Esercizio controesempio funzione identità
Salve ragazzi,
qualcuno sa il metodo di svolgimento di questo esercizio?
Sia U={0,1,2,3} e sia F una qualsiasi funzione
F:U->U
Dire se la seguente affermazione è vera. F^2=G^2 => F=G
A seconda della risposta, fornire la dimostrazione o un controesempio.
Soluzione
L'affermazione non è vera. La soluzione è data dal controesempio:
F={(0;1); (1;0); (2;2); (3;3)}
G={(0;0); (1;1); (2;3); (3;2)}
Secondo quale criterio devo associare i numeri?
Grazie in anticipo.
qualcuno sa il metodo di svolgimento di questo esercizio?
Sia U={0,1,2,3} e sia F una qualsiasi funzione
F:U->U
Dire se la seguente affermazione è vera. F^2=G^2 => F=G
A seconda della risposta, fornire la dimostrazione o un controesempio.
Soluzione
L'affermazione non è vera. La soluzione è data dal controesempio:
F={(0;1); (1;0); (2;2); (3;3)}
G={(0;0); (1;1); (2;3); (3;2)}
Secondo quale criterio devo associare i numeri?
Grazie in anticipo.
Risposte
$F(F(0))=F(1)=0=G(G(0))=G(0)$
$F(F(1))=F(0)=1=G(G(1))=G(1)$
$F(F(2))=F(3)=2=G(G(2))=G(2)$
$F(F(3))=F(2)=3=G(G(3))=G(3)$
Ma è chiaro che $G(u) != F(u)\ \forall u \in U$
$F(F(1))=F(0)=1=G(G(1))=G(1)$
$F(F(2))=F(3)=2=G(G(2))=G(2)$
$F(F(3))=F(2)=3=G(G(3))=G(3)$
Ma è chiaro che $G(u) != F(u)\ \forall u \in U$
"dan95":
$F(F(0))=F(1)=0=G(G(0))=G(0)$
$F(F(1))=F(0)=1=G(G(1))=G(1)$
$F(F(2))=F(3)=2=G(G(2))=G(2)$
$F(F(3))=F(2)=3=G(G(3))=G(3)$
Ma è chiaro che $G(u) != F(u)\ \forall u \in U$
Ciao @dan95! Grazie per avermi risposto.
Vorrei capire come hai associato i numeri alla F della seconda colonna.
Sono presi a caso o c'è un metodo preciso?
Un metodo vero e proprio non c'è...più che altro è astuzia
Ho costruito due applicazioni $F$ e $G$ in modo che avessero la proprietà $F^2=G^2$ ma non valesse $G=F$
Nota che in $F$ 0 va in 1, 1 in 0 in modo che applicando due volte la funzione ho l'identità, stessa cosa con 2 e 3
Mentre $G$ è proprio la funzione identità...
Ho costruito due applicazioni $F$ e $G$ in modo che avessero la proprietà $F^2=G^2$ ma non valesse $G=F$
Nota che in $F$ 0 va in 1, 1 in 0 in modo che applicando due volte la funzione ho l'identità, stessa cosa con 2 e 3
Mentre $G$ è proprio la funzione identità...
ok, capito! 
Mentre quest'altro esercizio simile come lo svolgeresti? Applicando sempre la stessa procedura?
Sia U={0,1,2,3} e sia F una qualsiasi funzione F:U->U
Dire se la seguente affermazione è vera. F^2=F => F=Iu (Iu è l'identità di U)
A seconda della risposta, fornire la dimostrazione o un controesempio.
Mentre quest'altro esercizio simile come lo svolgeresti? Applicando sempre la stessa procedura?
Sia U={0,1,2,3} e sia F una qualsiasi funzione F:U->U
Dire se la seguente affermazione è vera. F^2=F => F=Iu (Iu è l'identità di U)
A seconda della risposta, fornire la dimostrazione o un controesempio.
Se non c'è alcuna ipotesi di biiettività allora direi che è falsa basta infatti prendere $F(u)=0$ per ogni $u \in U$
È chiaro che $F^2=F$ ma $F != Id$
È chiaro che $F^2=F$ ma $F != Id$
Grazie davvero per i chiarimenti.
Mi sapresti consigliare un libro su cui trovare spiegazioni riguardo questi argomenti?
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Gli argomenti che mi interessano sono relativi all'esame di Logica e Fondamenti della Matematica.
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