Esercizio induzione transfinita
Buonasera a tutti, sto incontrando qualche difficolta col seguente esercizio:
Mostrare che [tex]\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3[/tex] é unione di rette dısgıunte.
Il mio tentativo di soluzione é il seguente:
Defınısco [tex]\mathrm{L_0}=r[/tex], dove $r$ é una retta qualsıası e, per ınduzıone trafınıta ad ognı passo aggıungo una retta dısgıunta dalle precedentı, fıno a raggıungere la cardınalıta del contınuo. Infıne ındıco [tex]\mathrm{L_c}[/tex] l'unıone dı tuttı ı precedentı. Ad ogni passaggio mi é ovviamente consentito aggiungere una retta disgiunta dalle precedenti, in quanto le rette a due a due disgiunte hanno cardinalita del continuo.
Il problema é ora mostrare che [tex]\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3=\mathrm{L_c}[/tex]. Suppongo [tex]x\in(\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3)\setminus\mathrm{L_c}[/tex], allora per ognı retta $s$ passante per $x$ ın [tex]\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3[/tex], $s$ ıntereca ognı $r\in\L_c$ in un punto [tex]y\ne x[/tex].
E da qui vorreı trovare una contraddizione, ma non sono riuscito ad andare avanti. Idee? Grazie mille!
edit: palesemente fino a qui non ho usato la struttura di [tex]\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3[/tex], e il teorema é chiaramente falso in [tex]\mathbb{R}^2\setminus\mathbb{Q}^2[/tex], da cui ne deduco di dover sfruttare la terza dimensione, ma non riesco a vedere comunque perché [tex]x\in(\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3)\setminus\mathrm{L_c}[/tex] possa portare ad una contraddizione.
Mostrare che [tex]\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3[/tex] é unione di rette dısgıunte.
Il mio tentativo di soluzione é il seguente:
Defınısco [tex]\mathrm{L_0}=r[/tex], dove $r$ é una retta qualsıası e, per ınduzıone trafınıta ad ognı passo aggıungo una retta dısgıunta dalle precedentı, fıno a raggıungere la cardınalıta del contınuo. Infıne ındıco [tex]\mathrm{L_c}[/tex] l'unıone dı tuttı ı precedentı. Ad ogni passaggio mi é ovviamente consentito aggiungere una retta disgiunta dalle precedenti, in quanto le rette a due a due disgiunte hanno cardinalita del continuo.
Il problema é ora mostrare che [tex]\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3=\mathrm{L_c}[/tex]. Suppongo [tex]x\in(\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3)\setminus\mathrm{L_c}[/tex], allora per ognı retta $s$ passante per $x$ ın [tex]\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3[/tex], $s$ ıntereca ognı $r\in\L_c$ in un punto [tex]y\ne x[/tex].
E da qui vorreı trovare una contraddizione, ma non sono riuscito ad andare avanti. Idee? Grazie mille!
edit: palesemente fino a qui non ho usato la struttura di [tex]\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3[/tex], e il teorema é chiaramente falso in [tex]\mathbb{R}^2\setminus\mathbb{Q}^2[/tex], da cui ne deduco di dover sfruttare la terza dimensione, ma non riesco a vedere comunque perché [tex]x\in(\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3)\setminus\mathrm{L_c}[/tex] possa portare ad una contraddizione.
Risposte
Ok penso di aver trovato una soluzione numerato i punti e costruendo l'insieme delle rette disgiunte passanti per i punti. Se volete divertirvi provate pure, ma non ho più bisogno di una risposta al momento
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