con $k=0$ abbiamo che $\frac{t}{2}\ln(\frac{t}{2\pi})-\frac{t}{2}-\pi/8+\frac{1}{48t}=-\pi/2$ la cui soluzione è circa $t ~ 14,517920$
$Z(t)~2\sum_{n=1}^{[\sqrt{\frac{t}{2\pi}}]} \frac{\cos(\theta(t)-t\ln(n))}{\sqrt(n)}$
Notiamo che per $t < 25$, $\sqrt(\frac{t}{2\pi})<2$ basta un solo termine per avere una buona approssimazione di $Z(t)$. Inoltre usando la seguente approssimazione per $\theta(t)~\frac{t}{2}\ln(\frac{t}{2\pi})-\frac{t}{2}-\pi/8+\frac{1}{48t}$, è chiaro che affinché il termine $\cos(\theta(t))=0$ bisogna porre $\theta(t)=(2k-1)\pi/2, k\in ZZ$, in particolare con $k=0$ abbiamo che $\frac{t}{2}\ln(\frac{t}{2\pi})-\frac{t}{2}-\pi/8+\frac{1}{48t}=-\pi/2$ la cui soluzione è circa $t ~ 14,517920$
Perchè prendi $\theta(t)=(2k-1)\pi/2$, in modo che alla fine ti rimanga $-pi/2$? Se prendi $+pi/2$ non viene, viene circa a 20 lo zero... Perchè? Anche a $pi/2$ il coseno si annulla!
Prendo $k=0$ perché è il primo valore per il quale l'equazione ha soluzione reale.
Inoltre mi pare che ci sia un altro zero vicino a 20 di parte intera 21
Inoltre mi pare che ci sia un altro zero vicino a 20 di parte intera 21
Ah io partivo dal secondo zero.
Grazie mille! Sono riuscita a calcolarli fino al trentesimo zero! La cosa strana è che il trentesimo ha parte intera 101, eppure usando l'approssimazione della somma solo al primo addendo (che avevamo detto, valida per t<25) funziona benissimo e lo approssima molto bene, come tutti i precedenti zeri.
Per fare i calcoli ho usato WolframAlpha, e da un certo punto in poi non riesce più a fare i calcoli. Quindi fino al trentesimo ok, poi nulla.
Comunque ti ringrazio davvero, era proprio quello che cercavo
Grazie mille! Sono riuscita a calcolarli fino al trentesimo zero! La cosa strana è che il trentesimo ha parte intera 101, eppure usando l'approssimazione della somma solo al primo addendo (che avevamo detto, valida per t<25) funziona benissimo e lo approssima molto bene, come tutti i precedenti zeri.
Per fare i calcoli ho usato WolframAlpha, e da un certo punto in poi non riesce più a fare i calcoli. Quindi fino al trentesimo ok, poi nulla.
Comunque ti ringrazio davvero, era proprio quello che cercavo
"Riemann42":
La cosa strana è che il trentesimo ha parte intera 101, eppure usando l'approssimazione della somma solo al primo addendo (che avevamo detto, valida per t<25) funziona benissimo e lo approssima molto bene, come tutti i precedenti zeri.
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