Esercizi intersezione classi di resto

[Marina_LoveMetal]

Ciao a tutti,
ho due esercizi di un vecchio compito di Discreta 1 che non capisco come risolvere.

1) Determinare l'intersezione degli insiemi $ [text(3)]_(\7) $ e $ [text(5)]_(\4) $

2) Si dia una condizione su $ m $ e $ n $ $ in mathbb(N) $ perché l'intersezione degli insiemi $ [text(3)]_(\m) $ e $ [text(5)]_(\n) $ sia diversa dal vuoto (si pensi alle equazioni diofantee del tipo $ mx+ny=c $ )

Grazie anticipatamente per le risposte

[dan952]

Mi viene in mente il sistema:
${(x -=3\ mod\ 7),(x-=5\ mod\ 4):}$

[Marina_LoveMetal]

Ma il sistema non mi darebbe l'unione degli insiemi piuttosto che l'intersezione?

[dan952]

No, perché si risolve un sistema di equazioni [nota]di congruenze lineare in questo caso[/nota]? Per determinare un insieme A i cui elementi sostituiti alle variabili incognite del sistema soddisfano tutte le equazioni del sistema. Quindi $A=A_1 nn A_2 nn \cdots nn A_k$ dove $A_i$ è l'insieme di valori che soddisfa la $i$-esima equazione.

Hai studiato il teorema cinese del resto?

[Marina_LoveMetal]

Non sapevo nemmeno esistesse mi si è aperto un mondo.
Adesso provo ad applicarlo, grazie.

[Marina_LoveMetal]

Ok risolto.

1) Ho applicato paro paro il teorema e come risultato dà $ [17]_{28} $

2) Ho dedotto quindi che la condizione richiesta nella seconda domanda è che $ MCD(m,n)|(5-3) $ , nel caso specifico indicato.

Grazie mille per l'aiuto