Iniettività e suriettività di trasformazioni non lineari
Salve, ho dei dubbi su come risolvere il seguente esercizio
Data la funzione f(x,y)=(x^2 + y^2, x^2 - y^2) $f:RR^2 \to RR^2$
dire se la funzione è iniettiva, suriettiva o invertibile?
Per verificare che è iniettiva o meno ho imposto che l'immagine sia nulla
$\{(x^2+y^2 = 0),(x^2-y^2 = 0):}$
da cui ricavo il punto (0,0). Quindi la funzione è iniettiva?
Per la suriettività invece dovrei calcolare la controimmagine rispetto a un punto generico..ma qui ho dei dubbi.
Vorrei sapere se il mio ragionamento è giusto, oppure in cosa ho sbagliato.
Grazie
Data la funzione f(x,y)=(x^2 + y^2, x^2 - y^2) $f:RR^2 \to RR^2$
dire se la funzione è iniettiva, suriettiva o invertibile?
Per verificare che è iniettiva o meno ho imposto che l'immagine sia nulla
$\{(x^2+y^2 = 0),(x^2-y^2 = 0):}$
da cui ricavo il punto (0,0). Quindi la funzione è iniettiva?
Per la suriettività invece dovrei calcolare la controimmagine rispetto a un punto generico..ma qui ho dei dubbi.
Vorrei sapere se il mio ragionamento è giusto, oppure in cosa ho sbagliato.
Grazie
Risposte
I punti $(1,-1)$ e $(1,1)$ hanno la stessa immagine...
quindi la funzione è iniettiva?
No. Nemmeno suriettiva infatti il punto $(-1,0)$ ad esempio non ha controimmagine
ok, ho capito...ma in questo caso quale sarà l'immagine dell'applicazione?
Il sistema ${(x^2+y^2=u),(x^2-y^2=v):}$ ha quattro soluzioni $x=+-\frac{\sqrt{u+v}}{\sqrt{2}}$ e $y=+-\frac{\sqrt{u-v}}{\sqrt{2}}$, affinché queste siano reali bisogna imporre $u+v \geq 0$ e $u-v \geq 0$ inoltre è chiaro che $u \geq 0$ dunque avremo che $Im f={(u,v) \in RR^2 | -u \leq v \leq u, u \geq 0}$
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